数学理卷·2019届山东省淄博市淄川中学高二上学期期末考试（2018-01） 9页

2017-2018 学年第一学期期末考试---数学试卷（理科） 一．选择题，每题 5 分，共 12 题。 1．命题“若 x≠3 且 x≠2，则 x2﹣5x+6≠0”的否命题是（ ） A．若 x=3 且 x=2 则 x2﹣5x+6=0 B．若 x≠3 且 x≠2 则 x2﹣5x+6=0 C．若 x=3 或 x=2 则 x2﹣5x+6=0 D．若 x=3 或 x=2 则 x2﹣5x+6≠0 2．准线方程为 x=2 的抛物线的标准方程是 A．y2=-4x B．y2= -8x C．y2=-x D．y2=8x 3．将曲线x2 3 ＋y2 2 ＝1 按φ： x′＝1 3 x， y′＝1 2 y 变换后的曲线的参数方程为( ) A. x＝3cos θ y＝2sin θ B. x＝ 3cos θ y＝ 2sin θ C. x＝1 3 cos θ y＝1 2 sin θ D. x＝ 3 3 cos θ y＝ 2 2 sin θ 4、如图，正四面体 ABCD 的棱长为 1，点 E 是棱 CD 的中点，则 • =（ ） A．﹣ B．﹣ C． D． 5．下列命题错误．．的是（ ） A．命题“若 0m  ，则方程 2 0x x m   有实数根”的逆否命题是 “若方程 2 0x x m   没有实数根，则 0m  ”； B．“ 1x  ”是“ 2 3 2 0x x   ”的充分不必要条件； C．命题“若 0xy  ，则 x，y 中至少有一个为 0”的否命题是“若 0xy  ，则 x，y 中至多有 一个为 0”； D．对于命题 p： x R  ，使 2 1 0x x   ；则 p ： x R  ，均有 2 1 0x x   ． 6 抛物线 2 4 0y x  上一点 P 到焦点的距离为3 ，那么 P 的横坐标是 （ ） A. 3 B. 2 C. 2 5 D. 2 7．在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，点 E 为上底面 A1C1 的中心，若 1AE AA xAB yAD      ，则 x， y 的值是（ ） A． 1 2x  ， 1 2y  B． 1x  ， 1 2y  C． 1 2x  ， 1y  D． 1x  ， 1y  8.若曲线 C 上的点到椭圆 2 2 2 2 1 13 12 x y  的两个焦点的距离的差的绝对值等于 8，则曲线 C 的标准方程为 A 2 2 2 2 1 13 12 x y  B 2 2 2 2 1 13 5 x y  C. 2 2 2 2 1 3 4 x y  D. 2 2 2 2 1 4 3 x y  9．极坐标系中，过点 P(1，π)且倾斜角为π 4 的直线方程为( ) A．ρ＝sin θ＋cos θ B．ρ＝sin θ－cos θ C．ρ＝ 1 sin θ＋cos θ D．ρ＝ 1 sin θ－cos θ 10. 经过点 )62,62( M 且与双曲线 2 2 13 4 y x  有共同渐近线的双曲线方程为 （ ） A． 186 22  xy B． 168 22  xy C． 168 22  yx D． 186 22  yx 11、如图，在平行六面体 1 1 1 1ABCD A B C D 中，底面是边长为 2 的正 方形，若 0 1 1 60A AB A AD    ，且 1 3A A  ，则 1AC 的长为 A． 5 B． 2 2 C． 14 D． 17 12．如图，从椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上一点 P 向 x 轴作垂线， 垂足恰 为左焦点 F1,又点 A 是椭圆与 x 轴正半轴的交点，点 B 是椭圆与 y 轴 正半轴的交点，且 AB∥OP ，则椭圆的离心率为（ ） A． 1 2 B． 5 5 C． 2 2 D． 3 2 二、填空题，每题 5 分，共 4 题 13．在直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系．已知射线 θ＝π 4 与曲线      2)1( 1 ty tx (t 为参数)相交于 A，B 两点，则线段 AB 的中点的直角坐标为 ________． 14.若双曲线 2 2 2 2 1x y a b   的渐近线方程为 2y x  ，则其离心率为_________. 15、“∀x∈[1，2]，x2﹣a≥0“是真命题，则实数 a 的最大值为 ． 16.已知向量 =（1，0，1）， =（0，1，1），向量 ﹣k 与 垂直，k 为实数．则实数 k= 三．解答题 17.（本题满分 10 分） 已知命题 p ：方程 2 2 12 x y m   表示焦点在 x 轴上的椭圆，命题 q ：对任意实数 x 不等式 2 2 2 3 0x mx m    恒成立. （Ⅰ）若“ q ”是真命题，求实数 m 的取值范围； （Ⅱ）若“ p q ”为假命题，“ p q ”为真命题，求实数 m 的取值范围. 18．(本题满分 12 分)在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，x 轴的非负半轴为极轴建 立极坐标系．已知点 A 的极坐标为 2，π 4 ，直线 l 的极坐标方程为ρcos θ－π 4 ＝a，且 点 A 在直线 l 上． (Ⅰ)求 a 的值及直线 l 的直角坐标方程； (Ⅱ)圆 C 的参数方程为 x＝1＋cos α， y＝sin α (α为参数)，试判断直线 l 与圆的位置关系． 