线段的垂直平分线教案2 5页

‎1.3线段的垂直平分线 教学目标：‎ ‎1．经历探索、猜测、证明的过程，进一步发展学生的推理证明意识和能力 ‎2．能够证明线段垂直平分线的性质定理、判定定理，以及三角形三条边的垂直平分线相交于一点定理 ‎3．能够用尺规作已知线段的垂直平分线；已知底边及底边上的高，能用尺规作出等腰三角形 教学重点：‎ ‎1．能够证明线段的垂直平分线的性质定理、判定定理 ‎2．能够利用尺规作已知线段的垂直平分线．‎ ‎3．理解三角形三条垂直平分线共点．‎ 教学难点：‎ ‎1．写出线段垂直平分线的性质定理的逆命题．‎ ‎2．理解三条垂直平分线共点的证明方法及应用 教学过程设计 教 学 过 程 设 计 补充完善 一、复习引入 在七年级时研究过线段的性质：‎ 线段是一个轴对称图形，它的对称轴是 ‎ 你还记得它有什么性质吗？‎ ‎ ‎ 本节课我们将继续学习并应用线段的垂直平分线 二、新课讲解 ‎1、线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等．‎ 已知：如图，直线MN⊥AB，垂足是C，且AC＝BC，P是MN上的点．‎ 求证：PA＝PB．‎ 分析：要想证明PA=PB，可以考虑包含这两条线段的两个三角形是否 ．‎ ‎ ‎ 例1如图，在ΔABC中，AB=AC=32，MN是AB的垂直平分线，且有BC=21，求ΔBCN的周长。‎ 对应训练：1、如图，在ΔABC中，DE是AC的垂直平分线，‎ AE=3cm，ΔABD 的周长为13cm，则ΔABC的周长为 。‎ ‎2、已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，‎ 5‎ ‎△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（ ）‎ A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm ‎3．如图7，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：AD=DC．‎ ‎2、线段的垂直平分线的判定定理：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上 你能写出上面这个定理的逆命题吗?‎ 分析原命题的条件和结论：条件是“有一个点是线段垂直平分线上的点”，结论是“这个点到线段两个端点的距离相等”．‎ 逆命题：如果有一个点到线段两个端点的距离相等，那么这个点到线段两个端点的距离相等．‎ A P B 描述得更简捷：‎ 到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上．‎ 它是真命题吗?‎ 已知：线段AB，点P是平面内一点且PA＝PB．‎ 求证：P点在AB的垂直平分线上．‎ 证明：‎ 证法一：过点P作已知线段AB的垂线PC．‎ 证法二：取AB的中点C，过PC作直线 ‎ A B D C E ‎ ‎ 证法三：过P点作∠APB的角平分线. ‎ 例2、如图，四边形ABCD是一只“风筝”的骨架，‎ 其中AB=AD,CB=CD (1) 小明观察了这个“风筝”的骨架后，他认为四边形的两条 对角线AC⊥BD,垂足为E,并且BE=ED，你同意小明的判断吗？请说明理由 (2) 设对角线AC=a,BD=b,请用含a,b的式子表示四边形ABCD的面积 ‎3、线段的垂直平分线的尺规作图：‎ 我们曾用折纸的方法折出过线段的垂直平分线，现在我们学习了线段垂直平分线的性质定理和判定定理，能否用尺规作图的方法作出已知线段的垂直平分线呢?‎ 已知：线段AB(如图)．‎ A B 求作：线段AB的垂直平分线．‎ 作法：‎ 5‎ 根据上面作法中的步骤，请你说明CD为什么是AB的垂直平分线吗?‎ 我们曾用刻度尺找线段的中点，当我们学习了线段垂直平分线的作法时，一旦垂直平分线作出，线段与线段垂直平分线的交点就是线段AB的中点，所以我们也用这种方法作线段的中点．‎ h a ‎ ‎ 例3、已知底边及底边上的高，求作等腰三角形。‎ 已知：线段a，h(如图)‎ 求作：△ABC，使AB=AC，且BC=a，高AD=h。‎ 作法：‎ ‎4、三角形三边中垂线的性质定理：三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离相等 折一折：拿出三角形纸片，通过折叠让学生观察：刚刚折出来的三条垂直平分线有什么关系? ‎ 这一点有到三个顶点的距离有何关系？ ‎ A B C P 三种三角形三边中垂线交点的位置不同：‎ 锐角三角形交点在三角形 ‎ 钝角三角形交点在三角形 ‎ 直角三角形交点在三角形 ‎ 如何证明三条垂直平分线交于一点？‎ 分析：大家都知道两条直线交于一点，要证明三条直线相交于一点，只要能证明其中两条直线的交点在另一条直线上即可。‎ 证明：‎ 例4、如图6，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．求证：点O在AC的垂直平分线上．‎ 三、巩固练习：‎ ‎1、到平面上三点 A，B，C距离相等的点（ ）‎ A．只有一个 B．有二个 C．三个或三个以上 D．一个或没有 ‎2、如果一个三角形的三边中垂线的交点恰好在三角形的一边上，则这个三角形是（ ）‎ A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、任意三角形 ‎3、在锐角三角形ABC中，∠A=60°，AB，AC两边的垂直平分线相交于点O，则 ‎∠BOC=　　　　．‎ ‎4、△ABC中，∠ABC=135°，MN垂直平分AB交AC于点N，EF垂直平分BC交AC于点F，那么△NBF是　　　　三角形．‎ ‎4、已知：是等腰三角形，ED为腰AB的垂直平分线，的周长为 说明：进一步训练学生的作图技能,应注意要求学生根据题意写出已知和求作、规范作图并能说明理由。‎ ‎（教师完成锐角三角形，学生同位间合作分别完成直角三角形和钝角三角形）‎ 5‎ ‎24cm，腰长为14cm，求底边BC的长。 ‎ ‎ ‎ ‎5、已知，D是直角斜边AC的中点，于D交BC于E，，求：的度数。‎ ‎6、如图，已知：AB=AC，DB=DC，E是AD上的一点，求证：BE=CE。‎ ‎7．已知：如图３，△ＡＢＣ中，ＡC＝４，ＢＣ＝８，ＡＢ的垂直平分线交ＢＣ于Ｄ，Ｅ是垂足，且ＢＤ＝５，求△ＡＢＣ的面积。 ‎8、已知：如图４，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若ＢＤ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５° 练习：‎ 一、精心选一选，慧眼识金！‎ ‎1．已知MN是线段AB的垂直平分线．C，D是MN上任意两点，则∠CAD和∠CBD之间的关系是（ ）‎ A．∠CAD＞∠CBD B．∠CAD=∠CBD C．∠CAD＜∠CBD D．不能确定 ‎2．到平面上三点 A，B，C距离相等的点（ ）‎ A．只有一个 B．有二个 C．三个或三个以上 D．一个或没有 ‎3．已知△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分线交AC于点D，△ABC和△DBC的周长分别是60cm和38cm，则△ABC的腰长和底边BC的长分别是（ ）‎ A．24cm和12cm B．16cm和22cm C．20cm和16cm D．22cm和16cm ‎4．如图1，△ABC中，∠A=124°，BC边上的垂直平分线交AC于点D，交BC于点E，BD分∠ABC为两部分．若∠ABD∶∠DBC=3∶2，则∠C=（ ）‎ A．24° B．16° C．30° D．8°‎ ‎　　　　‎ ‎5．如图2所示，已知在△ABC中，AD垂直平分BC，AC=EC，点B，D，C，E在同一条直线上，则AB+DB与DE之间的关系是（ ）‎ 5‎ A．AB+DB＞DE B．AB+DB＜DE C．AB+DB=DE D．非上述答案 二、耐心填一填，一锤定音！‎ ‎6．如图3，△ABC中，EF是AB的垂直平分线，与AB交于点D，‎ BF=12，CF=3，则AC=　　　　．‎ ‎7．△ABC中，AB=AC，AC的垂直平分线交AB于点E，若△BEC的周长是30cm，且AB=2BC，则腰长为　　　　．‎ 三、用心做一做，马到成功！‎ ‎8．如图6，△ABC中，AB=AC，AD是BC边上的中线，AB的垂直平分线交AD于点O，交AB于点E．求证：点O在AC的垂直平分线上．‎ ‎9．如图7，△ABC中，BA=BC，∠B=120°，AB的垂直平分线交AC于点D，求证：AD=DC．‎ ‎10．如图，A、B表示两个仓库，要在A、B一侧的河岸边建造一个码头，使它到两个仓库的距离相等，码头应建在什么位置?‎ ‎11．已知：如图，△ＡＢＣ中，ＡＢ的中垂线交ＢＣ于Ｄ，ＡＣ的中垂线交ＢＣ于Ｅ，Ｍ、Ｎ为垂足，若ＢＤ＝３，ＤＥ＝４，ＥＣ＝５，求证：∠Ｂ＝４５°‎ C A B D E M N 四、课堂小结：‎ 五、板书设计：‎ 5‎