2018届二轮复习一、函数与方程思想课件（全国通用） 26页

一、函数与方程思想 思想解读 思想解读 应用类型 　　函数的思想,就是用运动和变化的观点,分析和研究数学中的数量关系,建立函数关系或构造函数,运用函数的图象和性质去分析问题、转化问题,从而使问题获得解决的数学思想. 方程的思想,就是分析数学问题中变量间的等量关系,建立方程或方程组,或者构造方程,通过解方程或方程组,或者运用方程的性质去分析、转化问题,使问题获得解决的数学思想. 解决图象交点或方程根的问题; 解决最值或范围问题; 解决与不等式有关的问题; 解决与数列有关的问题; 解决与解析几何、立体几何有关的问题. 总纲目录 应用一   解决图象交点或方程根的问题 应用二 解决最值或范围问题 应用三 解决与不等式有关的问题 应用四 解决与数列有关的问题 应用五 解决与解析几何、立体几何有关的问题 应用一    解决图象交点或方程根的问题 例1 　设 f ( x )是定义在R上的偶函数,对任意 x ∈R,都有 f ( x +4)= f ( x ),且当 x ∈[-2,0]时, f ( x )=   -6.若在区间(-2,6]内关于 x 的方程 f ( x )-log a ( x +2)=0( a > 1)恰有3个不同的实数根,则实数 a 的取值范围是 　　　     . 答案 　(   ,2) 解析 　由 f ( x +4)= f ( x )得函数 f ( x )的周期为4, 若 x ∈[0,2],则- x ∈[-2,0], 则 f (- x )=   -6=3 x -6, 因为 f ( x )是偶函数,所以 f (- x )=3 x -6= f ( x ),即 f ( x )=3 x -6, x ∈[0,2], 设 g ( x )=log a ( x +2),作出函数 f ( x )、 g ( x )的图象如图. 当 a >1时,方程 f ( x )-log a ( x +2)=0恰有3个不同的实数根, 等价于函数 f ( x )与 g ( x )=log a ( x +2)有3个不同的交点, 则满足   即 解得   < a <2,故 a 的取值范围是(   ,2). 【技法点评】    利用函数与方程思想解决交点或方程根的问题的思路 (1)应用方程思想把函数图象交点问题转化为方程根的问题,应用函数 思想把方程根的问题转化为函数零点问题. (2)含参数的方程问题一般通过直接构造函数或分离参数化为函数问题解决. 　函数 f ( x )=   的零点个数为   (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5 答案     D　当 x ≤ 0时,令e x + x 2 -1=0,则e x =1- x 2 , 令 g ( x )=e x , h ( x )=1- x 2 ,作出两函数图象(如图1),图象有两个交点,即e x + x 2 -1= 0有两个解.   跟踪集训 图1 当 x >0时, f ( x )=   x 3 -2 x 2 +3 x -1, 则 f '( x )= x 2 -4 x +3=( x -3)( x -1), ∴ x =3, x =1是函数 f ( x )的极值点, 又 f (1)=   , f (3)=-1, 在(0,+ ∞ )上 f ( x )的大致图象如图2所示.   图2 ∴ f ( x )的图象与 x 轴在 x ∈(0,+ ∞ )上有3个交点. 综上,函数 f ( x )的零点个数为5. 故选D. 应用二    解决最值或范围问题 例2 　已知 a , b , c 为平面上三个向量,又 a , b 是两个相互垂直的单位向量,向 量 c 满足| c |=3, c · a =2, c · b =1,则对于任意实数 x , y ,| c - xa - yb |的最小值为 　     　     . 答案 　2 解析 　由题意可知| a |=| b |=1, a · b =0,又| c |=3, c · a =2, c · b =1, 所以| c - xa - yb | 2 =| c | 2 + x 2 | a | 2 + y 2 | b | 2 -2 xc · a -2 yc · b +2 xya · b =9+ x 2 + y 2 -4 x -2 y =( x -2) 2 +( y -1) 2 +4, 当且仅当 x =2, y =1时,(| c - xa - yb | 2 ) min =4, 所以| c - xa - yb |的最小值为2. 【 技法点评 】     求最值或参数范围的技巧 (1) 充分挖掘题设条件中的不等关系 , 构建以待求字母为元的不等式 ( 组 ) 求解 . (2) 充分应用题设中的等量关系 , 将待求参数表示成其他变量的函数 , 然 后应用函数知识求解. (3)当问题中出现两数积与这两数和时,应构建一元二次方程,再利用方 程知识使问题巧妙解决. (4)当问题中出现多个变量时,往往要利用等量关系去减少变量的个数. 