2021届课标版高考文科数学大一轮复习课件：§2-5 对数与对数函数（讲解部分） 21页

考点一　对数的概念及运算 考点清单 考向基础 1.对数的概念 (1)对数的定义 一般地,如果 a x = N ( a >0且 a ≠ 1),那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数,记作 x =log a N , 其中 a 叫做对数的底数, N 叫做真数. (2)几种常见对数 对数形式 特点 记法 一般对数 底数为 a ( a >0且 a ≠ 1) log a N 常用对数 底数为10 lg N 自然对数 底数为e ln N 性质 log a 1=0;log a a =1   = N ;log a a N = N ( a >0且 a ≠ 1) 换底 公式 log b N =   ( a , b 均大于0且不等于1, N >0) 相关结论:log a b =   ;log a b ·log b c ·log c d = log a d ( a , b , c 均大于0且不等于1, d >0) 运算 法则 条件 a >0且 a ≠ 1, M >0, N >0 结论 log a ( MN )= log a M +log a N log a   = log a M -log a N log a M n = n log a M ( n ∈R) 2.对数的性质、换底公式与运算法则 考向　对数的运算 考向突破 例1    (2018皖西高中教学联盟期末,4)计算log 2 9 × log 3 4+2log 5 10+log 5 0.25=   (　　) A.0　    B.2　    C.4　    D.6 解析　由对数的运算公式和换底公式可得 log 2 9 × log 3 4+2log 5 10+log 5 0.25=2log 2 3 ×   +log 5 (10 2 × 0.25)=4+2=6.故选D. 答案    D 考向基础 1.对数函数的图象与性质 a >1 0< a <1 图象     性质 定义域:(0,+ ∞ ) 值域:R 过点(1,0),即 x =1时, y =0 当 x >1时, y >0;当0< x <1时, y <0 当 x >1时, y <0;当0< x <1时, y >0 是(0,+ ∞ )上的增函数 是(0,+ ∞ )上的减函数 考点二　对数函数的图象与性质 2.反函数 指数函数 y = a x ( a >0,且 a ≠ 1)与对数函数 y =log a x ( a >0且 a ≠ 1)互为反函数,它 们的图象关于直线 y = x 对称.其图象关系如图所示.     由图象可知, a > b >1> c > d , 在第一象限内,从左向右,底数越来越大. 3.比较底数的大小 考向突破 考向一　对数函数图象的应用 例2    (2020届山西运城模拟,7)已知函数 f ( x )=|ln x |满足 f ( a )> f (2- a ),则实数 a 的取值范围是   (　　) A.(0,1)　    B.(1,2)　    C.(2,3)　    D.(1,3) 解析     f ( x )=   画出 f ( x )的大致图象如图, 由图知 f ( x )在(0,1)上单调递减,在(1,+ ∞ )上单调递增.   根据题意可知   ⇒ 0< a <2. ①当0< a <1,2- a >1时,∵ f ( a )> f (2- a ), ∴-ln a >ln(2- a ) ⇒ a (2- a )<1,解得 a ≠ 1 ⇒ 0< a <1; ②当 a =1时, f ( a )= f (2- a ),不符合题意; ③当1< a <2,0<2- a <1时,∵ f ( a )> f (2- a ), ∴ln a >-ln(2- a ) ⇒ a (2- a )>1,无解. 综上, a 的取值范围为(0,1),故选A. 答案    A 例3    (2019陕西西安高新区第一中学模拟,6)已知函数 f ( x )=5-log 3 x , x ∈(3,27], 则 f ( x )的值域是   (　　) A.(2,4]　     B.[2,4) C.[-4,4)　    D.(6,9] 考向二　对数函数性质的应用 解析　因为3< x ≤ 27,所以10的 x 的值组成的集合. (2)先确定 f ( x )>0时对应的 x 的取值范围及此时 f ( x )的取值范围,再根据对数 函数的单调性确定 y =log a f ( x )的值域. 2.与对数函数有关的复合函数的单调性 函数 y =log a f ( x )的单调区间必须保证在 f ( x )>0时相应 x 的取值范围内,这时内 外层函数要注意“同增异减”. 