19.(本题满分 12 分)如图，四棱锥 ABCDP  的底面是正方形， ABCDPD 底面 ， DCPD  ，点 E 是 PC 的中点，作 PBEF  交 PB 于点 F . (Ⅰ)求证： PA ∥平面 EDB ； (Ⅱ)求二面角 DPBC  的大小. 20．(本题满分 12 分)已知曲线 C1:        sin3 cos2 y x 为参数 ,曲线 C2： ρ=sinθ． （Ⅰ）求曲线 C1 的普通方程与曲线 C2 的直角坐标方程； （Ⅱ）已知直线 l：x+y﹣8=0，求曲线 C1 上的点到直线 l 的最短距离． 21.(本题满分 12 分) 如图（1），等腰直角三角形 ABC 的底边 AB=4，点 D 在线段 AC 上，DE⊥AB 于 E，现将△ADE 沿 DE 折起到△PDE 的位置（如图（2））． （Ⅰ）求证：PB⊥DE； （Ⅱ）若 PE⊥BE，直线 PD 与平面 PBC 所成的角为 30°，求 PE 长． 22.(本题满分 12 分) 已知椭圆 1C 、抛物线 2C 的焦点均在 x 轴上， 1C 的中心和 2C 的顶点均为原点O ，从每 条曲线上取两个点，将其坐标记录如下： 1A （3， 32 ）、 2A （ 2，0）、 3A （4， 4）、 4A （ 2 ， 2 2 ）． 经判断点 1A ， 3A 在抛物线 2C 上， （Ⅰ）试求出 1 2C C、 的标准方程； （Ⅱ）求抛物线 2C 的焦点 F 的坐标并求出椭圆 1C 的离心率； （III）过 2C 的焦点 F 直线l 与椭圆 1C 交不同两点 ,M N、 且满足OM ON  ，试求出直线 l 的方程． 数学答案 一选择题 每题 5 分共计 60 分 CBDDC BADDA AC 二填空题 每题 5 分共计 20 分 13. 5 2 14. 15. 1 16.2 三解答题 17.（10 分）解：（Ⅰ）因为对任意实数 不等式 恒成立， 所以 ，解得 ，．…………2 分 又“ ”是真命题等价于“ ”是假命题，．…………3 分 所以所求实数 的取值范围是 ．…………4 分 （Ⅱ） ，……5 分 ， ，无解…………7 分 ，…………9 分【来源：全, 品…中&高*考+网】 ．…………10 分 18、解析：(1)由点 A π4在直线ρcosπ4＝a 上，可得 a＝. 所以直线 l 的方程可化为ρcos θ＋ρsin θ＝2，从而直线 l 的直角坐标方程为 x＋y －2＝0.-------4 分 (2)由已知得圆 C 的直角坐标方程为 (x－1)2＋y2＝1. 所以圆心为(1，0)，半径 r＝1， 则圆心到直线 l 的距离 d＝ 2 2<1，所以直线 l 与圆 C 相交．-----12 分 19.( Ⅰ ) 证 明 ：如 图 建 立 空 间直 角 坐 标 系 设 . 则 , ，即 ，而 且 ， 故 . …………………… 4 分 (Ⅱ)解：依题意得， , 又 ， 又 . …………………… 8 分 ，故 是二面角 的平面角.设 ，则 . ， ，即 . , ,……10 分 点 .又点 ， . 故 ， ， 即二面角 的大小为 . ……………… 12 分 20.【解答】解：（Ⅰ） 曲线 ， 曲线 ．------4 （Ⅱ）设曲线 C1 上任意一点 P 的坐标为 ， 则点 P 到直线 l 的距离为 其中 ，当 sin（θ+φ）=1 时等号成立．----12 21.【解答】解：（Ⅰ）∵DE⊥AB，∴DE⊥BE，DE⊥PE，…．（2 分） ∵BE∩PE=E，∴DE⊥平面 PEB， 又∵PB⊂平面 PEB，∴BP⊥DE； …．（4 分） （Ⅱ）∵PE⊥BE，PE⊥DE，DE⊥BE， ∴分别以 DE、BE、PE 所在直线为 x 轴、y 轴、z 轴建立空间直角坐标系（如图），…（5 分） 设 PE=a，则 B（0，4﹣a，0），D（a，0，0），C（2，2﹣a，0）， P（0，0，a），…（7 分） 可得 ， ，…（8 分） 设面 PBC 的法向量 ， ∴ 令 y=1，可得 x=1，z= 因此 是面 PBC 的一个法向量，…（10 分） ∵ ，PD 与平面 PBC 所成角为 30°，∴ ，即 ， 解之得：a= ，或 a=4（舍），因此可得 PE 的长为 ．…（12 分） 22、（12 分）解：（Ⅰ）设抛物线 ，将 坐标代入曲线方程，得 ………………2 分 设 ： ，把点（ 2，0）（ ， ）代入得： 解得 ∴ 方程为 ……………………………………………4 分 （Ⅱ）显然， ，所以抛物线焦点坐标为 ； 由（Ⅰ）知， ， ， 所以椭圆的离心率为 ；………………………………………6 分 （III）法一： 直 线 过 抛 物 线 焦 点 ， 设 直 线 的 方 程 为 两 交 点 坐 标 为 ， 由 消 去 ， 得 ∴ ① ② ………………………9 分 由 ，即 ，得 将①②代入（*）式，得 ， 解得 …………11 分 所求 的方程为： 或 …………………12 分 法二：容易验证直线 的斜率不存在时，不满足题意；……………………………7 分 当直线 斜率存在时，直线 过抛物线焦点 ，设其方程为 ，与 的 交点坐标为 由 消掉 ，得 ， ----9 分 于是 ， ① 即 ② ………………………9 分 由 ，即 ，得 将①、②代入（*）式，得 ， 解得 ；…………11 分 故，所求 的方程为： 或 ．………12 分