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- 2024-04-13 发布
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广西南宁市第三中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题
评卷人
得分
一、单选题
1．设集合则=
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
A＝{y|y＝2x，x∈R}＝{y|y>0}．
B＝{x|x2－1<0}＝{x|－10}∪{x|－1－1}，故选C．
2．若a，b都是实数，则“>0”是“a2－b2>0”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】
由“>0”判断的取值范围，再由“a2－b2>0”计算的取值范围，比较两个命题所对应范围的大小，就可以得出答案。
【详解】
由>0得a>b≥0，由a2－b2>0得a2>b2，即|a|＞|b|，所以“>0”是 “a2－b2>0”的充分不必要条件．
故选:A
【点睛】
本题是一道逻辑题，主要考察了充分不必要条件的判断方法，属于基础题。
3．若a＞b，则下列不等式中成立的是( )
A．＜ B．a3＞b3 C．a2＞b2 D．a＞|b|
【答案】B
【解析】
∵函数在上单调递增，∴若，则．故选．
4．若实数满足，则的最小值为（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】
，（当且仅当时取等号），所以的最小值为，故选C.
考点：基本不等式
【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解．
5．下列函数中，最小值为4的是( )
A．y＝x＋ B．y＝sinx＋(00)，若不等式f(x)≥6的解集为(－∞，－2]∪[4，＋∞)，则a的值为__________．
【答案】3
【解析】
试题分析：∵a＞0，故f（x）=|x+1|+|x-a|=，
∴当x≤-1时，解-2x+a-1≥6得：x≤；
当-1＜x＜a时，f（x）=1+a；
当x≥a时，解2x+1-a≥6得：x≥；
又f（x）≥6的解集为（-∞，-2]∪[4，+∞），
∴=-2且=4且1+a∈[4，+∞），解得a=3．故应填入：3．
考点：绝对值不等式的解法．
16．已知直线过点，与轴的正半轴相交于两点，三角形（为坐标原点）的内切圆半径的最大值为.
【答案】1
【解析】
【分析】
与两坐标轴都相切的圆可以设为：，由过圆上一定的切线方程公式，可以写出切线方程，将点代入直线，据柯西不等式，可以得出答案。
【详解】
设直线l与x轴、y轴的正半轴分别相交于则
作的内切圆，与切于点，圆C的半径为，设圆的方程为，直线与圆相切于点，
则又直线过点，
∴由柯西不等式：
即 即解得：或
所以三角形的内切圆半径的最大值为1
故答案为：1
【点睛】
本题主要考查了柯西不等式，以及圆上一点的切线方程公式，属于中档题。
评卷人
得分
三、解答题
17．（本小题满分12分）的内角，，所对的边分别为，，．向量与
平行．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求的面积．
【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）．
【解析】
试题分析：（1）根据平面向量，列出方程，在利用正弦定理求出的值，即可求解角的大小；（2）由余弦定理，结合基本不等式求出的最大值，即得的面积的最大值.
试题解析：（1）因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，
由正弦定理得sinAsinB－sinBcosA＝0，
又sinB≠0，从而tanA＝，由于00，所以c＝3.
故△ABC的面积为bcsinA＝.
考点：平面向量的共线应用；正弦定理与余弦定理.
18．PM2.5是指大气中直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，对人体健康和大气环境质量的影响很大．我国PM2.5标准采用世卫组织设定的最宽限值，即PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米～75微克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标．某市环保局从360天的市区PM2.5监测数据中，随机抽取15天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示(十位为茎，个位为叶).
PM2.5 日均值(微克/立方米)
2
8 5
3
2 1 4 3
4
4 5
6
3 8
7
9
8
6 3
9
2 5
(1)以这15天的PM2.5日均值来估计这360天的空气质量情况，则其中大约有多少天的空气质量达到一级．
(2)从这15天的数据中任取3天的数据，记X表示空气质量达到一级的天数，求X的分布列；
【答案】（1）144天；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由茎叶图，算出空气质量达到一级的天数为6，从而得出一年中每天质量达到一级的概率，再由二项分布列的期望公式，可以算出答案。
(2)本小问是道超几何分布列的题，按照超几何分布列的公式可以得出的分布列。
【详解】
(1)依题意知，一年中每天空气质量达到一级的概率为＝，一年中空气质量达到一级的天数为Y，则Y～B，
所以E(Y)＝360×＝144，所以这360天的空气质量达到一级的天数大约有144天．
(2)由题意知N＝15，M＝6，n＝3，X的可能取值为0，1，2，3，其分布列为P(X＝k)＝(k＝0，1，2，3)，
所以P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，
所以X的分布列是：
X
0
1
2
3
P
【点睛】
本题主要考察了二项分布列，二项分布列的期望计算，以及超几何分布列。属于中档题。
19．如图，已知在长方体ABCDA1B1C1D1中，AD＝A1A＝AB＝2，点E是棱AB上一点，且λ.
