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- 2024-04-28 发布
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吉林省长春外国语学校2018-2019学年高二下学期第二次月考数学（文)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．已知集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简集合S、T,再求得解.
【详解】
由题得，
所以.
故选：D
【点睛】
本题主要考查集合的化简和交集运算，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
2．函数的定义域（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
解不等式即得函数的定义域.
【详解】
由题得
所以函数的定义域为.
故选：A
【点睛】
本题主要考查函数的定义域的求法，考查对数函数和幂函数的定义域，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
3． （ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
直接利用诱导公式化简即可得解.
【详解】
由题得原式=.
故选：B
【点睛】
本题主要考查诱导公式的化简求值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
4．一支田径队有男运动员人，女运动员人，用分层抽样方法从全体运动员中抽取一个容量的样本，则样本中女运动员人数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由题得样本中女运动员人数为，计算即得解.
【详解】
由题得样本中女运动员人数是.
故选：C
【点睛】
本题主要考查分层抽样，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
5．要得到函数的图像，需要将函数的图像（ ）
A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度
C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】
先化简，即得解.
【详解】
由题得，
所以要得到函数的图像，需要将函数的图像向右平移个单位长度.
故选：D
【点睛】
本题主要考查三角函数的图像的变换，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
6．已知向量，，若∥，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知向量的坐标求出的坐标，代入共线向量得坐标运算公式求解．
【详解】
，，
，，
由，
得，即．
故选：C．
【点睛】
本题考查了两向量平行的坐标表示与应用问题，是基础题目．
7．等比数列中，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
由等比数列性质得
因为等比数列中，同号，所以，选A.
8．下列函数，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析判断得解.
【详解】
对于选项A，，函数不是偶函数，所以该选项是错误的；
对于选项B, 所以函数f(x)是偶函数，在上是减函数，在上是增函数，在上是增函数，所以该选项是正确的；
对于选项C, 是偶函数，在上是减函数，所以该选项是错误的；
对于选项D, ,是偶函数，在上不是增函数，是非单调函数，所以该选项是错误的.
故选：B
【点睛】
本题主要考查函数的单调性和奇偶性的判断，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
9．已知过点，的直线与直线平行，则的值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
根据条件知道过点A(-2，m)和B(m，4)的直线斜率和已知直线的斜率之积为-1，
故。
故答案为：D。
10．已知圆为坐标原点，则以为直径的圆的方程( )
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
先求出圆心和半径，即得圆的方程.
【详解】
由题得OC中点坐标为（3,4），
圆的半径为，
所以圆的方程为.
故选：C
【点睛】
本题主要考查圆的方程的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.
11．已知函数，则的值是 （ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
【分析】
根据分段函数的解析式，求得，进而求解的值，得到答案。
【详解】
，则，
又，则，
故答案选C
【点睛】
本题考查分段函数求值，对于多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值，一定要注意自变量的值所在的范围，然后代入相应的解析式求解。
12．平面与平面平行的条件可以是（ ）
A．内有无穷多条直线都与平行
B．直线∥，∥，且直线不在平面内，也不在平面内
C．直线，直线，且∥，∥
D．内的任何直线都与平行
【答案】D
【解析】
【分析】
对每一个选项逐一分析得解.
【详解】
对于选项A，内有无穷多条直线都与平行，则可能与平行或相交，所以该选项错误；
对于选项B, 直线∥，∥，且直线不在平面内，也不在平面内, 则可能与平行或相交，所以该选项错误；
对于选项C, 直线，直线，且∥，∥,则可能与平行或相交，所以该选项错误；
对于选项D, 内的任何直线都与平行,所以，所以该选项正确.
故选：D
【点睛】
本题主要考查面面平行的判断证明，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理空间想象能力.
第II卷（非选择题)
请点击修改第II卷的文字说明
评卷人
得分
二、填空题
13．函数的最小正周期为_______
【答案】
【解析】
【分析】
先化简函数f(x)，再利用三角函数的周期公式求解.
【详解】
由题得
所以函数的最小正周期为.
故答案为：
【点睛】
本题主要考查三角恒等变换和三角函数的周期的求法，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
14．已知变量满足约束条件，则的最小值为_______
【答案】
【解析】
【分析】
作出满足不等式组的可行域，由可得可得为该直线在轴上的截距，
截距越大，越小，结合图形可求的最大值
【详解】
作出变量，满足约束条件所表示的平面区域，如图所示：
由于可得，则表示目标函数在轴上的截距，截距越大，越小
作直线，然后把直线向平域平移，由题意可得，直线平移到时，最小，
由可得，此时．
故答案为：-3
【点睛】
本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于中档题．
15．已知，，则__________．
【答案】
【解析】
分析：先根据条件解出再根据两角和正弦公式化简求结果.
详解：因为，，所以，
因此
点睛：三角函数求值的三种类型
(1)给角求值：关键是正确选用公式，以便把非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数.
(2)给值求值：关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.
①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用；
②变换待求式，便于将已知式求得的函数值代入，从而达到解题的目的.
(3)给值求角：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，确定角.
16．设直三棱柱的所有顶点都在一个球面上，且球的表面积是，,,则此直三棱柱的高是_______
【答案】
【解析】
【分析】
先求出球的半径R，再求△ABC外接圆的半径r，再根据求直三棱柱的高.
