2020学年高一数学上学期期末考试试题（含解析） 9页

‎2019学年第一学期高一期末考试 数学试卷 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎2. 已知角的始边是轴的正半轴，终边经过点，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意可知，故.‎ ‎3. 计算：（ ）‎ A. 3 B. 2 C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】原式.‎ ‎4. 已知向量，若，则（ ）‎ A. B. 9 C. 13 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于两个向量垂直，故，故.‎ ‎5. 若幂函数的图象过点，则满足的实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】依题意有，，.‎ - 9 -‎ ‎6. 函数的最大值是 （ ）‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】，故最大值为.‎ ‎7. 下列函数是奇函数，且在上是增函数的是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】选项为偶函数，选项为非奇非偶函数.选项在为减函数，在为增函数.选项在上为增函数，符合题意.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的奇偶性和单调性.判断函数的奇偶性，首先判断函数的定义域是否关于原点对称，选项定义域显然不关于原点对称，故为非奇非偶函数.然后计算，化简后看等于还是.函数的单调性中是对钩函数，在不是递增函数.‎ ‎8. 若，是第二象限角，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由于角为第二象限角，故，所以，，故 ‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数的基本关系式，考查二倍角公式和两角差的正弦公式.首先根据角的正弦值和所在的象限，求得角的余弦值，然后利用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，最后利用两角差的正弦公式展开所求式子，代入已知数值即可求得最后结果.‎ ‎9. 函数的零点为，则 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】，，故函数的零点在区间.‎ ‎10. 在平行四边形中，是中点，是中点，若，则（ ）‎ - 9 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】连接，由于为中点，故.‎ ‎11. 曲线，曲线，下列说法正确的是 （ ）‎ A. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到 B. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到 C. 将上所有点横坐标扩大到原来的2倍，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到 D. 将上所有点横坐标缩小到原来的，纵坐标不变，再将所得曲线向左平移个单位，得到 ‎【答案】B ‎【解析】由于，故首先横坐标缩小到原来得到，再向左平移个单位得到.故选.‎ ‎12. 若不等式对任意的恒成立，则的取值范围是 （ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】当时，原不等式化为，不恒成立，排除，故选.‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ - 9 -‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分，将答案填在答题纸上.‎ ‎13. 若，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】分子分母同时除以得，解得，故.‎ ‎14. ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】，，故原式.‎ ‎15. 若函数在是单调函数，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由于函数为二次函数，对称轴为，只需对称轴不在区间上即可，即或，解得.‎ ‎【点睛】本题主要考查二次函数单调区间的知识.对于二次函数来说，它的单调区间主要由开口方向和对称轴来决定.当开口向上时，左减右增，当开口向下是，左增右减.本题中由于题目只需要区间上的单调函数，不需要递增还是递减，故只需对称轴不在给定区间内即可.‎ ‎16. 已知函数在区间内单调递减，则的最大值为__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】，根据单调性有，解得，故，解得，当时，.‎ ‎...............‎ - 9 -‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知集合．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）首先求得，由此求得的值.（2），由于，故，解得.‎ ‎【试题解析】‎ 解：，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∵，∴，∴．‎ ‎18. 已知向量．‎ ‎（1）若与共线，求的值；‎ ‎（2）记，求的最大值和最小值，及相应的的值．‎ ‎【答案】（1）（2）当时，取得最大值2；当时，取得最小值-1．‎ ‎【解析】【试题分析】（1）利用两个向量共线，则有，解方程求得的值.（2）利用向量坐标运算化简，进而求得的最大值和最小值，及相应的的值.‎ ‎【试题解析】‎ 解：（1）∵与共线，∴，‎ ‎∴，∵，∴；‎ ‎（2），‎ ‎∵，∴，∴，∴，‎ 当即时，取得最大值2；当，即时，取得最小值-1．‎ ‎19. 已知函数的图象过点．‎ ‎（1）若，求实数的值；‎ - 9 -‎ ‎（2）当时，求函数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）将点代入函数，由此求得的值，进而得出的表达式.解方程，可求得实数的值.（2）将分离常数，得到，它在上为减函数，在区间端点取得最小值和最大值.由此求得函数的值域.‎ ‎【试题解析】‎ 解：（1），∴，‎ ‎，‎ ‎∴，∴；‎ ‎（2），‎ 显然在与上都是减函数，‎ ‎∵，∴在上是减函数，‎ ‎∵，∴．‎ ‎20. 函数的部分图象如图所示．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求图中的值及函数的递增区间．‎ ‎【答案】（1）（2） ‎ ‎【解析】【试题分析】（1）根据图像最大值求得,根据可求得，在根据图像上一个点，可求得的值.（2）利用求出，利用周期为可求得的值.将代入余弦函数的单调递增区间，求得的范围即函数的递增区间.‎ ‎【试题解析】‎ - 9 -‎ 解：（1）由图知，∴，∴，‎ 又，‎ ‎∴，且，∴；‎ ‎（2）由（1）知，由，‎ ‎∴，‎ 由得，‎ ‎∴的单调增区间为．‎ ‎21. 已知都是锐角，．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）求的值．‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】【试题分析】先求得、、和的值.（1）利用求得的值；（2）利用求得的值.‎ ‎【试题解析】‎ 解：因为都是锐角，‎ 所以，且，‎ 所以，‎ ‎（1）；‎ ‎（2）．‎ ‎【点睛】本题主要考查同角三角函数关系，考查两角和与差的正弦、余弦公式，考查化归与转化的数学思想方法.先根据题目所给定两个角是锐角和两个正弦值，求得相应的余弦值和倍角的余弦值和正弦值.然后将所求角转化为已知角，最后利用两角和与差的公式求解出结果.‎ ‎22. 已知函数．‎ ‎（1）求证：是奇函数；‎ - 9 -‎ ‎（2）判断的单调性，并证明；‎ ‎（3）已知关于的不等式恒成立，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）定义域为关于原点对称，判断故函数为奇函数.（2）函数在定义域的两个区间上都是减函数.利用定义法，计算，由此判断出函数的单调性.（3）根据函数的单调性和奇偶性，将原不等式转化为即，解不等式得.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数奇偶性的判断，考查利用定义法求函数单调性，考查利用函数的奇偶性和单调性求参数的取值范围.判断函数的奇偶性首先要求出函数的定义域，看定义域是否关于原点对称，然后再判断与的关系，进而判断函数的奇偶性.定义法判断函数的单调性，需计算的值来判断.‎ ‎【试题解析】‎ ‎（1）证明：由，得，‎ ‎∵，‎ ‎∴是奇函数；‎ ‎（2）解：的单调减区间为与没有增区间，‎ 设，则．‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴在上是减函数，‎ 同理，在上也是减函数；‎ ‎（3）是奇函数，∴，‎ - 9 -‎ ‎∴化为，‎ 又在上是减函数，‎ ‎∴，∴，即．‎ - 9 -‎