数学理卷·2017届河北省武邑中学高三下学期期中考试（2017 10页

河北武邑中学2016-2017学年高三年级下学期期中考试 数学试题（理科）‎ 第Ⅰ卷 选择题（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求，将正确答案填涂在答题卡上.‎ ‎1.已知全集，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2.设是虚数单位，复数满足，则在复平面内对应的点在（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎3.命题“，”的否定是（ ）‎ A．， B．， ‎ C．， D．， ‎ ‎4.《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月（按30天计），共织390尺布”，则该女最后一天织多少尺布？（ ）‎ A．18 B．20 C.21 D．25‎ ‎5.已知向量，，若，则等于（ ）‎ A． B. C. D. 80‎ ‎6.设，，，则，，的大小关系为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎7.按照如图所示的程序框图执行，若输出的结果为15，则处的条件可为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎8.函数的图象大致为（ ）‎ ‎ ‎ ‎ A． B． C. D．‎ ‎9.已知双曲线的一条渐近线过点，且双曲线的一个焦点在抛物线的准线上，则等于（ ）‎ A． B． C. 2 D．1‎ ‎10.如图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）‎ A．1 B． C. D．‎ ‎11.若实数，满足约束条件，将一颗骰子投掷两次得到的点数分别为，，则函数当且仅当在点处取得最大值的概率为（ ）‎ A． B． C. D．‎ ‎12.已知函数，若，且，对任意的恒成立，则的最大值为（ ）‎ A．2 B．3 C.4 D．5‎ 第Ⅱ卷 非选择题（共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分，将答案填在答题卡上相应位置.‎ ‎13.若，则= ．‎ ‎14.设，则的展开式中常数项是 ．‎ ‎15.正三棱柱底面的边长为3，此三棱柱的外接球的半径为，则异面直线与所成角的余弦值为 ．‎ ‎16.已知数列满足，且对任意都有，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 ：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. ‎ ‎17. 已知向量，，函数.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）已知，，分别为内角，，的对边，其中为锐角，，，且，求的面积.‎ ‎18.交通指数是交通拥堵指数的简称，是综合反映道路畅通或拥堵的概念，记交通指数为，其范围为，分为五个级别，畅通；基本畅通；轻度拥堵；中度拥堵；严重拥堵.早高峰时段（），从某市交通指挥中心随机选取了三环以内的50个交通路段，依据其交通指数数据绘制的频率分布直方图如图.‎ ‎（1）这50个路段为中度拥堵的有多少个？‎ ‎（2）据此估计，早高峰三环以内的三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是多少？‎ ‎（3）某人上班路上所用时间若畅通时为20分钟，基本畅通为30分钟，轻度拥堵为36分钟，中度拥堵为42分钟，严重拥堵为60分钟，求此人所用时间的数学期望.‎ ‎19. 如图，四边形中，为正三角形，，，与中心点，将沿边折起，使点至点，已知与平面所成的角为.‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）求已知二面角的余弦值.‎ ‎20. 设椭圆的左、右焦点分别为 ，，点在椭圆上，且满足.‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）动直线：与椭圆交于，两点，且，是否存在圆使得恰好是该圆的切线，若存在，求出；若不存在，说明理由.‎ ‎21. 已知函数在点处的切线与直线垂直.‎ ‎（1）若函数在区间上存在极值，求实数的取值范围；‎ ‎（2）求证：当时，.‎ 请考生在第22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22.选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中曲线经伸缩变换后得到曲线，在以为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求曲线的参数方程和的直角坐标方程；‎ ‎（2）设为曲线上的一点，又向曲线引切线，切点为，求的最大值.‎ ‎23.选修4—5：不等式选讲 已知函数的最大值为.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，，求的最大值.‎ 河北武邑中学2016-2017学年高三年级下学期期中考试 数学试题（理科）（答案）‎ 一、选择题：‎ ‎1-5:BDACB 6-10:ADCBB 11、12：AB 二、填空题 ‎13.9 14.-160 15. 16.‎ 三、解答题 ‎17.解：（1），‎ ‎，‎ ‎，‎ 由，‎ 函数的单调递增区间为.‎ ‎（2），‎ 因为，，所以.，，‎ 又，则，‎ 从而.‎ ‎18.解：（1），这50路段为中度拥堵的有18个.‎ ‎（2）设事件“一个路段严重拥堵”，则，‎ 事件至少一个路段严重拥堵，则.‎ ‎，所以三个路段至少有一个是严重拥堵的概率是0.271.‎ ‎（3）由频率分布直方图可得：分布列如下表：‎ ‎30‎ ‎36‎ ‎42‎ ‎60‎ ‎0.1‎ ‎0.44‎ ‎0.36‎ ‎0.1‎ ‎.‎ 此人经过该路段所用时间的数学期望是39.96分钟.‎ ‎19.解：（1）易知为的中点，则，‎ 又平面，所以平面，‎ 平面，平面平面.‎ ‎（2）过作的垂线，垂足为，则垂直平面，，‎ 以为后，为轴，过垂直于平面向上的直线为轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，，‎ 易知平面的法向量为，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 则由得，取，‎ ‎，‎ 二面角的余弦值为.‎ ‎20.解：（1），‎ ‎，‎ 在椭圆上，‎ ‎，解得，‎ ‎，解得，，‎ 椭圆.‎ ‎（2）设，，‎ 将：代入，整理得：，‎ ‎，‎ ‎，‎ 且，，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，即，，‎ 由和，得即可.‎ 与圆相切，，‎ 存在圆符合题意.‎ ‎21.解：（1）因为，所以.得，所以，得，‎ 得，.当时，，为增函数；当时，，为减函数.‎ 所以函数仅当时，取得极值.又函数在区间上存在极值，所以，所以，故实数的取值范围是.‎ ‎（2）当时，，即为.令，则，再令，则.又因为，所以.所以在上是增函数.又因为，所以当时，，所以在区间上是增函数.‎ 所以当时，，故.‎ 令，则.因为，所以.当时，.故函数在区间上是家函数，又，所以当时，，即得，即.‎ ‎22.解：（1）将代入得，所以的参数方程为（为参数）.‎ 由得，的直角坐标方程为.‎ ‎（2）表示以为圆心，以1为半径的圆，.‎ 设，‎ 则 ‎.‎ ‎，.‎ 根据题意可得.‎ ‎23.解：（1）由于，‎ 所以.‎ ‎（2）由已知，有，‎ 因为（当取等号），（当取等号），‎ 所以，即，故.‎