跟踪集训 (2017湖南五市十校联考)圆锥的母线长为 L ,过顶点的最大截面的面积 为   L 2 ,则圆锥底面半径与母线长的比   的取值范围是   (　　) A.0<   <   　    B.   ≤   <1 C.0<   <   　    D.   ≤   <1 答案     D　设过顶点的截面的顶角为 θ ,则过顶点的截面的面积 S =   L 2 sin θ ≤   L 2 ,sin θ ≤ 1,当截面为等腰直角三角形时取最大值,故圆锥的过顶 点的截面的顶角必须大于或等于90 ° ,得 L > r ≥ L cos 45 ° =   L ,所以   ≤   <1. 应用三    解决与不等式有关的问题 例3 　关于 x 的不等式e x -   -1-   x ≥ 0在 x ∈   上恰成立,则 a 的 取值集合为 　　　     . 答案 　{2   } 解析 　关于 x 的不等式e x -   -1-   x ≥ 0在 x ∈   上恰成立 ⇔ 函数 g ( x )=   在   上的值域为   . 因为 g '( x )=   . 令 φ ( x )=e x ( x -1)-   x 2 +1, x ∈   , 则 φ '( x )= x (e x -1). 因为 x ≥   ,所以 φ '( x ) ≥ 0,故 φ ( x )在   上单调递增, 所以 φ ( x ) ≥ φ   =   -   >0. 因此 g '( x )>0,故 g ( x )在   上单调递增, 则 g ( x ) ≥ g   =   =2   -   , 所以 a -   =2   -   ,解得 a =2   . 所以 a 的取值集合为{2   }. 【 技法点评 】     解决不等式问题的方法及注意点 (1) 在解决不等式恒成立问题时 , 一种最重要的思想方法就是构造适当 的函数 , 利用函数的图象和性质解决问题 . (2) 要注意在一个含多个变量的数学问题中 , 需要确定合适的变量和参 数 , 从而揭示函数关系 , 使问题更明朗化 , 一般地 , 已知存在范围的量为变 量,而待求范围的量为参数. 跟踪集训 1.函数 f ( x )的定义域为R, f (-1)=2,对任意 x ∈R, f '( x )>2,则 f ( x )>2 x +4的解集 为   (　　) A.(-1,1)　    B.(-1,+ ∞ ) C.(- ∞ ,-1)　    D.(- ∞ ,+ ∞ ) 答案     B　设 g ( x )= f ( x )-2 x -4,则 g (-1)= f (-1)-2 × (-1)-4=0, g '( x )= f '( x )-2>0,则 g ( x )为增函数. 解 g ( x )>0,即 g ( x )> g (-1),得 x >-1,选B. 2.若0< x 1 < x 2 <1,则   (　　) A.   -   >ln x 2 -ln x 1 　    B.   -   x 1   　    D. x 2   < x 1   答案     C　设 f ( x )=e x -ln x (0< x <1), 则 f ‘( x )=e x -   =   ,令 f '( x )=0,得 x e x -1=0. 根据函数 y =e x 与 y =   的图象可知两函数图象的交点 x 0 ∈(0,1), 因此函数 f ( x )在(0,1)上不是单调函数,故A,B选项不正确. 设 g ( x )=   (0< x <1),则 g ‘( x )=   .又0< x <1,∴ g '( x )<0. ∴函数 g ( x )在(0,1)上是减函数.又0< x 1 < x 2 <1,∴ g ( x 1 )> g ( x 2 ), ∴ x 2   > x 1   .故选C. 应用四    解决与数列有关的问题 例4　 已知数列{ a n }是各项均为正数的等差数列. (1)若 a 1 =2,且 a 2 , a 3 , a 4 +1成等比数列,求数列{ a n }的通项公式 a n ; (2)在(1)的条件下,数列{ a n }的前 n 项和为 S n ,设 b n =   +   + … +   ,若对 任意的 n ∈N * ,不等式 b n ≤ k 恒成立,求实数 k 的最小值. 解析 　(1)因为{ a n }是正项等差数列,所以 d ≥ 0, 由题意知   = a 2 ·( a 4 +1),又 a 1 =2, 所以(2+2 d ) 2 =(2+ d )(3+3 d ), 解得 d =2或 d =-1(舍去), 所以数列{ a n }的通项公式 a n =2 n . (2)易知 S n = n ( n +1), 则 b n =   +   + … +   =   +   + … +   =   -   +   -   + … +   -   =   -   =   =   , 令 f ( x )=2 x +   ( x ≥ 1), 则 f '( x )=2-   , 当 x ≥ 1时, f '( x )>0恒成立,所以 f ( x )在[1,+ ∞ )上是增函数, 故当 x =1时, f ( x ) min = f (1)=3,即当 n =1时,( b n ) max =   , 要使对任意的正整数 n ,不等式 b n ≤ k 恒成立, 则须使 k ≥ ( b n ) max =   , 所以实数 k 的最小值为   . 