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- 2024-04-22 发布
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2019-2020学年度第一学期高二年级期中考试试题
数 学
（满分150分 考试时间120分钟）
注意事项：
1．本次考试的试卷分为试题卷和答题卷，本卷为试题卷，请将答案和解答写在答题卷指定的位置，在试题卷和其它位置解答无效．
2．本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知，则的元素个数为（ ）
A．0 B．2 C．3 D．5
2.已知，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
3.已知直线与直线平行，则它们之间的距离是（ ）
A.1 B. C.3 D.4
4.已知各项不为0的等差数列，满足，数列是等比数列，且
，则( )
A．2 B．4 C．8 D．16
5.如图，在正方形中，点是的中点，点是的一个三等分点，
那么＝( )
A． B．
C． D．
6.已知半径为1的动圆与定圆相切，则动圆圆心的轨迹方程是（ ）
A． B．或
C． D．或
7.已知，则的值为( )
A. B. C. D.
8.若直线与圆有两个不同交点,则点与圆的位置关系是( )
A.点在圆上 B.点在圆内 C.点在圆外 D.不能确定
1
－1
1
O
x
y
1
－1
1
O
x
y
1
－1
1
O
x
y
9. 函数的图象大致为( )
A B C D
10.已知函数，其相邻两条对称轴之间的距离为，将的图像向右平移个单位后，所得函数的图像关于轴对称，则（ ）
A. 的图像关于点对称 B. 的图像关于直线对称
C. 在区间单调递增 D. 在区间单调递增
11.已知函数，若关于的方程有3个实数根，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
12．著名数学家华罗庚曾说过：“数形结合百般好，隔裂分家万事休．”事实上，有很多
代数问题可以转化为几何问题加以解决，如：可以转化为平面上点
M(x，y)与点N(a，b)的距离．结合上述观点，可得
的最小值为（ ）
A． B． C．4 D．8
二.填空题：(本大题共4小题，每小题5分，共20分)
13.若经过两点、的直线的倾斜角为，则等于_________
14.已知圆与圆相交于A、B两点，则两圆的公共弦方程为______________
15.在边长为菱形中，已知为的中点，，则
______________
16．当曲线与直线有两个相异的交点时，实数的取值
范围是____________________
17．在锐角中, 分别为角所对的边,且.
（1）确定角的大小;
（2）若,且的面积为,求的值.
18．记为差数列的前n项和，已知，.
(1)求的通项公式；
(2)令，，若对一切成立，求实数的最大值.
19.如图，四棱锥中，平面，底面是平行四边形，若，.
（1）求证：平面平面；
（2）求棱与平面所成角的正弦值.
20.已知圆C：，直线：.
(1) 求直线恒过一个定点的坐标.
(2) 当直线与圆C相交于A、B两点，且时，求直线的方程.
21. (本题12分)如图，已知四边形与四边形均为菱形，，且
(1).求证：平面；
(2).求二面角的余弦值．
22.（本小题满分12分）
在平面直角坐标系 中，设圆 的圆心为．
（1）求过点 且与圆 相切的直线的方程；
（2）若过点且斜率为 的直线与圆相交于不同的两点，，以，为邻边作平行四边形，问是否存在常数，使得平行四边形 为矩形?请说明理由．
2019-2020学年度第一学期高二年级期中考试试题答案
数学答案
（考试120分钟; 满分150分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，满分60分.）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
选项
B
A
B
C
D
D
B
C
C
C
A
A
二、填空题：请把答案填在题中横线上（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．-3 14. 15．3 16 .
三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．17.答案：1.由及正弦定理得,
,
∵是锐角三角形,
2. ∵,
由面积公式得即,①
由余弦定理得即,②
由②变形得,
故;
18：解：(1)∵等差数列中，，.
∴，解得.
，.
(2)
，
是递增数列，，
，
∴实数的最大值为.
19.解：（1）∵平面，∴，
∵，，，∴，∴，
∴平面，
又∵平面，
∴平面平面.
（2）以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图空间直角坐标系，
则，，，，于是
，，，
设平面的一个法向量为，
则，解得，
∴，设与平面所成角为，则.
20.（1）由得定点
（2）
21.解：(1).设交于点，连结，
∵四边形与四边形均为菱形，，
且，
，
∵四边形与四边形均为菱形，，
，平面．
(2).，平面，
∴以为x轴，为y轴，为轴，建立空间直角坐标系，
设，则，
，，
设平面的法向量，
则，取，得，
设平面的法向量，
则，取，得，
设二面角的平面角为，由图可知为钝角
则．∴二面角的余弦值为．
22. 解：（1） 由题意知，圆心 坐标为，半径为2，
①当切线斜率不存在时，直线方程为，满足题意；…………………………1分
②当切线斜率存在时，设切线方程为：， ……………………………2分
所以，由，解得，
所求的切线方程为 或．…………………………………………4分
（2） 假设存在满足条件的实数，设，，
联立 得， ……………………6分
因为，所以，
所以，
且， ……………………8分
因为，
所以，……………………………………9分
又，…………………………………………10分
要使平行四边形为矩形，
则，解得， …………………………11分
所以存在常数，使得平行四边形 为矩形．…………………………12分
另法：要使平行四边形为矩形，则，
所以，即，
所以，解得。
