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- 2024-03-31 发布
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[基础题组练]
1．(2020·商洛模拟)已知不等式|2x＋3|＋|2x－1|－2，所以－24，即实数a的取值范围是(4，＋∞)．
2．(2020·贵州质量测评)已知函数f(x)＝|x＋3|＋|x－1|.
(1)若对任意的x∈R，f(x)≥5a－a2恒成立，求实数a的取值范围；
(2)求函数y＝f(x)的图象与直线y＝6围成的封闭图形的面积．
解：(1)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|≥|(x＋3)－(x－1)|＝4，
所以f(x)min＝4.
对任意的x∈R，f(x)≥5a－a2恒成立，所以f(x)min≥5a－a2，
所以4≥5a－a2⇒a2－5a＋4≥0，解得a≤1或a≥4，
所以实数a的取值范围是(－∞，1]∪[4，＋∞)．
(2)f(x)＝|x＋3|＋|x－1|＝
当f(x)＝6时，x＝－4或x＝2.
画出图象可得(图略)，围成的封闭图形为等腰梯形，且一条底边长为6，
一条底边长为4，高为2，
所以封闭图形的面积S＝×(6＋4)×2＝10.
3．(2020·四川绵阳一诊)已知函数f(x)＝|2x＋1|－|x－m|(m∈R)．
(1)当m＝1时，解不等式f(x)≥2；
(2)若关于x的不等式f(x)≥|x－3|的解集包含[3，4]，求m的取值范围．
解：(1)当m＝1时，f(x)＝|2x＋1|－|x－1|，当x≤－时，f(x)＝－2x－1＋(x－1)＝－x－2，
由f(x)≥2得x≤－4，综合得x≤－4；
当－9；
(2)对任意的x1∈R，存在x2∈R，使得f(x1)＝g(x2)，求实数a的取值范围．
解：(1)f(x)＝
f(x)>9等价于或或
综上，原不等式的解集为{x|x>3或x<－3}．
(2)因为|x－a|＋|x＋a|≥2|a|.
由(1)知f(x)≥f＝，
所以2|a|≤，即|a|≤，所以－≤a≤，
所以实数a的取值范围是.
[综合题组练]
1．已知函数f(x)＝|x＋1|－|x|＋a.
(1)若a＝0，求不等式f(x)≥0的解集；
(2)若方程f(x)＝x有三个不同的实数解，求实数a的取值范围．
解：(1)当a＝0时，f(x)＝|x＋1|－|x|
＝
所以当x<－1时，f(x)＝－1<0，不合题意；
当－1≤x<0时，f(x)＝2x＋1≥0，解得－≤x<0；
当x≥0时，f(x)＝1>0，符合题意．
综上可得f(x)≥0的解集为.
(2)设u(x)＝|x＋1|－|x|，y＝u(x)的图象和y＝x的图象如图所示．
易知y＝u(x)的图象向下平移1个单位以内(不包括1个单位)，与y＝x的图象始终有3个交点，从而－15－|x＋2|的解集；
(2)若g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)的最小值为4，求实数m的值．
解：(1)因为f(x)>5－|x＋2|可化为|2x－3|＋|x＋2|>5，
所以当x≥时，原不等式化为(2x－3)＋(x＋2)>5，解得x>2，所以x>2；
当－25，解得x<0，所以－25，解得x<－，所以x≤－2.
综上，不等式f(x)>5－|x＋2|的解集为(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(2)因为f(x)＝|2x－3|，
所以g(x)＝f(x＋m)＋f(x－m)＝|2x＋2m－3|＋|2x－2m－3|≥|(2x＋2m－3)－(2x－2m－3)|＝|4m|.
所以依题意有4|m|＝4，解得m＝±1.
3．设函数f(x)＝|2x＋3|＋|x－1|.
(1)解不等式f(x)>4；
(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立，求实数a的取值范围．
解：(1)由已知，得f(x)＝
所以f(x)>4⇔或或⇔x<－2或01.
综上，不等式f(x)>4的解集为(－∞，－2)∪(0，＋∞)．
(2)若存在x∈使不等式a＋1>f(x)成立⇔a＋1>f(x)min，
由(1)得，x∈时，f(x)＝x＋4，f(x)min＝，
所以a＋1>，所以a>，
所以实数a的取值范围为.
4．已知函数f(x)＝|x－2|＋k|x＋1|，k∈R.
(1)当k＝1时，若不等式f(x)<4的解集为{x|x12时，原不等式可化为2x<5，
所以2
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