【技法点评】 　数列最值问题中应用函数与方程思想的常见类型: (1)数列中的恒成立问题,转化为最值问题,利用函数的单调性或不等式 求解. (2)数列中的最大项与最小项问题,利用函数的有关性质或不等式组    ( n ≥ 2, n ∈N * )求解. (3)数列中前 n 项和的最值:转化为二次函数,借助二次函数的单调性或求 使 a n ≥ 0( a n ≤ 0)成立时最大的 n 值即可求解. 跟踪集训 (2017长沙统一模拟考试)已知数列{ a n }为等差数列,其中 a 2 + a 3 =8, a 5 =3 a 2 . (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)记 b n =   ,设{ b n }的前 n 项和为 S n .求最小的正整数 n ,使得 S n >   . 解析 　(1)设等差数列{ a n }的公差为 d , 依题意有   解得 a 1 =1, d =2,从而{ a n }的通项公式为 a n =2 n -1. (2)因为 b n =   =   -   , 所以 S n =   +   + … +   =1-   , 令1-   >   ,解得 n >1 008,故 n =1 009. 应用五    解决与解析几何、立体几何有关的问题 例5 　设椭圆中心在坐标原点, A (2,0), B (0,1)是它的两个顶点,直线 y = kx ( k >0)与直线 AB 相交于点 D ,与椭圆相交于 E , F 两点. (1)若   =6   ,求 k 的值; (2)求四边形 AEBF 面积的最大值. 解析 　(1)由题设条件可得,椭圆的方程为   + y 2 =1,直线 AB 的方程为 x +2 y -2=0. 设 D ( x 0 , kx 0 ), E ( x 1 , kx 1 ), F ( x 2 , kx 2 ),其中 x 1 < x 2 , 由   得(1+4 k 2 ) x 2 =4,解得 x 2 =- x 1 =   .① 由   =6   得 x 0 - x 1 =6( x 2 - x 0 ), ∴ x 0 =   (6 x 2 + x 1 )=   x 2 =   . 由 D 在 AB 上,得 x 0 +2 kx 0 -2=0,∴ x 0 =   . ∴   =   ,化简,得24 k 2 -25 k +6=0, 解得 k =   或 k =   . (2)根据点到直线的距离公式和①式可知,点 E , F 到 AB 的距离分别为 d 1 =   =   , d 2 =   =   , 又| AB |=   =   , ∴四边形 AEBF 的面积为 S =   | AB |( d 1 + d 2 ) =   ·   ·   =   =2   =2   =2   ≤ 2   =2   , 当且仅当4 k =   ( k >0),即 k =   时,等号成立. 故四边形 AEBF 面积的最大值为2   . 【技法点评】 　解析几何中的最值是高考的热点,在圆锥曲线的综合问 题中经常出现,求解此类问题的一般思路为在深刻认识运动变化的过程 之中,抓住函数关系,将目标量表示为一个(或者多个)变量的函数,然后 借助于函数最值的探求来使问题得以解决. 跟踪集训 1.(2015湖南,10,5分)某工件的三视图如图所示,现将该工件通过切削,加工成一个体积尽可能大的长方体新工件,并使新工件的一个面落在原工件的一个面内,则原工件材料的利用率为   ( ) A.   　     B.   C.   　    D.   答案     A　原工件是一个底面半径为1,高为2的圆锥,依题意加工后的新 工件是圆锥的内接长方体,且落在圆锥底面上的面是正方形,设正方形 的边长为 a ,长方体的高为 h ,则0< a <   ,0< h <2. 于是   =   , h =2-   a . 令 f ( a )= V 长方体 = a 2 h =2 a 2 -   a 3 , ∴ f '( a )=4 a -3   a 2 , 当 f '( a )=0时, a =   . 易知 f ( a ) max = f   =   . ∴材料利用率=   =   .故选A. 2.(2016山东)已知双曲线 E :   -   =1( a >0, b >0).若矩形 ABCD 的四个顶点 在 E 上, AB , CD 的中点为 E 的两个焦点,且2| AB |=3| BC |,则 E 的离心率是      　　     . 答案 　2 解析 　如图,不妨令| AB |=3,| BC |=2,双曲线的左、右焦点分别为 F 1 , F 2 ,则 AB 的中点为 F 1 ,故| DF 1 |=   ,| DF 2 |=   ,根据双曲线的定义知2 a =1,又2 c =2,所 以该双曲线的离心率为   =2.