三维设计广东文人教版2014高考数学第一轮复习考案 导数的综合问题 文 4页

第26课 导数的综合问题 ‎ ‎1．（2019福建高考）已知，，且．现给出如下结论：‎ 其中正确结论的序号是 ‎ A．①③ B．①④ C．②③ D．②④‎ ‎【答案】C．‎ ‎【解析】∵，‎ 令，解得或，‎ 当时，；当时，；当时，，‎ ‎∴时，有极大值，当时，有极小值，‎ ‎∵函数有三个零点，‎ ‎∴，且，‎ 又∵，∴，即，‎ ‎2．（2019陕西高考）设函数，是由轴和曲线及该曲线在点处的切线所围成的封闭区域，则在上的最大值为 .‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】函数在点处的切线为 ‎，即.‎ ‎∴D表示的平面区域如图，‎ 当目标函数直线经过点时有最大值，‎ 最大值为.‎ ‎3．（2019门头沟一模）已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设，当时，若对任意，当时，恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1） ‎ 令，得，‎ 当时，，函数在上单调减， ‎ 当时，，‎ 在和上，有，函数单调减，‎ 在上， ，函数单调增． ‎ ‎（2）当时，，‎ 由（1）知，函数在上是单减，在上单调增，‎ ‎∴函数在的最小值为， ‎ 若对任意，当时，恒成立，‎ 只需当时，即可 代入解得，‎ ‎∴实数的取值范围是． ‎ ‎4．（2019梅州一模）设函数，．‎ ‎（1）当时，求曲线在处的切线方程；‎ ‎（2）如果存在，使得成立，求满足上述条件的最大整数；‎ ‎（3）如果对任意的都有成立，求实数的取值范围．‎ ‎【解析】（1）当时，，‎ ‎∴在处的切线方程为．‎ ‎（2），使得成立，‎ 等价于， ‎ ‎－‎ ‎＋‎ 极小值 由上表可知，， ‎ ‎∴满足条件的最大整数 ‎(3) 对任意的都有成立，等价于：‎ 在区间上，函数的最小值不小于的最大值． ‎ 有(2)知，在区间上，的最大值为，‎ ‎，等价于恒成立， ‎ 记，，，‎ 记，，‎ 由于，∴，‎ ‎∴在上递减， ‎ 当时，，时，，‎ 即函数在区间上递增，在上递减， ‎ ‎5．（2019陕西高考）设函数．‎ ‎（1）设，证明：在区间内存在唯一的零点；‎ ‎（2）设为偶数，，求的最小值和最大值；‎ ‎（3）设，若对任意，有，求的取值范围．‎ ‎【解析】(1)当时，，‎ ‎ ∴在区间内存在零点．‎ ‎ 又∵，，‎ ‎ ∴在区间上是单调的，‎ ‎∴在区间内存在唯一的零点． ‎ ‎ （2）由题意，知，‎ ‎∴的最小值为，最大值为． ‎ ‎ （3）当时，．‎ ‎ 对任意，有，‎ ‎ 等价于在上的最大值与最小值之差,‎ 据此分类讨论如下：‎ ‎ （ⅰ）当，即时，，与题设矛盾；‎ ‎ （ⅱ）当，即时，‎ 恒成立； ‎ ‎（ⅲ）当，即时，‎ ‎ 恒成立； ‎ ‎ 综上可知，．‎ ‎6．（2019汕头二模）设函数．其中．‎ ‎（1）若函数在处取得极值，求的值；‎ ‎（2）已知函数有三个不同的零点，分别为，，，且，若对任意的，恒成立，求的取值范围．‎ ‎【解析】（1）∵，‎ ‎∵函数在处取得极值，‎ ‎∴，解得．‎ ‎ （2）设 ‎∴有两相异实根，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴（舍去），或．‎ ‎ 若，则，‎ 而，不合题意；‎ ‎ 若，则对任意的，有，，‎ ‎ 则，又，‎ ‎∴在的最小值为0，‎ 于是对任意的，恒成立的充要条件是 ‎，解得， ‎ 综上，的取值范围是．‎