2018-2019学年安徽省合肥市九中高二第一次月考数学试题 Word版 18页

合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考 数学试卷 ‎（考试时间120分钟 满分150分） ‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分.在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.）‎ ‎1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( )‎ A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 ‎ C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥 ‎2.圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积(　 　)‎ A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍 C.不变 D.缩小到原来的 ‎3. 下列命题正确的有(　　 )‎ ‎①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为(　 　)‎ ‎6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若,则.‎ 其中正确命题的序号是： （ ）‎ A、①② B、②③ C、③④ D、①④‎ ‎7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ ）‎ A． B．56π C．14π D．64π ‎8．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中(　　)‎ A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD∥GH D．AB∥GH ‎9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(　　 )‎ A．7　　　 　B．6　　　 　C．5　　　 　D．3‎ ‎10．如图所示，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为(　　)‎ A．a2 B．a2‎ C．a2 D．a2‎ ‎11．如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　 　 ) ‎ A．BD∥平面CB1D1 B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1 D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎12．已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为(　 　)‎ A.3 B.4 C. D. 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为　　　　. ‎ ‎14.一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是 ．‎ ‎15.如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．‎ ‎ ‎ ‎16．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列结论正确的是________（写出所有正确结论的编号）.‎ ‎①当时，S为四边形 ‎②当时，S为等腰梯形 ‎③当时，S与的交点R满足 ‎④当时，S为六边形 ‎⑤当时，S的面积为 三、解答题（本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） ‎ ‎17.（本题满分10分）如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．‎ ‎18.（本题满分12分）已知正方体，是底对角线的交点．求证：‎ ‎（1）；（2）．‎ ‎19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中,‎ ‎ 底面 是的中点．‎ 证明(1)；（2）证明面平面；‎ ‎20.（本题满分12分）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．‎ ‎(1)求证：MN∥面BB1C1C；‎ ‎(2)求MN的长．‎ ‎21.（本题满分12分）如图1，在边长为1的等边三角形中，分别是上的点，，是的中点，与交于点，沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中.‎ ‎（1）求证：;‎ ‎（2）若为上的中点,为中点，求异面直线与所成角的余弦值 ‎22. （本题满分12分）如图，四棱锥中，底面是以为中心的菱形，，，，为上一点，且.‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)若，求四棱锥的体积．‎ 合肥九中2018 - 2019学年第一学期高二第一次月考 数学试卷 ‎（考试时间120分钟 满分150分） 命题人：周福远 ‎ 第Ⅰ卷（选择题）‎ 一．选择题：（共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项.）‎ ‎1．将一个等腰梯形绕着它的较长的底边所在直线旋转一周，所得的几何体包括( D )‎ A．一个圆台、两个圆锥 B．两个圆台、一个圆柱 ‎ C．两个圆台、一个圆锥 D．一个圆柱、两个圆锥 ‎2. 圆锥的高扩大到原来的4倍,底面半径缩短到原来的,则圆锥的体积(　C　)‎ A.缩小到原来的一半 B.扩大到原来的2倍 C.不变 D.缩小到原来的 ‎3. 下列命题正确的有(　C　)‎ ‎①若△ABC在平面α外，它的三条边所在直线分别交α于P，Q，R，则P，Q，R三点共线；②若三条平行线a，b，c都与直线l相交，则这四条直线共面；③三条直线两两相交，则这三条直线共面．‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 ‎4．一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为，腰和上底均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积为（D ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎5. 如图所示，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，M、N分别是BB1、BC的中点．则图中阴影部分在平面ADD1A1上的正投影为(　A　)‎ ‎6．设是两条不同的直线，是三个不同的平面，给出下列四个命题：①若，则；②若，则；③若，则；④若,则.‎ 其中正确命题的序号是： （ A ）‎ A、①② B、②③ C、③④ D、①④‎ ‎ ‎ ‎7. 长方体的三个相邻面的面积分别为2，3，6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球面的表面积为（ C ）‎ A． B．56π C．14π D．64π ‎8．一正方体表面沿着几条棱裁开放平得到如图所示的展开图，则在原正方体中(　C　)‎ A．AB∥CD B．AB∥平面CD C．CD∥GH D．AB∥GH ‎9、圆台的一个底面周长是另一个底面周长的3倍，母线长为3，圆台的侧面积为84π，则圆台较小底面的半径为(A　　)‎ A．7　　　 　B．6　　　 　C．5　　　 　D．3‎ ‎10．如图所示，正四棱锥S—ABCD的所有棱长都等于a，过不相邻的两条棱SA，SC作截面SAC，则截面的面积为(　C　)‎ A．a2 B．a2‎ ‎11.如图，ABCD－A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是(　D　)‎ A．BD∥平面CB1D1‎ B．AC1⊥BD C．AC1⊥平面CB1D1‎ D．异面直线AD与CB1所成的角为60°‎ ‎12．已知球的半径为5,球面被互相垂直的两个平面所截,得到的两个圆的公共弦长为2,若其中一个圆的半径为2,则另一个圆的半径为(　B　)‎ ‎(A)3 (B)4 (C) (D) 解析:‎ 如图设两圆的圆心分别为O1、O2,球心为O,公共弦为AB,其中点为E,‎ 则OO1EO2为矩形,‎ AE=AB=,O1A=2,‎ 所以O1E==3,‎ 所以AO2==4,选B.‎ 第II卷（非选择题）‎ 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）‎ ‎13．已知圆锥的底面半径为1,且这个圆锥的侧面展开图形是一个半圆,则该圆锥的母线长为　　　　. ‎ 解析:设母线长为x,根据题意得2πx÷2=2π×1,‎ 解得x=2.‎ 答案:2‎ ‎14、一个几何体的三视图如图所示（单位：），则该几何体的表面积是 ．‎ ‎15. ‎ 如图所示，在直四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，当底面四边形A1B1C1D1满足条件________时，有A1C⊥B1D1(注：填上你认为正确的一种情况即可，不必考虑所有可能的情况)．‎ 解析：由直四棱柱可知CC1⊥平面A1B1C1D1，所以CC1⊥B1D1，要使得B1D1⊥A1C，只要B1D1⊥平面A1CC1，所以只要B1D1⊥A1C1.此题还可以填写四边形A1B1C1D1是菱形、正方形等条件．‎ 答案：B1D1⊥A1C1‎ ‎16．如图，正方体的棱长为1，P为BC的中点，Q为线段上的动点，过点A,P,Q的平面截该正方体所得的截面记为S.则下列命题正确的是___①②③⑤______（写出所有正确命题的编号）。‎ ‎①当时，S为四边形 ‎②当时，S为等腰梯形 ‎③当时，S与的交点R满足 ‎④当时，S为六边形 ‎⑤当时，S的面积为 三、解答题（本大题共6个大题，17-18每题10分，19-22每题12分，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） ‎ ‎17.