福建专版2020中考数学复习方案第四单元三角形课时训练22相似三角形 9页

课时训练(二十二)　相似三角形 ‎(限时:35分钟)‎ ‎|夯实基础|‎ ‎1.[2019·淄博桓台县二模]已知ab=‎2‎‎5‎,则a+bb的值为 (　　)‎ A.‎2‎‎5‎ B.‎3‎‎5‎ ‎ C.‎2‎‎3‎ D.‎‎7‎‎5‎ ‎2.[2019·上海徐汇区校级一模]下列四条线段中,不能成比例的是 (　　)‎ A.a=4,b=8,c=5,d=10‎ B.a=2,b=2‎5‎,c=‎5‎,d=5‎ C.a=1,b=2,c=3,d=4‎ D.a=1,b=2,c=2,d=4‎ ‎3.[2018·重庆A卷]要制作两个形状相同的三角形框架,其中一个三角形的三边长分别为5 cm,6 cm和9 cm,另一个三角形的最短边长为2.5 cm,则它的最长边为 (　　)‎ A.3 cm ‎ B.4 cm ‎ C.4.5 cm ‎ D.5 cm ‎4.[2017·长春]如图K22-1,直线a∥b∥c,直线l1,l2与这三条平行线分别交于点A,B,C和点D,E,F.若AB∶BC=1∶2,DE=3,则EF的长为　　　　. ‎ 图K22-1‎ ‎5.[教材题]如图K22-2,已知在△ABC中,D是边AC上的一点,∠CBD的平分线交AC于点E,且AE=AB,求证:AE2=AD·AC.‎ 图K22-2‎ 9‎ ‎6.[2019·张家界]如图K22-3,平行四边形ABCD中,连接对角线AC,延长AB至点E,使BE=AB,连接DE,分别交BC,AC于点F,G.‎ ‎(1)求证:BF=CF;‎ ‎(2)若BC=6,DG=4,求FG的长.‎ 图K22-3‎ ‎|能力提升|‎ ‎7.[2018·泸州]如图K22-4,正方形ABCD中,E,F分别在边AD,CD上,AF,BE相交于点G,若AE=3ED,DF=CF,则AGGF的值是 (　　)‎ A.‎4‎‎3‎ B.‎5‎‎4‎ C.‎6‎‎5‎ D.‎‎7‎‎6‎ 图K22-4‎ ‎8.[2019·泉州质检]如图K22-5,点E为△ABC的内心,过点E作MN∥BC交AB于点M,交AC于点N,若AB=7,AC=5,BC=6,则MN的长为 (　　)‎ 图K22-5‎ A.3.5 B.4 C.5 D.5.5‎ 9‎ ‎9.[2018·包头]如图K22-6,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,AC=BC,D是AB上的一个动点(不与点A,B重合),‎ 图K22-6‎ 连接CD,将CD绕点C顺时针旋转90°得到CE,连接DE,DE与AC相交于点F,连接AE.下列结论:‎ ‎①△ACE≌△BCD;‎ ‎②若∠BCD=25°,则∠AED=65°;‎ ‎③DE2=2CF·CA;‎ ‎④若AB=3‎2‎,AD=2BD,则AF=‎5‎‎3‎.‎ 其中正确的结论是　　　　.(填写所有正确结论的序号) ‎ ‎10.[2019·永州新田县三模]‎ ‎【问题情境】‎ ‎(1)古希腊著名数学家欧几里德在《几何原本》提出了射影定理,又称“欧几里德定理”:在直角三角形中,斜边上的高是两条直角边在斜边射影的比例中项,每一条直角边又是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项.