2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版） 15页

‎2017-2018学年山西省临汾第一中学等五校高二上学期期末联考数学（文）试题（解析版）‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】集合，， ‎ ‎ ‎ 故答案为：C.‎ ‎2. “”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】由得“”是“”的充分不必要条件，故选A.‎ ‎3. 双曲线的焦点坐标为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】双曲线中，且焦点在y轴上，‎ 所以，解得.‎ 所以双曲线的焦点坐标为.‎ 故选C.‎ ‎4. 已知数列满足，且，则（ ）‎ A. B. 11 C. 12 D. 23‎ ‎【答案】B ‎【解析】数列满足，且,根据递推公式得到 ‎ 故答案为：B.‎ ‎5. 如图所示的程序框图，运行程序后，输出的结果为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】根据循环图得到， ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 判断此时t>3，不满足条件，故输出n值为3.‎ 故答案为：B.‎ ‎6. 下列命题中的假命题是（ ）‎ A. 函数的导函数为 B. 函数为奇函数 C. ‎ D. ，直线与圆都相交 ‎【答案】C ‎【解析】A. 函数的导函数为,根据特殊函数的求导法则可判断是正确的；B. 函数 故为奇函数；C. ，故不正确；D. ，直线 与圆都相交是正确的，因为直线化为，过定点，这个点在圆内部，故直线和圆总会有交点.‎ 故答案为：C.‎ ‎7. 设，函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】将的图象向右平移个单位后对应的函数为函数的图象向右平移个单位后与原图象重合，所以有，即，又，故，故选A.‎ ‎8. 在中，角的对边分别为，若，，且，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由正弦定理结合题意有：，不妨设，‎ 结合余弦定理有：，‎ 求解关于实数的方程可得：，则：.‎ 本题选择B选项.‎ ‎9. 已知函数的导函数只有一个极值点，在同一平面直角坐标系中，函数及的图象可以为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】A,其中有一个拐点的图像是导函数的图像，另一个为原函数的图像，则当导函数的函数值为负时，原函数是单调递减的，导函数函数值为正时原函数单调递增，符合实际，故是正确的；‎ B其中有一个拐点的图像是导函数的图像，另一个为原函数的图像，当导函数的函数值为负时，原函数不是单调递减的，不符合题意，故不正确；‎ C其中有一个拐点的图像是导函数的图像，另一个为原函数的图像，在小于0的区间内，导函数为正，原函数应该是单调递增的，原图不符合这一条件，故不正确;‎ D其中有一个拐点的图像是导函数的图像，另一个为原函数的图像，整个导函数的图像都在x轴的上方，故原图应该是单调递增的，图像不符合这一实际，故不正确.‎ 故答案为：A.‎ ‎10. 已知一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】该几何体的直观图如图所示，据此可得该几何体的体积为：‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：(1)求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解．‎ ‎11. 若，则下列不等式成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造函数，函数在上单调递减，在上单调递增，因为，当m和n在不同单调区间时，函数值大小不能确定，故AB不正确;‎ 构造函数，函数在，故.‎ 故答案为：D.‎ ‎12. 过双曲线 的右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，为虚轴的一个端点，且为钝角三角形，则此双曲线离心率的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由通径公式有：，不妨设，分类讨论：‎ 当，即时，为钝角，此时；‎ 当，即时，应满足为钝角，‎ 此时：，‎ 令，据此可得：，‎ 则：.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：‎ ‎①求出a，c，代入公式；‎ ‎②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝c2－a2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)．‎ ‎13. 幂函数的图象经过点，则______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】幂函数的图象经过点,设幂函数为将点代入得到 ‎ ‎ ‎ 故答案为：.‎ ‎14. 目前北方空气污染越来越严重，某大学组织学生参加环保知识竞赛，从参加学生中抽取40名，将其成绩（均为整数）整理后画出的频率分布直方图如图，若从成绩是80分以上（包括80分）的学生中选两人，则他们在同一分数段的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设第二组及第五组数据对应矩形的高为a，‎ 则10×（a+0.015+0.025+0.035+a+0.005）=1，‎ 解得a=0.010，‎ 故各组的频率依次为：0.10，0.15，0.25，0.35，0.10，0.05，‎ ‎∵前三组的累积频率为：0.10+0.15+0.25=0.50，‎ 故这次环保知识竞赛成绩的中位数为70；‎ 成绩在[80，90）段的人数有10×0.010×40=4人，‎ 成绩在[90，100]段的人数有10×0.005×40=2人，‎ 从成绩是80分以上（包括80分）的学生中任选两人共有15种不同的基本事件，‎ 其中他们在同一分数段的基本事件有：7，‎ 故他们在同一分数段的概率为 故答案为:.‎ ‎15. 直线：与抛物线切于点，与轴的交点为，且为原点，则_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】对直线求导，设切点为，将切点代入直线得到m=-1,‎ L:y=2x-1,B(0,-1),A(1,1), ‎ 故答案为：-3.‎ 点睛：这个题目考查了，直线和抛物线的位置关系，向量坐标化的方法.一般开口向上的抛物线和直线相切，直接用求导的方法表示直线和曲线切，再就是解决向量的点积问题时，可以应用向量投影的方法，也可以向量坐标化.