2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考数学（理）试题 7页

‎ 2017-2018学年陕西省西安市长安区第一中学高二上学期第二次月考 数学试题（理科重点平行）‎ 时间:100分钟 总分:150分 ‎ 命题人：赵建军 审题人：南宏波 一.选择题：(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请将答案填涂在答题卡的相应位置.)‎ ‎1.设f(x)＝xlnx，若f′(x0)＝2，则x0等于(　　)‎ A．e2 B．e C. D．ln2‎ ‎2.抛物线的焦点坐标为( 　)‎ ‎ A. (,0) B. (0,) C. (,0) D. (0,)‎ ‎3.“”是“”的( 　)‎ ‎ A.必要不充分条件 B.充分不必要条件 ‎ ‎ C.充分而必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎ ‎4.下列命题中正确的个数是( 　)‎ ①命题“任意”的否定是“任意；‎ ②命题“若，则”的逆否命题是真命题；‎ ③若命题为真，命题为真，则命题且为真；‎ ④命题“若，则”的否命题是“若，则”.‎ A.个 B.个 C.个 D.个 ‎ ‎5.等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点 .若，则的实轴长为( 　)‎ ‎ A. B. C. D.‎ ‎6.函数的图象在点()处的切线的倾斜角为( 　)‎ A. B. C. 锐角 D.钝角 ‎7. 函数f(x)＝x3－4x＋4的极大值为(　　)‎ A. B．6 C. D．7‎ ‎8.用数学归纳法证明时，从“‎ 到”左边需增乘的代数式为( 　)‎ ‎ A. B． C. D．‎ ‎9. 左图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图像，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图像可能是(　　)‎ ‎10.设F为抛物线的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若，则等于(　 ) A．9 B．4 C． 6 D．3‎ ‎11.如图,正方体中，为底面上的动 点，于，且，则点的轨迹是( 　) ‎ A.线段 B.圆弧 C.椭圆的一部分 D.抛物线的一部分 ‎12.设函数f(x)在R上可导，其导函数为f′(x)，且函数y＝(1－x)f′(x)的图像如图所示，则下列结论中一定成立的是(　　)‎ A．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(1) B．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(1)‎ C．函数f(x)有极大值f(2)和极小值f(－2) D．函数f(x)有极大值f(－2)和极小值f(2)‎ ‎13. 若函数f(x)＝－x2＋x＋1在区间(，3)上有极值点，则实数a的取值范围是(　　)‎ A．(2，) B．[2，) C．(2，) D．[2，)‎ ‎14. 双曲线的右焦点为，设为双曲线上关于原点对称的两点, 的中点为， 的中点为，若原点在以线段为直径的圆上，直线的斜率为，则双曲线的离心率为（ ）‎ ‎ A.4 B.2 C. D．‎ 二.填空题：（本大题共4小题，每小题6分，共24分.请把答案填写在答题纸的相应横线上.）‎ ‎15. 设函数f(x)的导数为f′(x)，且f(x)＝f′()sinx＋cosx，则f′()＝ .‎ ‎16.已知x∈(0，＋∞)，观察下列各式：x＋≥2，x＋＝＋＋≥3，x＋＝＋＋＋≥4，…，归纳得x＋≥n＋1(n∈N＋)，则a＝________.‎ ‎17．设F1、F2是双曲线的两焦点，点在双曲线上．若点到焦点F1的距离等于，则点到焦点F2的距离等于 ．‎ ‎18. 古希腊毕达哥拉斯学派的数学家研究过各种多边形数，如三角形数1,3,6,10，…，第n个三角形数为＝n2＋n，记第n个k边形数为N(n，k)(k≥3)，以下列出了部分k边形数中第n个数的表达式：‎ 三角形数　　　　　 N(n,3)＝n2＋n，‎ 正方形数 N(n,4)＝n2，‎ 五边形数 N(n,5)＝n2－n，‎ 六边形数 N(n,6)＝2n2－n.‎ ‎… …‎ 可以推测N(n，k)的表达式，由此计算N(10,24)＝____________.‎ 三.