射影定理是数学图形计算的重要定理.‎ 其符号语言是:如图K22-7①,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB,垂足为D,则:(1)CD2=AD·BD,(2)AC2=AB·AD,(3)BC2=AB·BD.请你证明定理中的结论(3)BC2=AB·BD.‎ ‎【结论运用】‎ ‎(2)如图②,正方形ABCD的边长为6,点O是对角线AC,BD的交点,点E在CD上,过点C作CF⊥BE,垂足为F,连接OF,‎ ‎①求证:△BOF∽△BED;‎ ‎②若BE=2‎10‎,求OF的长.‎ 图K22-7‎ 9‎ ‎|思维拓展|‎ ‎11.[2017·攀枝花]如图K22-8,D是等边三角形ABC的边AB上的点,AD=2,BD=4.现将△ABC折叠,使得点C与点D重合,折痕为EF,且点E,F分别在边AC和BC上,则CFCE=　　　　. ‎ 图K22-8‎ ‎12.[2019·乐山]在△ABC中,已知D是BC边的中点,G是△ABC的重心,过G点的直线分别交AB,AC于点E,F.‎ ‎(1)如图K22-9①,当EF∥BC时,求证:BEAE‎+‎CFAF=1.‎ ‎(2)如图②,当EF和BC不平行,且点E,F分别在线段AB,AC上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.‎ ‎(3)如图③,当点E在AB的延长线上或点F在AC的延长线上时,(1)中的结论是否成立?如果成立,请给出证明;如果不成立,请说明理由.‎ ‎①‎ ‎②‎ ‎③‎ 图K22-9‎ 9‎ 9‎ ‎【参考答案】‎ ‎1.D　2.C　3.C　4.6‎ ‎5.证明:∵BE平分∠CBD,‎ ‎∴∠DBE=∠CBE.‎ ‎∵AE=AB,‎ ‎∴∠ABE=∠AEB.‎ ‎∵∠ABE=∠ABD+∠DBE,∠AEB=∠C+∠CBE,‎ ‎∴∠ABD=∠C.‎ ‎∵∠ABD=∠C,∠A=∠A,‎ ‎∴△ABD∽△ACB,‎ ‎∴ABAD=ACAB,即:AB2=AD·AC.‎ ‎∵AE=AB,‎ ‎∴AE2=AD·AC.‎ ‎6.解:(1)证明:∵四边形ABCD是平行四边形,‎ ‎∴AE∥CD,AB=CD,‎ ‎∴∠EBF=∠DCF,∠BEF=∠CDF,‎ ‎∵AB=BE,∴BE=CD,‎ ‎∴△BEF≌△CDF,∴BF=CF.‎ ‎(2)∵BF=CF,BC=6,∴CF=3.‎ ‎∵AD∥BC,∴△ADG∽△CFG,‎ ‎∴CFAD=FGDG,‎ 即‎3‎‎6‎=FG‎4‎,解得FG=2.‎ ‎7.C　[解析]因为正方形ABCD中,AE=3ED,DF=CF,所以设边长为4a,则AE=3a,ED=a,DF=CF=2a,‎ 延长BE,CD交于点M,‎ 易得△ABE∽△DME,‎ 可得MD=‎4‎‎3‎a,‎ 9‎ 因为△ABG∽△FMG,AB=4a,MF=‎10‎‎3‎a,‎ 所以AGGF=ABMF=‎6‎‎5‎.‎ ‎8.B ‎9.①②③　[解析]由题意易得∠BCD=∠ACE,由“边角边”证明△ACE≌△BCD,故①正确;‎ ‎∵△ACE≌△BCD,‎ ‎∴∠CAE=∠CBD=45°.