‎ ‎16. 在三棱锥中，，，，则三棱锥外接球的表面积为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由条件得到三棱锥的对棱相等，将三棱锥放到长方体中，每一条冷作为长方体的面对角线，‎ ‎∴构造长方体，使得面上的对角线长分别为，5，，‎ 则长方体的对角线长等于三棱锥S﹣ABC外接球的直径．‎ 设长方体的棱长分别为x，y，z，则x2+y2=41，y2+z2=25，x2+z2=34，‎ ‎∴x2+y2+z2=50‎ ‎∴三棱锥S﹣ABC外接球的直径为5，‎ ‎∴三棱锥S﹣ABC外接球的表面积为 ．‎ 故答案为：50.‎ 点睛：本题考查了球与几何体的问题，是高考中的重点问题，要有一定的空间想象能力，这样才能找准关系，得到结果，一般外接球需要求球心和半径，首先应确定球心的位置，借助于外接球的性质，球心到各顶点距离相等，这样可先确定几何体中部分点组成的多边形的外接圆的圆心，过圆心且垂直于多边形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球.‎ ‎17. 如图，已知直三棱柱的侧面是正方形，，，，在棱上，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若把平面将该三棱柱分成上、下两部分的体积分别记为和，求的值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）要证平面平面，先证平面，即证线线垂直；（2），柱体，从而得到所求值.‎ 试题解析：‎ ‎（1）证明：因为是直三棱柱，所以底面，所以，‎ 又，即，且，所以，∴，又，且，所以平面 又平面，所以平面平面.‎ ‎（2）解：因为 柱体，‎ 所以，.‎ ‎18. 已知函数的图象过点.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数有3个零点，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）递减区间是，递增区间是；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用函数的图象过点，求出a，求出函数的f'（x）=x2-x-2．利用导函数的正负符号求解函数f（x）的递减区间，递增区间． （2）由（1）求解函数的最值，函数g（x）=f（x）-2m+3有三个零点，转化为数形结合问题，直接求解m的取值范围即可．‎ 试题解析：（1）因为函数的图象过点，‎ 所以，解得.‎ 即，所以.‎ 由，解得；‎ 由，得或，‎ 所以函数的递减区间是，递增区间是，.‎ ‎（2）由（1）知，‎ 同理，，‎ 由数形结合思想，要使函数有三个零点，‎ 则，解得.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎19. 如图，在四棱锥中，底面为等腰梯形，，且底面与侧面垂直，，分别为线段的中点，，，，且.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）证线面平行可证线线平行，得到面面平行平面，再由面面平行的性质得到线面平行；（2）先由条件得到底面，到底面的距离为，根据，得到体积.‎ 解析：‎ 证明：（1）因为，分别为线段的中点，，‎ 所以，，‎ 又，所以平面，‎ 因为平面，所以平面.‎ ‎（2）解：因为底面与侧面垂直，且，所以底面,‎ 因为为线段的中点，所以到底面的距离为，‎ 在等腰梯形中，‎ 则可求此梯形的高为,且中位线,‎ 所以的面积为，‎ 所以.‎ ‎20. 已知抛物线：的焦点为，原点为，过作倾斜角为的直线交抛物线于两点.‎ ‎（1）过点作抛物线准线的垂线，垂足为，若直线的斜率为，且，求抛物线的方程；（2）当直线的倾斜角为多大时，的长度最小.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用几何性质可得为等边三角形，得，所以抛物线方程为.‎ ‎（2）联立得，，可得，‎ 所以焦点弦，当且仅当等号成立，‎ ‎∴.‎ 试题解析：（1）准线与轴的交点为，则由几何性质得，‎ ‎∵且，‎ ‎∴为等边三角形，得，‎ ‎∴抛物线方程为.‎ ‎（2）∵，∴直线的方程可设为，‎ 由得，‎ 设，则，得，‎ 所以，当且仅当等号成立，‎ ‎∴.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若，求曲线在点处的切线方程及的极值； ‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1），；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由导数的几何意义得到，又,∴，既而求出切线方程，再对函数求导研究单调性，根据极值定义得到极值；（2）恒成立，研究函数的单调性，分情况谈论函数的单调性和最值，使得最大值小于0即可.‎ 解析：‎ ‎（1）∵,∴‎ ‎∴，∴，‎ ‎∴曲线在点处的切线方程为 当时，，∴在上递增；‎ 当时，，∴在上递减；‎ ‎∴在处取得极大值，且极大值为.‎ ‎（2）当时，，符合题意 当时，，令得（负根舍去）‎ 令，得，令，得，‎ ‎∴在上递增，在上递减 ‎∴，‎ ‎∵，∴‎ ‎∴，∴‎ 综上，的取值范围为.‎ ‎.....................‎ ‎22. 已知椭圆：经过，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）设斜率存在的直线与椭圆交于两点，为坐标原点，，且与圆心为的定圆相切.直线：（）与圆交于两点，.求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据椭圆的定义和离心率的定义即可求出椭圆C的方程，（2）设P（x1，y1），Q（x2，y2），l的方程为y=kx+m，根据韦达定理，可得5m2=k2+1，再根据点到直线的距离公式分别求出|MN|=2，G到直线l′的距离为，结合三角形的面积公式和基本不等式即可求出答案.‎ 解析：‎ ‎（1）因为经过点，所以，‎ 又椭圆的离心率为，所以 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）设设，的方程为 由，得，‎ 所以 因为，‎ 所以 整理得，‎ 所以到的距离为，‎ 所以直线恒与定圆相切，即圆的方程为 又到的距离为，所以，且，所以，‎ 因为到的距离为，‎ 所以 ‎，当且仅当即时取“=”‎ 所以面积的最大值为.‎ 点睛：本题主要考查直线与圆锥曲线位置关系，所使用方法为韦达定理法：因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲线的问题常转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接解决，但应注意不要忽视判别式的作用．‎ ‎ ‎ ‎ ‎