2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试数学理试题（Word版） 8页

‎2017-2018学年河南省南阳市高二下学期期中考试 数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知为虚数单位，复数，则以下为真命题的是（ ）‎ A．的共轭复数为 B．的虚部为 ‎ C． D．在复平面内对应的点在第一象限 ‎2.设，，都是正数，则三个数，，（ ）‎ A．都大于2 B．至少有一个大于2 ‎ C．至少有一个不小于2 D．至少有一个不大于2‎ ‎3.当在上变化时，导函数的符号变化如下表：‎ ‎1‎ ‎4‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ 则函数的图像大致形状为（ ）‎ ‎ ‎ A． B． C． D． ‎ ‎4.直线与曲线相切于点，则的值为（ ）‎ A．-1 B．0 C.1 D．2‎ ‎5.已知函数在处取得极大值10，则的值为（ ）‎ A． B． C.-2或 D．-2‎ ‎6.利用数学归纳法证明不等式（，‎ ‎）的过程中，由变到时，左边增加了（ ）‎ A．1项 B．项 C.项 D．项 ‎7.若曲线与曲线在交点处由公切线，则（ ）‎ A．-1 B．0 C.2 D．1‎ ‎8.若函数（）有最大值-4，则的值是（ ）‎ A．1 B．-1 C.4 D．-4‎ ‎9.函数在上有最小值，则实数的范围是（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎10.将正奇数1,3,5,7，…排成五列（如下表），按此表的排列规律，2019所在的位置是（ ）‎ A．第一列 B．第二列 C.第三列 D．第四列 ‎11.设定义在上的函数的导函数满足，则（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ ‎12. 一个机器人每一秒钟前进一步或后退一步，程序设计师设计的程序是让机器人以先前进3步，然后再后退2步的规律移动.如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向在数轴上移动(1步的距离为1个单位长度).令表示第秒时机器人所在位置的坐标，且记,则下列结论中错误的是（ ）‎ A． B． ‎ C. D．‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. ．‎ ‎14.我们知道，在边长为的正三角形内任一点到三边的距离之和为定值，类比上述结论，在棱长为的正四面体内任一点到其四个面的距离之和为定值 ．‎ ‎15.已知函数（），若函数在上未单调函数，则的取值范围是 ．‎ ‎16.定义：如果函数在区间上存在，（），满足，，则称函数在区间上市一个双中值函数，已知函数是区间上的双中值函数，则实数的取值范围是 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知是虚数单位，复数满足.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若复数的虚部为2，且是实数，求.‎ ‎18. 设点在曲线上，从原点向移动，如果直线，曲线及直线所围成的两个阴影部分的面积分别记为，，如图所示.‎ ‎（1）当时，求点的坐标；‎ ‎（2）当有最小值时，求点的坐标.‎ ‎19. 已知函数在与时都取得极值.‎ ‎（1）求，的值与函数的单调区间；‎ ‎（2）若对，不等式恒成立，求的取值范围.‎ ‎20. 已知数列，，…，，为该数列的前项和.‎ ‎（1）计算，，，；‎ ‎（2）根据计算结果，猜想的表达式，并用数学归纳法证明.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）证明；‎ ‎（2）如果对恒成立，求的范围.‎ ‎22.已知函数（为自然对数的底数）.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）设函数，存在实数，，使得成立，求实数的取值范围.‎ 试卷答案 一、选择题 ‎1-5:DCCAB 6-10:DDBCC 11、12：AD 二、填空题 ‎13. 14. 15. ∪[1，＋∞) 16. ‎ 三、解答题 ‎17. 解：（1）． ‎ ‎（2）设,‎ 则,‎ 是实数∴．‎ ‎∴． ‎ ‎18. 解：（1）设点P的横坐标为t（0＜t＜2），则P点的坐标为（t，t2），‎ 直线OP的方程为y=tx ‎ S1=∫0t（tx﹣x2）dx=，S2=∫t2（x2﹣tx）dx=，‎ 因为S1=S2，，所以，点P的坐标为 ‎ ‎（2）S=S1+S2=‎ S′=t2﹣2，令S'=0得t2﹣2=0，t= ‎ ‎ 因为0＜t＜时，S'＜0；＜t＜2时，S'＞0 ‎ 所以，当t=时，S1＋S2有最小值，P点的坐标为．‎ ‎19. 解：（1）‎ 由，得 ‎，‎ 随着变化时，的变化情况如下表：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 极大值 ¯ 极小值 所以函数的递增区间是与,递减区间是； ‎ ‎（2），‎ 当时，由（1）知在上的最大值为 所以只需要，得 ‎ 当时，由（1）知在上的最大值为 所以只需要，解得 ‎ 所以 综上所述，的取值范围为 ‎20. （1）．‎ ‎（2）猜想， ‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎①当时，，猜想成立； ‎ ‎② 假设当时，猜想成立，即， ‎ 当时， ‎ 故当时，猜想成立． ‎ 由①②可知，对于任意的，都成立．‎ ‎21. 解：（1）证明：‎ ‎ 故 （2） 由题意知恒成立，‎ 设，则 ‎ ‎，‎ 符合题意 ‎，‎ 即 单调递减 不合题意 ‎ 综上，的取值范围为 ‎22. 解:(1)∵函数的定义域为R，f′(x)＝－，‎ ‎∴当x<0时，f′(x)>0，当x>0时，f′(x)<0，‎ ‎∴f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减． ‎ ‎(2)存在x1，x2∈[0,1]，使得2φ(x1)<φ(x2)成立， 则2[φ(x)]min<[φ(x)]max.‎ ‎∵φ(x)＝xf(x)＋tf′(x)＋e－x＝，‎ ‎∴. ‎ ‎①当t≥1时，φ′(x)≤0，φ(x)在[0,1]上单调递减，∴2φ(1)<φ(0)，即t>3－>1；‎ ‎②当t≤0时，φ′(x)>0，φ(x)在[0,1]上单调递增， ∴2φ(0)<φ(1)，即t<3－2e<0；‎ ‎③当00，φ(x)在(t,1)上单调递增，∴2φ(t)