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- 2024-04-11 发布
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高三上学期第四次调研考试
理科数学
（时间：120分钟 分数：150分）
一．选择题（每小题5分，共60分）
1.已知集合,,则
A.{0,1,6,12,20} B.{0,2,6,12,20} C.{2,6,12,20} D.{6,12}
2.复数z满足，则z=
3.在的展开式中，含项的系数为
A.16 B.-16 C.8 D.-8
4.已知，且，则与的夹角为
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等和亮度满足，其中星等为的星的亮度为.已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
6.已知等差数列的前n项和为，且，则
A.2019 B.2018 C.2017 D.2020
7.若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝CD，AC＝BD，AD＝BC，给出下列结论：
①四面体ABCD每组对棱相互垂直；
②四面体ABCD每个面的面积相等；
③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°；
④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分；
⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长．
其中正确结论的序号是
A.②④⑤ B.①②④⑤ C.①③④ D.②③④⑤
8.已知奇函数且，当取最小值时，在下列区间内，单调递减的是
C. D.
9.已知点P是抛物线上的一点，在点P处的切线恰好过点，则点P到抛物线焦点的距离为
10.如图，在三棱锥D－ABC中，CD⊥底面ABC，△ABC为正三角形，若AE∥CD，AB＝CD＝AE＝2，则三棱锥D－ABC与三棱锥E－ABC的公共部分构成的几何体的外接球的体积为
A. B.
C. D.
11.设双曲线的左右焦点分别为，过点的直线分别交双曲线的左、右支于点M,N,若以MN为直径的圆过点,且，则双曲线的离心率为
12.已知函数是定义在的偶函数，且.当时，，若方程有300个不同的实数根，则实数m的取值范围为
D.
二．填空题（每小题5分，共20分）：
13.高一新生健康检查的统计结果：体重超重者占40%，血压异常者占15%，两者都有的占8%，今任选一人进行健康检查，已知此人超重，他血压异常的概率为__________.
14若，则______________.
15.已知函数，若正实数a,b满足，则的
最小值为___________.
16．已知数列的首项，其前项和为，且满足，若对， 恒成立，则的取值范围是__________．
三．解答题（共70分）：
17.（12分）在中，点D在线段BC上.[来源:学科网ZXXK]
(1)若，求AD的长；
(2)若BD=2DC,,求的值.
18.（12分）随着通识教育理念的推广及高校课程改革的深入，选修课越来越受到人们的重视.国内一些知名院校在公共选修课的设置方面做了许多有益的探索，并且取得了一定的成果.因为选修课的课程建设处于探索阶段，选修课的教学、管理还存在很多的问题，所以需要在通识教育的基础上制定科学的、可行的解决方案，为学校选修课程的改革与创新、课程设置、考试考核、人才培养提供参考.某高校采用分层抽样法抽取了数学专业的50名参加选修课与不参加选修课的学生的成绩，统计数据如下表：
成绩优秀
成绩不够优秀
总计
参加选修课
16
9
25
不参加选修课[来源:学,科,网Z,X,X,K]
8
17
25
总计
24
26
50
(1)试运用独立性检验的思想方法分析：你能否有99%的把握认为“学生的成绩优秀与是否参加选修课有关”，并说明理由；
(2)如果从数学专业随机抽取5名学生，求抽到参加选修课的学生人数的分布列和数学期望（将频率当做概率计算）.
参考公式：[来源:Zxxk.Com]
临界值表：
0.15
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
2.072
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
19.（12分）如图，D是AC的中点，四边形BDEF是菱形，
平面BDEF⊥平面ABC，∠FBD＝60°，AB⊥BC，AB＝BC＝.
(1)若点M是线段BF的中点，证明：BF⊥平面AMC；
(2)求平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值.
20．（12分）已知，直线：，椭圆：分别为椭圆的左、右焦点．
(1)当直线过右焦点时，求直线的方程；
(2)设直线与椭圆交于两点，，的重心分别为．若原点在以线段为直径的圆内，求实数的取值范围．
21.（12分）已知函数
(1)若，求证：；
(2)若，求的最大值；
(3)求证：当时，.
选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。如果多做，按所做的第一题计分。[来源:学科网]
22.(10分)选修4－4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy中，M(－2,0)．以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，A(ρ，θ)为曲线C上一点，B，|BM|＝1.
(1)求曲线C的直角坐标方程；
(2)求|OA|2＋|MA|2的取值范围．
23．(10分)选修4－5：不等式选讲
若∃x0∈R，使关于x的不等式|x－1|－|x－2|≥t成立，设满足条件的实数t构成的集合为T.
(1)求集合T；
(2)若m>1，n>1且对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，求m＋n的最小值．
月考答案
一． 选择题：1-5 BDBCA 6-10 CAABB 11-12 CA
二． 填空题：13. 0.2 14. 15.8 16.[来源:Z,xx,k.Com]
三． 解答题：
.........................5分
0
1
2
3
4
5
P
.........................12分
19.∵平面BDEF∩平面ABC＝BD，
平面ABC⊥平面BDEF，AC⊂平面ABC，
∴AC⊥平面BDEF.
又BF⊂平面BDEF，∴AC⊥BF.
∵DM∩AC＝D，∴BF⊥平面AMC.............................4分
(2)设线段EF的中点为N，连接DN.易证DN⊥平面ABC.以D为坐标原点，DB，DC，DN所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，E(－，0，)，F(，0，)，B(1，0，0)，C(0，1，0)，
∴＝(－，1，)，＝(1，0，0)，=(－，0，)，＝(－1，1，0)．....6分
设平面AEF，平面BCF的法向量分别为＝(x1，y1，z1)，＝(x2，y2，z2)．
由得
取z1＝－2，则y1＝，∴＝(0，，－2)． ...............................8分
由得解得x2＝y2＝z2，
取z2＝1，∴＝(，，1)． ......................................10分
∵||＝||＝＝.
∴平面AEF与平面BCF所成的锐二面角的余弦值为. ................12 分
20.(1)∵直线：经过，，得．又，，故直线的方程为． ……4分
(2)设，
由消去得，∴．
由，得．…… 7分
由于，故为的中点．由分别为的重心，可知，
设是的中点，则，∵原点在以线段为直径的圆内，．而，
∴，即．......10分
又且，，的取值范围是．……….12分
...................................12 分
22.解:(1)设A(x，y)，则x＝ρcosθ，y＝ρsinθ，
所以xB＝ρcos＝x－y，
yB＝ρsin＝x＋y，
故B由|BM|2＝1，得,
整理得曲线C的方程为(x＋1)2＋(y－)2＝1....................................5分
(2)圆C：(α为参数)，
则|OA|2＋|MA|2＝4sinα＋10，
所以|OA|2＋|MA|2∈[10－4，10＋4]......................................10分
23.解:(1)||x－1|－|x－2||≤|x－1－(x－2)|＝1，
所以|x－1|－|x－2|≤1，所以t的取值范围为(－∞，1]，
即T＝{t|t≤1}....................................5分
(2)由(1)知，对于∀t∈T，不等式log3m·log3n≥t恒成立，只需log3m·log3n≥tmax，
所以log3m·log3n≥1，
又因为m>1，n>1，所以log3m>0，log3n>0，
又1≤log3m·log3n≤＝
(log3m＝log3n时取等号，此时m＝n)，...............................................8分
所以(log3mn)2≥4，所以log3mn≥2，mn≥9，
所以m＋n≥2≥6，即m＋n的最小值为6(此时m＝n＝3)．.....................................10分