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- 2024-04-11 发布
合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考
数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分）
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.）
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )
A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥
2.圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积( )
A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍
C.不变 D.缩小到原来的
3. 下列命题正确的有( )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ）
A． B． C． D．
5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( )
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若,则.
其中正确命题的序号是： （ ）
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）
A． B．56π C．14π D．64π
8．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( )
A．AB∥CD B．AB∥平面CD
C．CD∥GH D．AB∥GH
9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为( )
A．7 B．6 C．5 D．3
10．如图所示，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为( )
A．a2 B．a2
C．a2 D．a2
11．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( )
A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
12．已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为( )
A.3 B.4 C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为 .
14.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是 ．
15.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
16．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）.
①当时，S为四边形
②当时，S为等腰梯形
③当时，S与的交点R满足
④当时，S为六边形
⑤当时，S的面积为
三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．
18.（本题满分12分）已知正方体，是底对角线的交点．求证：
（1）；（2）．
19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中,
底面
是的中点．
证明(1)；（2）证明面平面；
20.（本题满分12分）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．
(1)求证：MN∥面BB1C1C；
(2)求MN的长．
21.（本题满分12分）如图1，在边长为1的等边三角形中，分别是上的点，，是的中点，与交于点，沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中.
（1）求证：;
（2）若为上的中点,为中点，求异面直线与所成角的余弦值
22. （本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，，，，为上一点，且.
(1)证明：；
(2)若，求四棱锥的体积．
合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考
数学试卷
（考试时间120分钟 满分150分） 命题人：周福远
第Ⅰ卷（选择题）
一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.）
1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( D )
A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱
C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥
2. 圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积( C )
A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍
C.不变 D.缩小到原来的
3. 下列命题正确的有( C )
①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．
A．0个 B．1个
C．2个 D．3个
4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（D ）
A． B． C． D．
5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为( A )
6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若,则.
其中正确命题的序号是： （ A ）
A、①② B、②③ C、③④ D、①④
7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ C ）
A． B．56π C．14π D．64π
8．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中( C )
A．AB∥CD B．AB∥平面CD
C．CD∥GH D．AB∥GH
9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(A )
A．7 B．6 C．5 D．3
10．如图所示，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为( C )
A．a2 B．a2
11.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是( D )
A．BD∥平面CB1D1
B．AC1⊥BD
C．AC1⊥平面CB1D1
D．异面直线AD与CB1所成的角为60°
12．已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为( B )
(A)3 (B)4 (C) (D)
解析:
如图设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,
则OO1EO2为矩形,
AE=AB=,O1A=2,
所以O1E==3,
所以AO2==4,选B.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）
13．已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为 .
解析:设母线长为x,根据题意得2πx÷2=2π×1,
解得x=2.
答案:2
14、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是 ．
15.
如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．
解析：由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使得B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．
答案：B1D1⊥A1C1
16．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___①②③⑤______（写出所有正确命题的编号）。
①当时，S为四边形
②当时，S为等腰梯形
③当时，S与的交点R满足
④当时，S为六边形
⑤当时，S的面积为
三、解答题（本大题共6个大题，17-18每题10分，19-22每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本题满分10分）如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．
证明 ∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．
∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.
∵BE∥C1H，且BE＝C1H，
∴四边形EBC1H是平行四边形．
∴EH∥BC1，∴GF∥EH.
∴E，F，G，H四点共面．
∵GF≠EH，故EF与HG必相交．
设EF∩HG＝I.
∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，
∴I∈平面CC1D1D.
同理可证I∈平面ABCD.
∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．
18、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：
（1）C1O∥面AB1D1；
（2）面OC1D∥面AB1D1．
解：（1）由题意：几何体ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，O是底ABCD对角线的交点，
∴B1D1∥BD，
连接A1C1交于O1，连接AO1，
C1O1
∴C1O1AO是平行四边形．
∴AO1∥C1O．
∵AO1⊂面AB1D1；
∴C1O∥面AB1D1；
得证．
（2）．∵B1D1∥BD，即OD∥B1D1，
OD⊂面OC1D，
∴OD∥面AB1D1．
由（1）可得C1O∥面AB1D1；
OD∩C1O=O，
所以：面OC1D∥面AB1D1．
19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中,
底面
是的中点．
证明；（2）证明面平面；
解析：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD
∴PA⊥CD又AC⊥CD，ACPA=A
∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC
∴CD⊥AE
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD
∴PA⊥AB又AD⊥AB，ADPA=A
∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD
∴AB⊥PD由PA=AB=BC，∠ABC=60o则△ABC是正三角形
∴AC=AB∴PA=AC
∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CDPC=C
∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD又AB⊥PD，ABAE=A
∴PD⊥平面ABE
从而面平面
20. （本题满分12分）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．
(1)求证：MN∥面BB1C1C；
(2)求MN的长．
解 (1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，
∴＝＝，
∴MP∥AA1∥BB1，
∴面MPN∥面BB1C1C.
MN⊂面MPN，
∴MN∥面BB1C1C.
(2)＝＝＝，NP＝a，
同理MP＝a.
又MP∥BB1，
∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.
在Rt△MPN中MN＝＝a.
21、如图1，在边长为1的等边三角形中，分别是，上的点，，是的中点，与交于点，沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中.
（1）求证：平面平面
（2）若为，上的中点，为中点，求异面直线与所成角的余弦值
证明：（1）如题图1，在等边三角形中，,
如题图2，平面,
平面 ··········2分
同理可证平面
,
平面平面
平面 ·········4分
（2）连
是的中位线
异面直线与所成角即为·····6分
，
又· ······8
22、如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.
(1)证明：BC⊥平面POM；
(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．
解：(1)证明：如图，因四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，AM，则AO⊥OB.因∠BAD＝，
故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1，
又因BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，
OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM
＝12＋2－2×1××cos＝.
所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.
又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，OP都垂直，
所以BC⊥平面POM.
(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.
设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.
由△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.
在△ABM中，
AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝
22＋2－2×2××cos＝.
由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则
PA2＋PM2＝AM 2，即a2＋3＋a2＋＝，得a＝，a＝－(舍去)，即PO＝.
此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.
所以四棱锥P－ABMO的体积
VP－ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.