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- 2021-04-14 发布
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章末检测
一、选择题
1．已知函数f(x)＝－x3＋3x2＋9x＋a(a为常数)，在区间[－2,1]上有最大值20，则此函数在[－2,1]上的最小值为( )
A．－37 B．－7 C．－5 D．－11
答案 B
2．函数f(x)＝2x3－9x2＋12x＋1的单调减区间是( )
A．(1,2) B．(2，＋∞)
C．(－∞，1) D．(－∞，1)和(2，＋∞)
答案 A
解析 f′(x)＝6x2－18x＋12，令f′(x)<0，即6x2－18x＋12<0，解得10的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
答案 B
4．函数y＝2x3－3x2的极值情况为( )
A．在x＝0处取得极大值0，但无极小值
B．在x＝1处取得极小值－1，但无极大值
C．在x＝0处取得极大值0，在x＝1处取得极小值－1
D．以上都不对
答案 C
解析 因为y＝2x3－3x2，所以y′＝6x2－6x＝6x(x－1)．令y′＝0，解得x＝0或x＝1.令y＝f(x)，y′＝f′(x)，当x变化时，f′(x)，f(x)的变化情况如下表：
x
(－∞，0)
0
(0,1)
1
(1，＋∞)
f′(x)
＋
0
－
0
＋
f(x)
0
－1
所以，当x＝0时，函数y＝2x3－3x2取得极大值0；当x＝1时，函数y＝2x3－3x2
取得极小值－1，故选C.
5．如果函数f(x)＝2x3＋ax2＋1(a为常数)在区间(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增，且在区间(0,2)上单调递减，则a的值为( )
A．1 B．2 C．－6 D．－12
答案 C
解析 令f′(x)＝6x2＋2ax＝0，得x＝0或x＝－，由题意，知f′(x)＝0的两根为0,2，所以2＝－，所以a＝－6.
6．设f(x)、g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x＜0时，f′(x)g(x)＋f(x)g'(x)＞0，且g(3)＝0.则不等式f(x)g(x)＜0的解集是( )
A．(－3,0)∪(3，＋∞) B．(－3,0)∪(0,3)
C．(－∞，－3)∪(3，＋∞) D．(－∞，－3)∪(0,3)
答案 D
解析 设F(x)＝f(x)·g(x)，
则当x＜0时，F′(x)＞0，
即F(x)在(－∞，0)上是增函数．
又∵g(x)是偶函数，∴g(－3)＝g(3)＝0.
∴在x∈(－∞，－3)上F(x)＜F(－3)
＝f(－3)·g(－3)＝0，
即f(x)g(x)＜0.又∵可证得F(x)是奇函数，∴在x∈(0,3)上，f(x)g(x)＜0，故选D.
7．在函数①y＝x；②y＝x2；③y＝x3；④y＝－cos x中，在x＝0处取得极值的有( )
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
答案 B
解析 只有②④能在x＝0处取得极值．
8．已知函数f(x)＝x3＋3mx2＋nx＋m2在x＝－1时有极值0，则m、n的值分别为( )
A．3,7 B．2,9 C．4,6 D．5,8
答案 B
解析 f′(x)＝3x2＋6mx＋n
∵x＝－1时函数有极值0
∴f′(－1)＝3×(－1)2＋6m×(－1)＋n＝0①
f(－1)＝(－1)3＋3m(－1)2＋n(－1)＋m2＝0②
联立①②两式解得：m＝2，n＝9.
9．若函数f(x)＝x2＋bx＋c的图像的顶点在第四象限，则如下图所示能大致反映函数f′(x)的图像的是________．
答案 A
解析 f′(x)＝2x＋b，由函数f(x)的图像的顶点在第四象限得b<0，则直线f′(x)＝2x＋b的斜率为2，且与y轴的交点的纵坐标为负值．所以，只有A符合要求．故应选A.
10．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)，若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图像不可能为y＝f(x)的图像是( )
答案 D
解析 设h(x)＝f(x)ex，则h′(x)＝(2ax＋b)ex＋(ax2＋bx＋c)ex＝(ax2＋2ax＋bx＋b＋c)ex.由x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，得当x＝－1时，ax2＋2ax＋bx＋b＋c＝c－a＝0，∴c＝a.∴f(x)＝ax2＋bx＋a.若方程ax2＋bx＋a＝0有两根x1，x2，则x1x2＝＝1，D中图像一定不满足该条件．
二、填空题
11．函数y＝(x＋1)·(x－1)在x＝1处的导数为________．
答案 2
解析 y′＝x－1＋x＋1＝2x，所以y′|x＝1＝2.