【详解】
因为球的表面积是4，所以
设=x,则，
设△ABC的外接圆的半径为r,则
由题得
所以此直三棱柱的高是.
故答案为：.
【点睛】
(1)本题主要考查几何体外接球问题，意在考查学生对这些知识的掌握水平和空间想象能力.(2)解答本题的关键是根据空间图形得到.
评卷人
得分
三、解答题
17．已知△ABC的内角A、B、C的对边分别为且
（1）求角的大小；
（2）设向量,，，当取最大值时，求
【答案】(1)(2).
【解析】
分析：（1）由题意，根据正弦定理可得，再由余弦定理可得，
由此可求角的大小；
（2）因为由此可求当取最大值时，求边的长.
详解：
（1）由题意，
所以
（2）因为
所以当时， 取最大值，此时，
由正弦定理得，
点睛：本题考查正弦定理，余弦定理的应用，考查向量数量积的运算，以及二次函数的最值，属于中档题．
18．如图，从参加环保知识竞赛的学生中抽出名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如下：观察图形，回答下列问题：
（1）这一组的频数、频率分别是多少？
（2）估计这次环保知识竞赛的及格率（分及以上为及格）
【答案】(Ⅰ)频数为、频率；(Ⅱ).
【解析】
试题分析：（1）利用频率分布直方图中，纵坐标与组距的乘积是相应的频率，频数=频率×组距，可得结论；
（2）纵坐标与组距的乘积是相应的频率，再求和，即可得到结论．
试题解析：（1）由频率的意义可知，成绩在79.5～89.5这一组的频率为：0.025×10=0.25，频数：60×0.25=15;
（2）利用纵坐标与组距的乘积是相应的频率可得及格率为0.015×10+0.025×10+0.03×10+0.005×10=0.75平均分为： 70.5
考点：用样本的频率分布估计总体分布；频率分布直方图．
19．如图，圆锥中，为底面圆的两条直径，,且，,为的中点.
（1）求证：∥平面；
（2）求圆锥的表面积和体积；
【答案】（1）见证明；（2）；
【解析】
【分析】
（1）连接，利用三角形中位线性质，可得线线平行，从而可得线面平行；
（2）分别计算圆锥底面、侧面面积、高，即可求得圆锥的表面积和体积。
【详解】
（1）连接，
、分别为、的中点，
在中，、分别为、的中点，则 ，
由于平面，平面，，
平面；
（2）， ，为圆锥的高，为圆锥底面圆的半径，
，
由于为圆锥的高，则母线，
，，
故
【点睛】
本题主要考查线面平行的判定，圆锥表面与体积的计算，考查学生的推理论证能力与运算能力。
20．已知圆经过点，和直线相切，且圆心在直线上.
（1）求圆的方程；
（2）已知直线经过原点，并且被圆C截得的弦长为，求直线的方程.
【答案】(1) (2) 或
【解析】
【分析】
（1）由题意设出圆心C的坐标，由圆与直线相切的关系列出方程，求出圆C的圆心坐标和半径，即可求出圆的方程；
（2）设直线m的方程为y＝kx，根据弦长公式列出方程求出k即可．
【详解】
（1）设圆心的坐标为，
则.
解得或.
所以，半径或
故圆的方程为：或.
（2）①当直线的斜率不存在时，直线的方程为:，此时直线被圆截得的弦长为2，满足条件.
②当直线的斜率存在时，设直线的方程为，
由题意得，解得，
则直线的方程为.
综上所述，直线的方程为或.
【点睛】
本题考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，考查方程思想和待定系数法求圆的方程，属于中档题．
21．已知函数
（1）若函数是偶函数，求的值；
（2）若函数在上，恒成立，求的取值范围.
【答案】(1) ;（2）
【解析】
【分析】
(1)利用偶函数的定义判断得解；（2）对x分三种情况讨论，分离参数求最值即得实数k的取值范围.
【详解】
由题得，
由于函数g(x)是偶函数，所以，
所以k=2.
（2）由题得在上恒成立，
当x=0时，不等式显然成立.
当，所以在上恒成立，
因为函数在上是减函数，所以.
当时，所以在上恒成立，
因为函数在上是减函数，在上是增函数，
所以.
综合得实数k的取值范围为.
【点睛】
本题主要考查函数的奇偶性的判断，考查函数的单调性的判断和应用，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
22．选修4—4：坐标系与参数方程
已知曲线的极坐标方程为
（1）若以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，求曲线的直角坐标方程；
（2）若是曲线上的一个动点，求的最大值.
【答案】（1）(2)
【解析】
【分析】
（1）利用极坐标化直角坐标的公式求解即可；（2）设,利用三角函数图像和性质解答得解.
【详解】
（1）由题得，所以.
所以曲线的直角坐标方程为.
设,
所以，
其中在第一象限，且.
所以x+2y最大值为5.
【点睛】
本题主要考查极坐标和直角坐标方程的互化，考查三角函数的恒等变换和最值，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
23．选修4—5：不等式选讲
已知函数，集合
（1）求；
（2）若，求证：
【答案】（1）；（2）见解析
【解析】
试题分析：（1）先根据绝对值定义，将函数化为分段函数的形式，画出图像，根据图象即可求得；（2）结合（1）得，作差，化简即可得证.
试题解析：(1)函数
首先画出与的图象如图所示：
可得不等式解集为：.
(2) ∵
∴.
∴
∴,故.