‎ ‎∵∠BCD=25°,∴∠ACE=∠BCD=25°,‎ ‎∴∠AED=∠AEC-∠CED=(180°-25°-45°)-45°=65°,故②正确;‎ ‎∵∠CAE=∠CED=45°,∠ACE=∠ACE,‎ ‎∴△ACE∽△ECF,‎ ‎∴ACEC=ECFC,即EC2=AC·FC,‎ 在Rt△DCE中,DE2=2CE2=2FC·AC,‎ 故③正确;‎ 作DM⊥BC于点M,‎ ‎∵AB=3‎2‎,AD=2BD,‎ ‎∴BD=‎2‎,AC=BC=3,‎ ‎∴DM=BM=1,‎ ‎∴CM=3-1=2,‎ ‎∴DC=CE=‎5‎,‎ 由③可知DE2=2CE2=2CF·CA,‎ ‎∴2×(‎5‎)2=2×3×FC,‎ ‎∴FC=‎5‎‎3‎,‎ ‎∴AF=3-‎5‎‎3‎=‎4‎‎3‎,故④错误.‎ ‎10.解:(1)证明:∵CD⊥AB,‎ ‎∴∠BDC=90°,‎ 而∠CBD=∠ABC,‎ 9‎ ‎∴Rt△CBD∽Rt△ABC,‎ ‎∴CB∶AB=BD∶BC,‎ ‎∴BC2=AB·BD.‎ ‎(2)①证明:∵四边形ABCD为正方形,‎ ‎∴OC⊥BO,∠BCD=90°,‎ ‎∴BC2=BO·BD.‎ ‎∵CF⊥BE,‎ ‎∴BC2=BF·BE.‎ ‎∴BO·BD=BF·BE,‎ 即BOBE=BFBD,‎ 而∠OBF=∠EBD,‎ ‎∴△BOF∽△BED.‎ ‎②∵在Rt△BCE中,BC=6,BE=2‎10‎,‎ ‎∴CE=BE‎2‎-BC‎2‎=2,‎ ‎∴DE=DC-CE=4.‎ 在Rt△OBC中,OB=‎2‎‎2‎BC=3‎2‎,‎ ‎∵△BOF∽△BED,‎ ‎∴OFDE=BOBE,即OF‎4‎=‎3‎‎2‎‎2‎‎10‎,‎ ‎∴OF=‎6‎‎5‎‎5‎.‎ ‎11.‎5‎‎4‎　[解析]由题易知∠A=∠B=∠EDF=60°,∴∠AED=∠FDB,‎ ‎∴△AED∽△BDF,‎ ‎∴EDDF=AE+ED+ADDF+BF+DB.由翻折易知EC=ED,FC=FD,‎ ‎∴CFEC=BC+BDAC+AD,‎ ‎∴CFEC=‎5‎‎4‎.‎ ‎12.解:(1)证明:∵G是△ABC的重心,‎ ‎∴DGAG=‎1‎‎2‎.‎ 又∵EF∥BC,‎ 9‎ ‎∴BEAE=DGAG=‎1‎‎2‎,CFAF=DGAG=‎1‎‎2‎,‎ 则BEAE‎+‎CFAF=‎1‎‎2‎‎+‎‎1‎‎2‎=1.‎ ‎(2)(1)中结论成立,证明如下:如图,‎ 过点A作AN∥BC交EF的延长线于点N,FE,CB的延长线相交于点M,‎ 则BEAE=BMAN,CFAF=CMAN,‎ ‎∴BEAE‎+‎CFAF=BMAN‎+‎CMAN=BM+CMAN.‎ ‎∵D是BC的中点,∴BD=CD,‎ 又∵BM+CM=BM+CD+DM,‎ ‎∴BM+CM=BM+BD+DM=DM+DM=2DM,‎ ‎∴BEAE‎+‎CFAF=‎2DMAN.‎ 又∵DMAN=DGAG=‎1‎‎2‎,‎ ‎∴BEAE‎+‎CFAF=2×‎1‎‎2‎=1,故结论成立.‎ ‎(3)(1)中结论不成立,理由如下:如图,记AB的中点为M,连接CM,则C,G,M三点共线.‎ 当点F在AC的延长线上时,BE=BM+ME>AE,‎ ‎∴BEAE>1,则BEAE‎+‎CFAF>1.‎ ‎∴结论不成立.‎ 同理:当点E在AB的延长线上时,CFAF>1,‎ ‎∴BEAE‎+‎CFAF>1,‎ ‎∴结论不成立.‎ 9‎