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- 2024-04-16 发布
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2008年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1. 已知全集U=R，集合A={x|-2≤x<3}，B={x|x<-1或x≥4}，那么集合A∩B等于（ ）
A.{x|-13} C.{x|-2≤x<-1} D.{x|-1≤x<3}
2. 若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin2π5，则（ ）
A.a>b>c B.b>a>c C.c>a>b D.b>c>a
3. “函数f(x)(x∈R)存在反函数”是“函数f(x)在R上为增函数”的（ ）
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4. 若点P到直线x=-1的距离比它到点(2, 0)的距离小1，则点P的轨迹为（ ）
A.圆 B.椭圆 C.双曲线 D.抛物线
5. 若实数x，y满足x-y+1≥0x+y≥0x≤0 则z＝3x+2y的最小值是（ ）
A.0 B.1 C.3 D.9
6. 已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap+q=ap+aq，且a2=-6，那么a10等于（ ）
A.-165 B.-33 C.-30 D.-21
7. 过直线y=x上的一点作圆(x-5)2+(y-1)2=2的两条切线l1，l2，当直线l1，l2关于y=x对称时，它们之间的夹角为（ ）
A.30∘ B.45∘ C.60∘ D.90∘
8. 如图，动点P在正方体ABCD-A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f(x)的图象大致是( )
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9. 已知(a-i)2=2i，其中i是虚数单位，那么实数a=________．
10. 已知向量a→与b→的夹角为120∘，且|a→|=|b→|=4，那么b→⋅(2a→+b→)的值为________．
11. 若(x2+1x3)n展开式的各项系数之和为32，则n=________，其展开式中的常数项为________（用数字作答）．
12. 如图，函数f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0, 4)，(2, 0)，(6, 4)，则f（f(0)）=________；lim△x→0f(1+△x)-f(1)△x=________．（用数字作答）
13. 已知函数f(x)=x2-cosx，对于[-π2, π2]上的任意x1，x2，有如下条件：
①x1>x2；②x12>x22；③|x1|>x2．
其中能使f(x1)>f(x2)恒成立的条件序号是________．
14. 某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k棵树种植在点Pk(xk, yk)处，其中x1=1，y1=1，当k≥2时，xk=xk-1+1-5[T(k-15)-T(k-25)]yk=yk-1+T(k-15)-T(k-25)T(a)表示非负实数a
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的整数部分，例如T(2.6)=2，T(0.2)=0．按此方案，第6棵树种植点的坐标应为________；第2009棵树种植点的坐标应为________．
三、解答题（共6小题，满分80分）
15. 已知函数f(x)=sin2ωx+3sinωxsin(ωx+π2)(ω>0)的最小正周期为π．
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)在区间[0, 2π3]上的取值范围．
16. 如图，在三棱锥P-ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90∘，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B-AP-C的大小；
（3）求点C到平面APB的距离．
17. 甲、乙等五名奥运志愿者被随机地分到A，B，C，D四个不同的岗位服务，每个岗位至少有一名志愿者．
（1）求甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率；
（2）求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率；
（3）设随机变量ξ为这五名志愿者中参加A岗位服务的人数，求ξ的分布列．
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18. 已知函数f(x)=2x-b(x-1)2，求导函数f'(x)，并确定f(x)的单调区间．
19. 已知菱形ABCD的顶点A，C在椭圆x2+3y2=4上，对角线BD所在直线的斜率为1．
（1）当直线BD过点(0, 1)时，求直线AC的方程；
（2）当∠ABC=60∘时，求菱形ABCD面积的最大值．
