数学卷·2019届黑龙江大庆铁人中学高二下学期第一次月考（2018-04） 8页

大庆铁人中学高二学年下学期月考 数学试题 出题人：宋赫 审题人：贾玉文 试题说明：本试题满分150分，答题时间 120 分钟。‎ 一、选择题（本大题共12小题，共60分）‎ ‎1.若函数的导函数可以是 (　　 )‎ A． B. C. D. ‎ ‎2．由＞，＞，＞，…若且，则与之间大小关系为 (　　 )‎ A．相等 B.前者大 C．后者大 D．不确定 ‎3.若， ()，则与的大小关系是 (　　 )‎ A． B. C. D.由的取值确定 ‎4.（理）等于 (　　 )‎ A．π B.2 C.π－2 D.π＋2‎ ‎4.（文）函数在[0，3]上最大，最小值分别为 (　　 )‎ A． 5，-16 B. 5，4 C. -4，-15 D. 5，-15‎ ‎5.设，，则三数 (　　 )‎ A．至少有一个不小于2 B.都小于2‎ C.至少有一个不大于2 D.都大于2‎ ‎6. （理）设 (　　 )‎ A． B. C. D.不存在 ‎6. （文）已知函数在时取得极值，则实数的值是 (　　 )‎ A．3 B.4 C．5 D．6‎ ‎7．曲线 上的点到直线 的最短距离是 (　　 )‎ A． B. C． D．0‎ ‎8．已知有极大值和极小值，则a的取值范围是 (　　 )‎ A． B.‎ C．或 D．或 ‎9．过曲线上的点的切线平行于直线，则切点的坐标为 (　　 )‎ A．（0，-1）或（1，0） B.（1，0）或（-1，-4） ‎ C．（-1，-4）或（0，-2） D．（1，0）或（2，8）‎ ‎10．设是定义域为R的恒大于零的可导函数，且满足则当时有 (　　 )‎ A． B.‎ C． D. ‎ ‎11．设又k是一个常数.已知当或时, 只有一个实根;当时, 有三个相异实根,现给出下列命题:‎ ‎(1) 和有一个相同的实根;‎ ‎(2) 和有一个相同的实根;‎ ‎(3) 的任一实根大于的任一实根;‎ ‎(4) 的任一实根小于的任一实根.‎ 其中,错误命题的个数是 (　　 )‎ A．4 B.3 C.2 D.1‎ ‎12．关于函数给出下列四个判断：‎ ‎①的解集是 ②是极小值，是极大值 ‎③没有最小值，也没有最大值 ④有最大值，没有最小值 则其中判断正确的是： (　　 )‎ A． ①② B. ①②③ C. ②③ D. ①②④.‎ 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13.奇函数在处有极值,则的值为 .‎ ‎14.与直线垂直，且与曲线相切的直线方程是___________．‎ ‎15.已知：sin230°＋sin290°＋sin2150°＝， sin25°＋sin265°＋sin2125°＝.‎ 通过观察上述两等式的规律，请你写出一般性的结论 .‎ ‎16.设函数，若对于任意，都有恒成立，则k的值为 .‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17. （本小题10分）‎ 已知曲线上一点，求：‎ ‎（1）点处的切线方程；‎ ‎（2）点处的切线与轴、轴所围成的平面图形的面积.‎ ‎18．（本小题12分）‎ 已知函数 ‎（1）当a＝－3时，求函数的极值点；‎ ‎（2）当a＝－4时，求方程在(1，＋∞)上的根的个数．‎ ‎19.（本小题12分）‎ 已知 ‎（1）利用反证法证明：‎ ‎（2）证明：‎ ‎20．（理）（本小题12分）‎ 设数列的前n项和为，且方程有一根为，n＝1,2,3，….‎ ‎（1）求，；‎ ‎（2）猜想数列的通项公式，并证明．‎ ‎20．（文）（本小题12分）‎ 设，已知函数.‎ ‎（1）令，讨论在（0.＋∞）内的单调性并求极值；‎ ‎（2）求证：当时，恒有.‎ ‎21．（本小题12分）‎ 已知函数，（是自然对数的底数）‎ ‎（1）求证：‎ ‎（2）若不等式在上恒成立，求正数的取值范围 ‎22. （本小题12分）‎ 已知函数 ‎（1）讨论的单调性 ‎（2）当时，证明 一、 选择题（本大题共12小题，共60分）‎ BBBDACACBBDD 二、填空题（本大题共4小题，共20分）‎ ‎13．0 14．‎ ‎15. 16.4‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分）‎ ‎17．解：（Ⅰ）‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）对x+y+2=0;令x=0,y=-2令y=0,x=-2‎ ‎18．　(1)f(x)＝lnx＋x2－3x，f ′(x)＝＋2x－3，‎ 令f ′(x)＝0，则x＝1或x＝，‎ 由f ′(x)>0得01，‎ ‎∴f(x)在(0，)和(1，＋∞)上单调递增，在(，1)上单调递减，‎ ‎∴f(x)的极大值点x＝，极小值点x＝1.‎ ‎(2)当a＝－4时，f(x)＋x2＝0，即lnx＋2x2－4x＝0，‎ 设g(x)＝lnx＋2x2－4x，则 g′(x)＝＋4x－4＝≥0，‎ 则g(x)在(0，＋∞)上单调递增，‎ 又g(1)＝－2<0，g(2)＝ln2>0，‎ 所以g(x)在(1，＋∞)上有唯一实数根．‎ ‎19.‎ ‎20．（理）‎ 解：(1)当n＝1时，x2－a1x－a1＝0有一根为S1－1＝a1－1，‎ 于是(a1－1)2－a1(a1－1)－a1＝0，解得a1＝.‎ 当n＝2时，x2－a2x－a2＝0有一根为S2－1＝a2－，‎ 于是(a2－)2－a2(a2－)－a2＝0，‎ 解得a2＝.‎ ‎(2)由题设(Sn－1)2－an(Sn－1)－an＝0，‎ S－2Sn＋1－anSn＝0.‎ 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1，‎ 代入上式得Sn－1Sn－2Sn＋1＝0.①‎ 由(1)得S1＝a1＝，S2＝a1＋a2＝＋＝.‎ 由①可得S3＝.由此猜想Sn＝，n＝1,2,3，….‎ 下面用数学归纳法证明这个结论．‎ ‎(i)n＝1时已知结论成立．‎ ‎(ii)假设n＝k时结论成立，即Sk＝，当n＝k＋1时，由①得Sk＋1＝，即Sk＋1＝，故n＝k＋1时结论也成立．‎ 综上，由(i)、(ii)可知Sn＝对所有正整数n都成立．‎ ‎20．（文）‎ ‎（Ⅰ）解：根据求导法则有，‎ 故，‎ 于是，‎ 列表如下：‎ ‎2‎ ‎0‎ 极小值 故知在内是减函数，在内是增函数，所以，在处取得极小值．‎ ‎（Ⅱ）证明：由知，的极小值．‎ 于是由上表知，对一切，恒有．‎ 从而当时，恒有，故在内单调增加．‎ 所以当时，，即．‎ 故当时，恒有．‎ ‎21． ‎ ‎22.‎