考向一　与对数函数有关复合函数的值域 考向突破 例4    (2018江西一模,15)若函数 f ( x )=log a   ( a >0且 a ≠ 1)的值域为R, 则实数 a 的取值范围是 　　　　　     . 解析　函数 f ( x )=log a   ( a >0且 a ≠ 1)的值域为R,则 x +   -4能取到所有 正数.易知 x >0,∵ x +   ≥ 2   ,∴只需2   -4 ≤ 0,即2   ≤ 4,解得 a ≤ 4. 故实数 a 的取值范围是(0,1) ∪ (1,4]. 答案　(0,1) ∪ (1,4] 考向二　与对数函数有关的复合函数的单调性 例5　函数 f ( x )=log 2 ( x 2 -2 x -3)的单调增区间是 　　　     . 解析　由题意可知 x 2 -2 x -3>0,∴ x >3或 x <-1. 令 u = x 2 -2 x -3,该函数在(- ∞ ,-1)上单调递减,在(3,+ ∞ )上单调递增, 又∵ y =log 2 u 在(0,+ ∞ )上单调递增,∴ y =log 2 ( x 2 -2 x -3)在(- ∞ ,-1)上单调递减, 在(3,+ ∞ )上单调递增,故 f ( x )的单调增区间为(3,+ ∞ ). 答案　(3,+ ∞ ) 例6    (2019山西吕梁第一次模拟,6)已知 a =log 3 5, b =1.5 1.5 , c =ln 2,则 a , b , c 的大 小关系是   (　　) A. c < a < b 　    B. c < b < a 　    C. a < c < b 　    D. a < b < c 考向三　指数式与对数式的大小比较 解析　1< a =log 3 5=   log 3 25<   log 3 27=1.5, b =1.5 1.5 > 1.5, c =ln 2<1,所以 c < a < b , 故选A. 答案    A 方法1 　对数函数的图象及其应用 1.底数与1的大小关系决定了图象的升降, a >1时,图象上升;0< a <1时,图象下 降. 2.设 y 1 =log a x , y 2 =log b x ,其中 a >1, b >1(或0< a <1,0< b <1).当 x >1时,“底大图低”, 即若 a > b ,则 y 1 < y 2 ;当0< x <1时,“底大图高”,即若 a > b ,则 y 1 > y 2 . 3.对一些可通过平移、对称作出其图象的对数函数型问题,在求解其单调 性(单调区间)、值域(最值)、零点时,常利用数形结合法. 方法技巧 例1    (2018广东广州执信中学月考,5)设 a , c 为正数,且3 a =lo   a ,   =9,   =log 3 c ,则   (　　) A. b < a < c 　    B. c < b < a 　    C. c < a < b 　    D. a < b < c 解析　方程的根可以转化为两图象交点的横坐标, a 为 y =3 x 与 y =lo   x 两函 数图象交点的横坐标, c 为 y =   与 y =log 3 x 两函数图象交点的横坐标,易得 b =-2.画出 y =   , y =3 x , y =log 3 x , y =lo   x 的图象,可看出 b < a < c .   答案    A 方法2 　对数函数的性质及其应用 1.比较对数值大小的类型及相应方法   2.研究复合函数 y =log a f ( x )的单调性(最值)时,应先研究其定义域,结合函数 u = f ( x )及 y =log a u 的单调性(最值)确定函数 y =log a f ( x )的单调性(最值)(其中 a > 0且 a ≠ 1). 例2    (2020届河北邯郸模拟,15)已知函数 f ( x )=|log 3 x |,实数 m , n 满足0< m < n ,且 f ( m )= f ( n ),若 f ( x )在[ m 2 , n ]上的最大值为2,则   = 　　　     . 解析　∵ f ( x )=|log 3 x |,正实数 m , n 满足 m < n ,且 f ( m )= f ( n ),∴0< m <1< n ,∴-log 3 m = log 3 n ,∴ mn =1. ∵ f ( x )在区间[ m 2 , n ]上的最大值为2,函数 f ( x )在[ m 2 ,1]上是减函数,在(1, n ]上是 增函数, ∴-log 3 m 2 =2或log 3 n =2. 若-log 3 m 2 =2,则 m =   ,从而 n =3,此时log 3 n =1,满足题意,故   =3 ÷   =9; 若log 3 n =2,则 n =9,从而 m =   ,此时-log 3 m 2 =4,不满足题意. 综上可得   =9. 答案　9