（本题满分10分）如图，已知点E，F，G，H分别为正方体ABCD－A1B1C1D1的棱AB，BC，CC1，C1D1的中点，求证：EF，HG，DC三线共点．‎ 证明　∵点E，F，G，H分别为所在棱的中点，连接BC1，GF，如图．‎ ‎∴GF是△BCC1的中位线，∴GF∥BC1.‎ ‎∵BE∥C1H，且BE＝C1H，‎ ‎∴四边形EBC1H是平行四边形．‎ ‎∴EH∥BC1，∴GF∥EH.‎ ‎∴E，F，G，H四点共面．‎ ‎∵GF≠EH，故EF与HG必相交．‎ 设EF∩HG＝I.‎ ‎∵I∈GH，GH⊂平面CC1D1D，‎ ‎∴I∈平面CC1D1D.‎ 同理可证I∈平面ABCD.‎ ‎∴点I在交线DC上．即EF，HG，DC三线共点．‎ ‎18、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．求证：‎ ‎（1）C1O∥面AB1D1；‎ ‎（2）面OC1D∥面AB1D1．‎ 解：（1）由题意：几何体ABCD﹣A1B1C1D1是正方体，O是底ABCD对角线的交点，‎ ‎∴B1D1∥BD，‎ 连接A1C1交于O1，连接AO1，‎ C1O1‎ ‎∴C1O1AO是平行四边形．‎ ‎∴AO1∥C1O．‎ ‎∵AO1⊂面AB1D1；‎ ‎∴C1O∥面AB1D1；‎ 得证．‎ ‎（2）．∵B1D1∥BD，即OD∥B1D1，‎ OD⊂面OC1D，‎ ‎∴OD∥面AB1D1．‎ 由（1）可得C1O∥面AB1D1；‎ OD∩C1O=O，‎ 所以：面OC1D∥面AB1D1．‎ ‎19．（本题满分12分）如图，在四棱锥中,‎ ‎ 底面 是的中点．‎ 证明；（2）证明面平面；‎ 解析：（1）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD ‎∴PA⊥CD又AC⊥CD，ACPA=A ‎∴CD⊥平面PAC，又AE平面PAC ‎∴CD⊥AE ‎ ‎（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，AB平面ABCD ‎∴PA⊥AB又AD⊥AB，ADPA=A ‎∴AB⊥平面PAD，又PD平面PAD ‎∴AB⊥PD由PA=AB=BC，∠ABC=60o则△ABC是正三角形 ‎∴AC=AB∴PA=AC ‎∵E是PC中点∴AE⊥PC由（1）知AE⊥CD，又CDPC=C ‎∴AE⊥平面PCD∴AE⊥PD又AB⊥PD，ABAE=A ‎∴PD⊥平面ABE ‎ 从而面平面 ‎20. （本题满分12分）已知正方体ABCD—A1B1C1D1的棱长为a，M，N分别为A1B和AC上的点，A1M＝AN＝a，如图．‎ ‎(1)求证：MN∥面BB1C1C；‎ ‎(2)求MN的长．‎ 解　(1)证明：作NP⊥AB于P，连接MP.NP∥BC，‎ ‎∴＝＝，‎ ‎∴MP∥AA1∥BB1，‎ ‎∴面MPN∥面BB1C1C.‎ MN⊂面MPN，‎ ‎∴MN∥面BB1C1C.‎ ‎(2)＝＝＝，NP＝a，‎ 同理MP＝a.‎ 又MP∥BB1，‎ ‎∴MP⊥面ABCD，MP⊥PN.‎ 在Rt△MPN中MN＝＝a.‎ ‎21、如图1，在边长为1的等边三角形中，分别是，上的点，，是的中点，与交于点，沿折起，得到如图2所示的三棱锥，其中.‎ ‎（1）求证：平面平面 ‎（2）若为，上的中点，为中点，求异面直线与所成角的余弦值 证明：（1）如题图1，在等边三角形中，,‎ 如题图2，平面,‎ 平面 ··········2分 同理可证平面 ‎,‎ 平面平面 平面 ·········4分 ‎（2）连 是的中位线 异面直线与所成角即为·····6分 ‎，‎ 又· ······8‎ ‎22、如图，四棱锥P－ABCD中，底面是以O为中心的菱形，PO⊥底面ABCD，AB＝2，∠BAD＝，M为BC上一点，且BM＝.‎ ‎(1)证明：BC⊥平面POM；‎ ‎(2)若MP⊥AP，求四棱锥PABMO的体积．‎ 解：(1)证明：如图，因四边形ABCD为菱形，O为菱形中心，连接OB，AM，则AO⊥OB.因∠BAD＝，‎ 故OB＝AB·sin∠OAB＝2sin＝1，‎ 又因BM＝，且∠OBM＝，在△OBM中，‎ OM2＝OB2＋BM2－2OB·BM·cos∠OBM ‎＝12＋2－2×1××cos＝.‎ 所以OB2＝OM2＋BM2，故OM⊥BM.‎ 又PO⊥底面ABCD，所以PO⊥BC.从而BC与平面POM内两条相交直线OM，OP都垂直，‎ 所以BC⊥平面POM.‎ ‎(2)由(1)可得，OA＝AB·cos∠OAB＝2×cos＝.‎ 设PO＝a，由PO⊥底面ABCD知，△POA为直角三角形，故PA2＝PO2＋OA2＝a2＋3.‎ 由△POM也是直角三角形，故PM2＝PO2＋OM2＝a2＋.‎ 在△ABM中，‎ AM2＝AB2＋BM2－2AB·BM·cos∠ABM＝‎ ‎22＋2－2×2××cos＝.‎ 由已知MP⊥AP，故△APM为直角三角形，则 PA2＋PM2＝AM 2，即a2＋3＋a2＋＝，得a＝，a＝－(舍去)，即PO＝.‎ 此时S四边形ABMO＝S△AOB＋S△OMB＝·AO·OB＋·BM·OM＝××1＋××＝.‎ 所以四棱锥P－ABMO的体积 VP－ABMO＝·S四边形ABMO·PO＝××＝.‎