解答题：（本大题共4小题，共56分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答.）‎ ‎19．（本小题满分14分）已知函数f(x)＝x－1＋(a∈R，e为自然对数的底数)．且曲线y＝f(x)‎ 在点(1，f(1))处的切线平行于x轴.‎ ‎(1)求a的值； (2)求函数f(x)的极值．‎ ‎20.（本小题满分14分）如图，在四棱锥中，‎ 侧面,,,‎ 为直角梯形，其中//，,‎ ‎,为的中点.‎ ‎(1)求直线与平面所成角的余弦值；‎ ‎(2)线段上是否存在一点,使得二面角的余弦值为？‎ ‎ 若存在，求出的值；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.（本小题满分14分）已知点，椭圆的长轴长是短轴长的2倍，是椭圆的右焦点，直线的斜率为，为坐标原点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设过点的动直线与椭圆相交于两点.当的面积最大时，求直线的方程.‎ ‎22.（本小题满分14分）设f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，其中a∈R，曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与y轴相交于点(0,6)．‎ ‎(1)确定a的值； (2)求函数f(x)的单调区间与极值．‎ 高二数学参考答案及评分标准（理科）‎ 一、选择题：(本大题共14小题,每小题5分,共70分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ ‎11‎ ‎12‎ ‎13‎ ‎14‎ 答案 C D A B C D A D B C A B 二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）‎ ‎15. － 16. a＝nn. 17．17 18. N(10,24)＝1000. ‎ 三.解答题：（本大题共6小题，共70分.解答时应写出必要的文字说明或演算步骤，请在答题纸的相应位置作答.）‎ ‎19.（本小题满分14分）解　(1)由f(x)＝x－1＋，得f′(x)＝1－.‎ 又曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线平行于x轴，‎ 得f′(1)＝0，即1－＝0，解得a＝e.‎ ‎(2)f′(x)＝1－，令f′(x)＝0，得ex＝a，即x＝lna，‎ 当x∈(－∞，lna)时，f′(x)<0；当x∈(lna，＋∞)时，f′(x)>0，‎ 所以f(x)在(－∞，lna)上是减少的，‎ 在(lna，＋∞)上是增加的，故f(x)在x＝lna处取得极小值且极小值为f(lna)＝lna，无极大值．‎ 当a>0时，f(x)在x＝lna处取得极小值lna，无极大值．‎ ‎20.解：(1) 设，由条件知，得= 又，‎ 所以a=2=， ,故的方程. …………………4分 ‎（2）依题意当轴不合题意，故设直线l：，设 ‎ 将代入，得，‎ 当，即时，‎ 从而= +…………………………8分 又点O到直线PQ的距离，所以OPQ的面积 ‎ ，‎ 设，则，，‎ 当且仅当，等号成立，且满足，………………………… 10分 所以当OPQ的面积最大时，‎ 的方程为： 或. …………………………12分 ‎21.解： (1)在中，，为的中点，所以,‎ Y X Z 侧面,.又在直角梯形中，连接,则,以O为坐标原点，直线为X轴，直线为Y轴,直线为Z轴建立空间直角坐标系.,,‎ ‎,‎ 所以，直线与平面所成角的 余弦值为.………………6分 (2) 存在.设,‎ ‎,,所以.‎ 因为二面角的余弦值为 ‎,解得.所以.…………………………12分 ‎22. 解　(1)因为f(x)＝a(x－5)2＋6lnx，‎ 所以f′(x)＝2a(x－5)＋.‎ 令x＝1，得f(1)＝16a，f′(1)＝6－8a，‎ 所以曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为 y－16a＝(6－8a)(x－1)，‎ 由点(0,6)在切线上，可得6－16a＝8a－6，故a＝.‎ ‎(2)由(1)知，f(x)＝(x－5)2＋6lnx(x>0)，‎ f′(x)＝x－5＋＝.‎ 令f′(x)＝0，解得x＝2或3.‎ 当03时，f′(x)>0，‎ 故f(x)在(0,2)和(3，＋∞)上为增函数；‎ 当2