北京市房山区2020届高三第一次模拟检测数学试题 12页

‎ 房山区2020年第一次模拟检测 高三数学 本试卷共4页，150分。考试时长120分钟。考生务必将答案答在答题纸上，在试卷上作答无效。考试结束后，将本试卷和答题纸一并交回。‎ 第一部分 （选择题 共40分）‎ 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。‎ ‎（1）复数 ‎ ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（2）函数的最小正周期为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（3）已知向量，，若与共线，则 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（4）在二项式的展开式中，的系数为 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（5）下列函数中，既是偶函数又在上单调递减的是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（6）某三棱锥的三视图如右图所示，则该三棱锥的体积为 ‎（A） （B）‎ ‎（C） （D）‎ ‎（7）已知函数若，且在上单调递增，则的取值范围是 ‎（A）‎ ‎（B）‎ ‎（C）‎ ‎（D）‎ ‎（8）设是公差为的等差数列，为其前项和，则“”是“，”的 ‎（A）充分而不必要条件 ‎ ‎（B）必要而不充分条件 ‎（C）充分必要条件 ‎（D）既不充分也不必要条件 ‎（9）已知直线：与圆：交于，两点，则使弦长为整数的直线共有 ‎（A）条 ‎（B）条 ‎（C）条 ‎（D）条 ‎（10）党的十八大以来，脱贫工作取得巨大成效，全国农村贫困人口大幅减少．下面的统计图反映了 年我国农村贫困人口和农村贫困发生率的变化情况（注：贫困发生率贫困人数（人）统计人数（人））．根据统计图提供的信息，下列推断不正确的是 ‎（A）年，全国农村贫困人口逐年递减 ‎（B）年，全国农村贫困发生率较上年下降最多的是年 ‎（C）年，全国农村贫困人口数累计减少万 ‎ ‎（D）年，全国各省份的农村贫困发生率都不可能超过 第二部分 （非选择题 共110分）‎ 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分。‎ ‎（11）已知集合，，，则___________．‎ ‎（12）设抛物线经过点，则抛物线的焦点坐标为___________．‎ ‎（13）已知是各项均为正数的等比数列，，，则的通项公式 ；设数列的前项和为，则 ．‎ ‎（14）将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象经过点，则的最小值是 ．‎ ‎（15）如果方程所对应的曲线与函数的图象完全重合，那么对于函数有如下结论：‎ ‎ ①函数在上单调递减； ‎ ‎ ②的图象上的点到坐标原点距离的最小值为；‎ ③函数的值域为；‎ ‎ ④函数有且只有一个零点． ‎ 其中正确结论的序号是 ．‎ 注：本题给出的结论中，有多个符合题目要求。全部选对得5分，不选或有错选得分，其他得3分。‎ 三、解答题共6题，共85分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 在△中，，， ．（补充条件）‎ ‎（Ⅰ）求△的面积；‎ ‎（Ⅱ）求．‎ 从①，②，③这三个条件中任选一个，补充在上面问题中并作答．‎ 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 随着移动互联网的发展，越来越多的人习惯用手机应用程序（简称app）获取新闻资讯．为了解用户对某款新闻类app的满意度，随机调查了名用户，调研结果如下表：（单位：人）‎ 青年人 中年人 老年人 满意 一般 不满意 ‎（Ⅰ）从所有参与调研的人中随机选取人，估计此人“不满意”的概率；‎ ‎（Ⅱ）从参与调研的青年人和中年人中各随机选取人，估计恰有人“满意”的概率；‎ ‎（Ⅲ）现需从参与调研的老年人中选择人作进一步访谈，若在“满意”、“一般”、“不满意”的老年人中各取人，这种抽样是否合理？说明理由．‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 如图，在四棱锥中，平面，，，，，点为棱的中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求证：平面；‎ ‎（Ⅲ）求二面角的余弦值．‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 已知椭圆过，两点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的方程和离心率的大小； ‎ ‎（Ⅱ）设，是轴上不同的两点，若两点的纵坐标互为倒数，直线与椭圆的另一个交点为，直线与椭圆的另一个交点为，判断直线与轴的位置关系，并证明你的结论．‎ ‎（20）（本小题15分）‎ 已知函数．‎ ‎（Ⅰ）求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（Ⅱ）讨论函数的单调性；‎ ‎（Ⅲ）若，设函数，在上的最大值不小于，求 的取值范围．