20. 对于每项均是正整数的数列A:a1，a2，…，an，定义变换T1，T1将数列A变换成数列T1(A)：n，a1-1，a2-1，…，an-1；对于每项均是非负整数的数列B:b1，b2，…，bm，定义变换T2，T2将数列B各项从大到小排列，然后去掉所有为零的项，得到数列T2(B)；又定义S(B)=2(b1+2b2+...+mbm)+b12+b22+...+bm2．设A0是每项均为正整数的有穷数列，令Ak+1=T2（T1(Ak)）(k=0, 1, 2,…)．
（1）如果数列A0为5，3，2，写出数列A1，A2；
（2）对于每项均是正整数的有穷数列A，证明S（T1(A)）=S(A)；
（3）证明：对于任意给定的每项均为正整数的有穷数列A0，存在正整数K，当k≥K时，S(Ak+1)=S(Ak)．
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参考答案与试题解析
2008年北京市高考数学试卷（理科）
一、选择题（共8小题，每小题5分，满分40分）
1.C
2.A
3.B
4.D
5.B
6.C
7.C
8.B
二、填空题（共6小题，每小题5分，满分30分）
9.-1
10.0
11.5,10
12.2,-2
13.②
14.(1, 2),(4, 402)
三、解答题（共6小题，满分80分）
15.解：(1)f(x)=1-cos2ωx2+32sin2ωx
=32sin2ωx-12cos2ωx+12
=sin(2ωx-π6)+12．
∵ 函数f(x)的最小正周期为π，且ω>0，
∴ 2π2ω=π，解得ω=1．
(2)由(2)得f(x)=sin(2x-π6)+12．
∵ 0≤x≤2π3，
∴ -π6≤2x-π6≤7π6，
∴ -12≤sin(2x-π6)≤1．
∴ 0≤sin(2x-π6)+12≤32，即f(x)的取值范围为[0,32]．
16.解：（1）取AB中点D，连接PD，CD．
∵ AP=BP，∴ PD⊥AB．
∵ AC=BC，∴ CD⊥AB．
∵ PD∩CD=D，∴ AB⊥平面PCD．
∵ PC⊂平面PCD，∴ PC⊥AB．
（2）∵ AC=BC，AP=BP，∴ △APC≅△BPC．
又PC⊥AC，∴ PC⊥BC．
又∠ACB=90∘，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，∴ BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．
∵ AB=BP，∴ BE⊥AP．
∵ EC是BE在平面PAC内的射影，∴ CE⊥AP．
∴ ∠BEC是二面角B-AP-C的平面角．
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在△BCE中，BC=2，BE=32AB=6，CE=2
cos∠BEC=33．∴ 二面角B-AP-C的大小arccos33．
（3）由（1）知AB⊥平面PCD，∴ 平面APB⊥平面PCD．
过C作CH⊥PD，垂足为H．
∵ 平面APB∩平面PCD=PD，∴ CH⊥平面APB．
∴ CH的长即为点C到平面APB的距离．
由（1）知PC⊥AB，又PC⊥AC，且AB∩AC=A，∴ PC⊥平面ABC．
∵ CD⊂平面ABC，∴ PC⊥CD．
在Rt△PCD中，CD=12AB=2，PD=32PB=6，
∴ PC=PD2-CD2=2．∴ CH=PC⋅CDPD=233．
∴ 点C到平面APB的距离为233．
17.解：（1）记甲、乙两人同时参加A岗位服务为事件EA，
总事件数是从5个人中选2个作为一组，同其他3人共4个元素在四个位置进行排列C52A44．
满足条件的事件数是A33，
那么P(EA)=A33C52A44=140，
即甲、乙两人同时参加A岗位服务的概率是140．
（2）记甲、乙两人同时参加同一岗位服务为事件E，
满足条件的事件数是A44，
那么P(E)=A44C52A44=110，
∴ 甲、乙两人不在同一岗位服务的概率是P(E¯)=1-P(E)=910．
（3）随机变量ξ可能取的值为1，2．事件“ξ=2”是指有两人同时参加A岗位服务，
则P(ξ=2)=C52A33C53A44=14．
∴ P(ξ=1)=1-P(ξ=2)=34，ξ的分布列是
ξ
1
2
P
34
14
18.解：f'(x)=2(x-1)2-(2x-b)⋅2(x-1)(x-1)4=-2x+2b-2(x-1)3=-2[x-(b-1)](x-1)3．
令f'(x)=0，得x=b-1．
当b-1<1，即b<2时，f'(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, b-1)
b-1
(b-1, 1)
(1, +∞)
f'(x)
-
0
+
-
当b-1>1，即b>2时，f'(x)的变化情况如下表：
x
(-∞, 1)
(1, b-1)
b-1
(b-1, +∞)
f'(x)
-
+
0
-
所以，当b<2时，函数f(x)在(-∞, b-1)上单调递减，在(b-1, 1)上单调递增，
在(1, +∞)上单调递减．
当b>2时，函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减，在(1, b-1)上单调递增，在(b-1, +∞)上单调递减．
当b-1=1，即b=2时，f'(x)=-2(x-1)2，所以函数f(x)在(-∞, 1)上单调递减，在(1, +∞)上单调递减．
19.解：（1）由题意得直线BD的方程为y=x+1．
因为四边形ABCD为菱形，所以AC⊥BD．
于是可设直线AC的方程为y=-x+n．
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由x2+3y2=4y=-x+n得4x2-6nx+3n2-4=0．
因为A，C在椭圆上，
所以△=-12n2+64>0，解得-433
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