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- 2024-04-22 发布
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2018—2019江阴市第一中学高二上12月阶段性检测卷
数 学
2018．12
一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共70分，请将答案填写在答题卷相应的位置上）
1．命题“，”的否定为 ．
2．函数f(x)＝x－ln x的单调递减区间为________．
3．设m、n是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，则下列命题正确的是________.
①若m⊥n，n∥α，则m⊥α；
②若m∥β，β⊥α，则m⊥α；
③若m⊥β，n⊥β，n⊥α，则m⊥α；
④若m⊥n，n⊥β，β⊥α，则m⊥α.
4．抛物线上横坐标为3的点P到焦点F的距离为_________．
5．有一个球心为，半径的球，球内有半径的截面圆，截面圆心为，连接并延长交球面于点，以截面为底，为顶点，可以做出一个圆锥，则圆锥的体积为 ．
6．函数的图象在处的切线方程为 ．
7．若双曲线的一条渐近线方程为，则 ．
8．“”是“直线和直线平行”的 条件．（选填“充要”，“充分不必要”，“必要不充分”，“既不充分也不必要”中的一个）
9．已知函数，若函数有3个零点，则m的取值范围
是 ．
10．圆心在x轴上且与直线l：y = 2x+1切于点的圆C的标准方程为 ．
11．函数的定义域为R，且，，则不等式的解集
为 ．
12．若直线与圆没有公共点，则此直线倾斜角的取值范围
是 ．
13．已知函数（）. 若存在，使得成立，则a的最小值为 ．
14．如图，椭圆的右焦点为F，过F的直线交椭圆于两点，点是点A关于原点O的对称点，若且，则椭圆的离心率为 ．
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二、解答题（本大题共6小题，共计90分．请在答题纸指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
15．（本小题满分14分）
已知命题：；命题：方程表示双曲线.
(1) 若命题为真命题，求实数的取值范围；
(2) 若命题“”为真命题，“”为假命题，求实数的取值范围．
16．（本小题满分14分）
如图，四棱锥P－ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为正方形，BC＝PD＝2，E为PC的中点，CB＝3CG.
(1)求证：PC⊥BC；
(2)AD边上是否存在一点M，使得PA∥平面MEG？若存在，求AM的长；若不存在，请说明理由.
17．（本小题满分14分）
在平面直角坐标系中，椭圆的左焦点为，左顶点为，上、下顶点分别为.
(1) 若直线经过中点M，求椭圆E的标准方程；
(2) 若直线的斜率为1，与椭圆的另一交点为D，求点D到椭圆E右准线的距离.
18．（本小题满分16分）
某公园内直线道路旁有一半径为10米的半圆形荒地（圆心O在道路上，AB为直径），现要在荒地的基础上改造出一处景观．在半圆上取一点C，道路上B点的右边取一点D，使OC垂直于CD，且OD的长不超过20米．在扇形区域AOC内种植花卉，三角形区域OCD内铺设草皮．已知种植花卉的费用每平方米为200元，铺设草皮的费用每平方米为100元．
(1) 设（单位：弧度），将总费用y表示为x的函数式，并指出x的取值范围；
(2) 当x为何值时，总费用最低？并求出最低费用．
19．（本小题满分16分）
若圆：的半径为r，圆心到直线：的距离为，
其中，且．
(1) 求的取值范围；
(2) 求的值；
(3) 是否存在定圆既与直线相切又与圆相离？若存在，请写出定圆的方程，并给出证明；若不存在，请说明理由．
20．（本小题满分16分）
已知函数，，其中e为自然对数的底数．
(1) 当时，求函数的单调区间；
(2) 求函数在区间上的值域；
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江阴市第一中学2018—2019学年度第一学期12月阶段测试
高 二 数 学
2018．12
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参 考 答 案
一、填空题
1.， 2．(0,1)z 3. ③ 4. 4 5. 6. 7. 8. 充分不必要
9.(-,0) 10. 11. 12. 13. 16 14.
二、解答题
15 （本小题满分14分）
⑴对于任意，
若命题为真命题，则，所以；……5分
⑵若命题为真命题，则，所以，……8分
因为命题为真命题，则至少有一个真命题，为假命题，
则至少有一个假命题，所以一个为真命题，一ziyuanku.com个为假命题. ……10分
当命题为真命题，命题为假命题时，，则，
当命题为假命题，命题为真命题时，，则，
综上，. ……14分
16. （本小题满分14分）
(1)证明 因为PD⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，
所以PD⊥BC.
因为四边形ABCD是正方形，所以BC⊥CD.
又PD∩CD＝D，所以BC⊥平面PCD.
因为PC⊂平面PDC，所以PC⊥BC. ……6分
(2)解 连结AC，BD交于点O，连结EO，GO，
延长GO交AD于点M，连结EM，则PA∥平面MEG.
证明如下：因为E为PC的中点，O是AC的中点，
所以EO∥PA.
因为EO⊂平面MEG，PA⊄平面MEG，
所以PA∥平面MEG.
因为△OCG≌△OAM，所以AM＝CG＝，
所以AM的长为. ……14分
17（本小题满分14分）
⑴由题意，，
又，所以，直线：.……2分
M为的中点，所以，
代入直线，则，.……4分
由，所以，
所以椭圆E的标准方程是.……6分
⑵因为直线的斜率为，则，所以椭圆，……8分
又直线，则，
解得（舍），或，……11分
因为右准线的方程为，
所以点到右准线的距离为. ……14分
18（本小题满分16分）
⑴因为扇形AOC的半径为10 m，()，
所以扇形AOC的面积，．……3分
在Rt△COD中，OC＝10，CD＝10，
所以△COD的面积S△COD＝·OC·CD＝．……5分
从而＝100S△COD＋200S扇形AOC＝，．……8分
（注：没有x的范围，扣1分）
⑵设，则，
，令，解得，……11分
从而当时，；当，．
因此 在区间上单调递减；在区间上单调递增．
当时，取得最小值，．……14分
所以的最小值为元． ……15分
答：当时，改造景观的费用最低，最低费用为元． ……16分
19（本小题满分16分）
⑴因为，又，且，
所以且，解得； ……3分
⑵易得圆的圆心，半径，
圆心到直线的距离，
所以； ……8分
⑶存在定圆：满足题意，下证之： ……10分
1°因为M(0，0)到直线的距离为，所以圆与直线相切；
2°因为，且，……12分
而，
故，所以圆与圆相离．
由1°、2°得，存在定圆：满足题意． ……16分
20（本小题满分16分）
⑴当时，，定义域为，．
令，得增区间为；令，得减区间为．……6分
⑵．
当时，，在上为增函数，故，
从而的值域为；
当时，，在上为减函数，故，
从而的值域为；
当时，时,递增；时,递减
故的最大值为；最小值为与中更小的一个，
当时，最小值为；
当时，，最小值为．
综上所述，当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为；
当时，值域为． ……16分