‎ ‎（21）（本小题14分）‎ 在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的和，形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“拓展”．如数列，第次“拓展”后得到数列，，，第次“拓展”后得到数列，，，，．设数列，，经过第次“拓展”后所得数列的项数记为，所有项的和记为．‎ ‎（Ⅰ）求，；‎ ‎（Ⅱ）若，求的最小值；‎ ‎（Ⅲ）是否存在实数，，，使得数列为等比数列？若存在，求，，满足的条件；若不存 在，说明理由．‎ 房山区2020年第一次模拟检测答案 高三数学 一、选择题（每小题4分，共40分）‎ 题号 ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎9‎ ‎10‎ 答案 B C B D A A B D C D 二、填空题（每小题5分，共25分，有两空的第一空3分，第二空2分）‎ ‎（11）‎ ‎（12）‎ ‎（13）；‎ ‎（14）‎ ‎（15）②④（注：只写②或④得3分）‎ 三、解答题（共6小题，共85分）‎ ‎（16）（本小题14分）‎ 解：‎ 选择①‎ ‎（Ⅰ）在△中，因为，，， ‎ 由余弦定理得， ‎ 因为，所以 ‎ 所以． ‎ ‎ ‎ ‎（Ⅱ）在△中，．‎ 所以．‎ 选择②‎ ‎（Ⅰ）因为，，所以 ‎ ‎ 因为，，所以 ‎（Ⅱ）因为，，，‎ 由，得，‎ 解得，‎ 由，解得，‎ 在△中，，‎ 选择③‎ 依题意，为锐角，由得 ‎ 在△中，因为，，，‎ 由余弦定理，得 解得或 ‎（Ⅰ）当时，． ‎ 当时，． ‎ ‎ （Ⅱ）由，，，，得 在中，，‎ ‎（17）（本小题14分）‎ 解：‎ ‎（Ⅰ）从所有参与调研的人共有人，不满意的人数是 记事件为“从所有参与调研的人中随机选取人此人不满意”，则所求概率为 ‎.‎ ‎（Ⅱ）记事件为“从参与调研的青年人中随机选取人，此人满意”，则;‎ 记事件为“从参与调研的中年人中随机选取人，此人满意”，则；‎ 则“从参与调研的青年人和中年人各随机选取人，恰有人满意”的概率为 ‎（Ⅲ）这种抽样不合理。‎ 理由：参与调研的名老年人中不满意的人数为，满意和一般的总人数为，说明满意度之间存在较大差异，所以从三种态度的老年中各取人不合理。合理的抽样方法是采用分层抽样，根据，，的具体数值来确定抽样数值。‎ ‎（18）（本小题14分）‎ 证明：‎ ‎（Ⅰ）取中点，连接，，因为为中点，为中点，‎ 所以，且 又因为，且 所以，且 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 因为平面平面 ‎ 所以平面.‎ ‎（Ⅱ）因为平面，平面 所以 又因为 所以，‎ 又，平面 所以.‎ ‎（Ⅲ）因为平面，平面 所以，又，‎ 以为原点，如图建立空间直角坐标系，‎ ‎ ‎ 所以 已知平面的一个法向量；‎ 设平面的法向量，则 即令，则；‎ 所以平面的一个法向量为 所以 由图可知二面角为锐角，所以二面角的余弦值为.‎ ‎（19）（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）依题意得， 所以椭圆的方程为 ‎ ‎，离心率的大小 ‎ ‎（Ⅱ）因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，‎ ‎ 设，坐标为，，则， ‎ 由，得直线的方程为 ‎ 整理得 或 得交点的纵坐标为 ‎ 同理交点的纵坐标为 ‎ 所以，直线与轴平行 ‎ 解法二：‎ 设直线的方程为，直线的方程为 ‎ 令得，坐标为，同理坐标为 因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 ‎ 整理得或 得交点的纵坐标为 ‎ 同理得 ‎ 所以，直线与轴平行. ‎ 解法三：‎ 设直线的方程为，直线的方程为 令得坐标为，同理坐标为 因为，是轴上不同的两点，两点的纵坐标互为倒数，所以 ‎ 代入椭圆方程得 或 所以 ‎ 得交点的纵坐标为 ‎ 同理得 ‎ 所以，直线与轴平行.‎ ‎（20）（本小题15分）‎ 解：（Ⅰ）‎ 由，，得 曲线在点处的切线方程为 ‎（Ⅱ）定义域为R，‎ 令，解得 若，，在上单调递增；‎ 若，在上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；‎ 若，上，，单调递增，在上，，单调递减，在上，，单调递增；‎ ‎（Ⅲ）若，函数的单调减区间为，单调递增区间为.‎ 当时，即，由（Ⅱ）知，在上单调递增，在上单调递减，‎ 则 当时，即，在和上单调递增，在上单调递减，‎ 在处取得极小值 则，‎ 若，则，即 综上，实数的取值范围为 ‎（21）（本小题14分）‎ 解：（Ⅰ）因原数列有项，经第次拓展后的项数；‎ 经第次拓展后的项数.‎ ‎（Ⅱ）因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加一项，‎ 由数列经第次拓展后的项数为，则经第次拓展后增加的项数为，‎ 所以 所以，‎ 由（Ⅰ）知，‎ 所以，‎ 由，即，解得 所以的最小值为10．‎ ‎（Ⅲ）设第次拓展后数列的各项为 所以 因数列每一次拓展是在原数列的相邻两项中增加这两项的和，‎ 所以 即 所以，‎ 得 由，则 若使为等比数列，则或 所以，，，满足的条件为或者．‎