12．函数f(x)＝x(1－x2)在[0,1]上的最大值为__________．
答案
解析 f′(x)＝1－3x2，因为x∈[0,1]，所以令f′(x)＝0得x＝，又f(0)＝0，f(1)＝0，f＝，所以f(x)在[0,1]上的最大值为.
13．函数y＝2x3－6x2＋11的单调减区间是__________．
答案 (0,2)
解析 y′＝6x2－12x，令6x2－12x<0，得00，则f′(x)>0.
所以当a＝0时，函数f(x)在(－∞，0)内单调递减，
在(0，＋∞)内单调递增．
(2)当a>0时，由2x＋ax2>0，
解得x>0或x<－；
由2x＋ax2<0，解得－0时，函数f(x)在内单调递减，
在和(0，＋∞)内单调递增．
(3)当a<0时，由2x＋ax2>0，解得0－.
所以当a<0时，函数f(x)在内单调递增，
在(－∞，0)和内单调递减．
17．已知函数f(x)＝aln(x＋1)－＋b图像与x＋y－2＝0
相切于(0，c)．
(1)求a的值．
(2)求函数f(x)的单调区间和极小值．
解 1)f′(x)＝－
由题意知：f′(0)＝－1，代入上式得：
a－2＝－1，∴a＝1.
(2)由(1)知a＝1，
∴f(x)＝ln(x＋1)－＋b，
f′(x)＝－＝.
令f′(x)＞0，解得：x＞1，
∴f(x)在(1，＋∞)上为增函数
令f′(x)＜0，解得：x＜1，
又∵x＋1＞0，∴x＞－1，
∴f(x)在(－1,1)上为减函数．
故f(x)在x＝1时取得极小值．
∴f(1)＝ln 2－1＋b.
又∵(0，c)在直线x＋y－2＝0上，
∴0＋c－2＝0，∴c＝2.
故(0,2)在直线上也在f(x)图像上，
∴ln(0＋1)－＋b＝2，∴b＝2.
∴f(1)＝ln 2＋1.
故函数f(x)在(－1,1)上为减函数，在(1，＋∞)上为增函数且在x＝1时取得
极小值1＋ln 2.
18．已知a，b是实数，函数f(x)＝x3＋ax，g(x)＝x2＋bx，f′(x)和g′(x)分别是
f(x)和g(x)的导函数．若
f′(x)g′(x)≥0在区间I上恒成立，则称f(x)和g(x)在区间I上单调性一致．
(1)设a>0，若f(x)和g(x)在区间[－1，＋∞)上单调性一致，求b的取值范围；
(2)设a<0且a≠b，若f(x)和g(x)在以a，b为端点的开区间上单调性一致，
求|a－b|的最大值．
解 f′(x)＝3x2＋a，g′(x)＝2x＋b.
(1)由题意知f′(x)g′(x)≥0，在[－1，＋∞)上恒成立．
因为a>0，故3x2＋a>0，进而2x＋b≥0，
即b≥－2x在区间[－1，＋∞)上恒成立，所以b≥2.
因此，b的取值范围是[2，＋∞)．
(2)令f′(x)＝0，解得x＝± .
若b>0，由a<0得0∈(a，b)．
又因为f′(0)g′(0)＝ab<0，
所以函数f(x)和g(x)在(a，b)上的单调性是不一致的，因此b≤0.由此得，
(－∞，0)时，g′(x)<0，
当x∈时，f′(x)>0，
因此，当x∈时，f′(x)g′(x)<0，
故由题设得a≥－且b≥－，
从而－≤a<0，于是－≤b≤0.
因此|a－b|≤，且当a＝－，b＝0时等号成立．
又当a＝－，b＝0时，f′(x)g′(x)＝6x，
从而当x∈时，f′(x)g′(x)>0，
故函数f(x)和g(x)在上单调性一致．
因此|a－b|的最大值为.