(1)证明：D1E⊥A1D；
(2)若二面角D1ECD的余弦值为，求CE与平面D1ED所成的角的大小．
【答案】（1）见解析；（2）.
【解析】
试题分析：（1）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，由，求出点的坐标，写出向量的坐标，由，列出方程，求即可；（2）求出平面与平面的法向量，由二面角的余弦值为，利用向量公式列出方程求出，再由向量线面角公式求之即可.
试题解析：（1）以为原点,所在直线为轴,所在直线为轴,所在直线为轴建立空间直角坐标系,则D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,4,0),C(0,4,0),A1(2,0,2),B1(2,4,2),C1(0,4,2),D1(0,0,2).
因为=λ,所以E,
于是 =(-2,0,-2)
所以×(-2,0,-2)=0,故D1E⊥A1D.
(或用几何法先证出A1D⊥平面D1AE,然后证出A1D⊥D1E)
（2）因为D1D⊥平面ABCD,所以平面DEC的一个法向量为n1=(0,0,2).
又=(0,-4,2),
设平面D1CE的法向量为n2=(x,y,z),则n2 =2x+y=0,n2 =-4y+2z=0,所以向量n2的一个解是.
因为二面角D1-EC-D的余弦值为,则,
解得λ=1.
因为λ=1,所以E(2,2,0),故=(0,0,2),
=(2,2,0),=(2,-2,0),
因此=0,=0,故CE⊥平面D1ED.
即CE与平面D1ED所成角为.
考点：1.空间向量的应用；2.空间角.
20．已知三角形的三个顶点均在椭圆上，为椭圆短轴上端点。
（1）若的重心是右焦点，试求直线的方程；
（2）若，为的中点，试求点的轨迹方程.
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）先设B,C的坐标，由点差法，可以得出直线BC的斜率与直线AF斜率的方程，再由重心坐标公式，就可以解出直线BC的斜率。
（2）设出直线BC的方程，并与椭圆方程联立，写出韦达定理，将的代数表达用韦达定理代入，即可算出答案。
【详解】
（1）设, 的中点，
∴两式相减： ①
又∵为的重心∴
代入①得：
（2）
∵ ②
设的方程为：
∴
带入②得
∴直线过定点，设为的中点
由于四点共线，所以,即
化简得
【点睛】
本题主要考查了圆锥曲线的综合应用，由联立，韦达定理，几何关系，构造方程，解出答案几个标准步骤完成。属于中档题。
21．已知，
（1）设，求的增区间，并证明：当时，
（2）如果对任意的，均存在正数使得成立，求证：.
【答案】（1）见解析；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1） 因为，由，可以判断函数的单调性。由，可以得到，化简后命题得证。
（2）由结论，又因为=，可以形为
，上下同时除以，，
设，再判断函数>0,原命题可证。
【详解】
（1）由 得，
所以在上是增函数，故，
即即
（2），所以
令则设
在（0,1）上是增函数，即
所以故。
解2：建立等式后得
所以
，令得，因为
所以得所以，故
【点睛】
本题主要考查了导数的综合应用，比较两个数的大小，通过构造函数，判断函数的单调性来证明，属于比较难得题。
22．已知x，y，z是正实数，且满足.
(1)求的最小值；
(2)求证：.
【答案】（1）6＋2＋2＋2；（2）见解析
【解析】
【分析】
（1）由，展开，再用均值不等式可以算出答案。
（2）由，设，据柯西不等式就可以算出答案。
【详解】
(1)∵ x，y，z是正实数，且满足x＋2y＋3z＝1，
∴＋＋＝ (x＋2y＋3z)＝6＋＋＋＋＋＋≥6＋2＋2＋2，
当且仅当＝且＝且＝时取等号．
(2)由柯西不等式可得1＝(x＋2y＋3z)2≤(x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)＝14(x2＋y2＋z2)，
∴x2＋y2＋z2≥，当且仅当x＝＝，即x＝，y＝，z＝时取等号．
故x2＋y2＋z2≥
【点睛】
本题主要考查了柯西不等式及其变形，属于基础题。
本题主要考查了求函数的单调区间，以及导数的综合应用，尤其是构造函数，是导数中的难点，属于中档题。
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