辽宁省辽河油田第二高级中学2020届高三4月模拟考试数学（文）试题 11页

高三下学期4月模拟考试 数学试题（文）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知，则复数在复平面上所对应的点位于（ ）‎ A．实轴上 B．虚轴上 C．第一象限 D．第二象限 ‎3．若为两条不同的直线，为平面，且，则“”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎4．如图，在一个棱长为2的正方体鱼缸内放入一个倒置的无底圆锥形容器，圆锥的上底圆周与鱼缸的底面正方形相切，圆锥的顶点在鱼缸的缸底上，现在向鱼缸内随机地投入一粒鱼食，则“鱼食落在圆锥外面”的概率是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎5．下列函数中，其图像与函数的图像关于直线对称的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知向量，则在方向上的投影为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设、、是三个不同的平面，、、是三条不同的直线，已知，，.给出如下结论：‎ ‎①若，则；②若，则；‎ ‎③若，，则，；④若，，则，.‎ 其中正确的结论个数是（ ）‎ A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎8．已知满足，的最大值为，则直线过定点（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数，则下列判断错误的是（ ）‎ A．为偶函数 B．的图像关于直线对称 C．的值域为 D．的图像关于点对称 ‎10．抛物线的焦点是椭圆的一个焦点，且它们的交点到的距离为，则的值为（   )‎ A. 4 B. 2 C.  D. ‎ ‎11．已知函数f(x)＝，若函数g(x)＝f(x)－ax恰有2个零点，则a的取值范围是（ ）‎ A.(1，＋∞) B.[1.2] C.[1，2) D.(0，2)‎ ‎12．若函数f(x)=alnx-ex有极值点,则实数a的取值范围是（ ）‎ A (-e,+∞) B (1,e) C (1,+∞) D (0,+∞)‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13．已知是定义在上的奇函数，当时，，则= ．‎ ‎14．某车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了5次试验，根据收集到的数据（如表）， ‎ 零件数个 ‎10‎ ‎20‎ ‎30‎ ‎40‎ ‎50‎ 加工时间 ‎62‎ ‎75‎ ‎81‎ ‎89‎ 由最小二乘法求得回归直线方程.由于后期没有保存好，导致表中有一个数据模糊不清，请你推断出该数据的值为 ‎ ‎15．已知球的直径SC＝2。A，B是该球球面上的两点，AB＝，∠ASC＝∠BSC＝45°，则棱锥S－ABC的体积为 。‎ ‎16．在△ABC中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，已知c＝4，(2a＋b)cosC＋ccosB＝0。则△ABC面积的最大值是 。‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17．（12分）某高校在2019的自主招生考试中，考生笔试成绩分布在，随机抽取200名考生成绩作为样本研究，按照笔试成绩分成5组，第1组成绩为，第2组成绩为，第3组成绩为，第4组成绩为，第5组成绩为，样本频率分布直方图如下：‎ ‎（1）估计全体考生成绩的中位数；‎ ‎（2）为了能选拨出最优秀的学生，该校决定在笔试成绩高的第3，4，5组中用分层抽样抽取6名学生进入第二轮面试，从这6名学生中随机抽取2名学生进行外语交流面试，求这2名学生均来自同一组的概率．‎ ‎18．（12分）已知数列是等比数列，，是和的等差中项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎19．（12分）如图，平面平面，四边形是菱形，，，，. （1）求四棱锥的体积；‎ ‎（2）在上有一点，使得，求的值.‎ ‎20．（12分）在平面直角坐标系中，抛物线：，直线与交于，两点，.‎ ‎（1）求的方程； ‎ ‎（2）斜率为（）的直线过线段的中点，与交于两点，直线分别交直线于两点，求的最大值.‎ ‎21．（12分）已知函数. ‎ ‎（1）若是定义域上的增函数，求的取值范围；‎ ‎（2）设，分别为的极大值和极小值，若，求的取值范围.‎ ‎(二)、选考题：共10分．请考生从22、23题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎22.（10分）在直角坐标系中，曲线的参数方程为: (为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为 . ‎ ‎（1）求的极坐标方程； ‎ ‎（2）若直线与曲线相交于两点，求. ‎ ‎23.（10分）已知函数. ‎ ‎（1）当时，求不等式的解集；‎ ‎（2）设，且存在，使得，求的取值范围.‎ 高三4月考试数学试题（文）‎ 时间：120分钟 满分：150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ DBAAB BDADB CD 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13． -1 14．53 15． ‎1‎‎3‎ 16． ‎‎4‎‎3‎‎3‎ 三、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．‎ ‎17． 【解析】（1）样本中位数为，从频率分布直方图可知，‎ 从而有，解得,‎ 故全体考生成绩的中位数约为172.50． ………………5分 ‎（2）记A为事件“这两名学生均来自同一组”，用分层抽样第3组抽取2人，第4组抽取3人，第5组抽取1人， 记第3组学生为，第4组学生为，第5组学生为；‎ 从这6人中抽取2人有15种方法，分别为： ‎ 其中事件A共有4种，为 ‎ 由古典概型公式得,故这两名学生均来自同一组的概率为．………………12分 ‎18．【解析】（1）设数列的公比为，因为，所以，．‎ 因为是和的等差中项，所以．即，化简得．‎ 因为公比，所以．所以（）．………………6分 ‎（2）因为，所以．．‎ 则，①‎ ‎.②‎ ‎①－②得，‎ ‎，所以．………………12分 ‎19．【解析】（1）∵四边形是菱形，∴，‎ 又∵平面平面,平面平面,平面 ‎∴平面，在中,,设,计算得，在梯形中,‎ 梯形的面积，∴四棱锥的体积为.………………6分 ‎（2）在平面内作,且,连接交于，则点满足,证明如下：∵,∴,且,‎ ‎∴四边形是平行四边形.∴,‎ 又菱形中,.∴,‎ ‎∴四边形是平行四边形 ,∴,即.‎ ‎∵,∴,又,∴.‎ ‎………………12分 ‎20．【解析】（1）由方程组得，解得，‎ 所以，则，又，所以，故的方程为.………………5分 ‎（2）由（1），则线段的中点坐标，‎ 故直线的方程为，由方程组得，设，则，‎ 直线的方程，代入，解得，所以，同理得，所以 ‎.因为，所以，当时，取得最大值. ………………12分 ‎21．【解析】（1）的定义域为，‎ ‎∵在定义域内单调递增，∴，即对恒成立. ‎ 则恒成立. ∴，∵，，∴.所以，的取值范围是.………………5分 ‎（2）将表示为关于的函数，由且，得 设方程，即得两根为，，且. ‎ 则，，∵，,∴,∴,‎ ‎∵,∴代入得,‎ 令，则，得，，则,‎ ‎, ∴而且上递减，从而,‎ 即, ∴. ………………12分 ‎ ‎22.【答案】 （1）解：曲线 的参数方程为: 为参数)， ‎ 转换为普通方程为: ，‎ 转换为极坐标方程为: .……………………5分 ‎（2）解：直线 的极坐标方程为 .转换为参数方程为:  (为参数). ‎ 把直线的参数方程代入 ，‎ 得到: ，( 和 为 ， 对应的参数)，‎ 故: ， ，‎ 所以 .………………………………10分 ‎23.【答案】 解：（1）当 时，不等式即 ，等价于 ‎ 或 或 ‎ 解得 或 或 ‎ 即不等式 的解集为 .…………………………5分 ‎（2）当 时， ，不等式 可化为 ，‎ 若存在 ，使得 ，则 ，‎ 所以 的取值范围为 ……………………………………10分 ‎