2015上海市杨浦区中考数学二模试卷及答案 27页

杨浦区 2015-2016 学年度第二学期初三质量调研 数学 2016.04.12 一、选择题 1．下列等式成立的是（　　） A． =±2 B． =π C． D．|a+b|=a+b 2．下列关于 x 的方程一定有实数解的是（　　） A．2x=m B．x2=m C． =m D． =m 3．下列函数中，图象经过第二象限的是（　　） A．y=2x B．y= C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形 D．等腰梯形 5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（　　） 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 4 2 6 3 A．2 B．3 C．8 D．9 6．已知圆 O 是正 n 边形 A1A2…An 的外接圆，半径长为 18，如果弧 A1A2 的长为 π，那么边数 n 为（　　） A．5 B．10 C．36 D．72 　 二、填空题 7．计算： =　　　　　　． 8．写出 的一个有理化因式：　　　　　　． 9．如果关于 x 的方程 mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根，那么实数 m 的值是　　　　　　． 10．函数 y= +x 的定义域是　　　　　　． 11．如果函数 y=x2﹣m 的图象向左平移 2 个单位后经过原点，那么 m=　　　　　　． 12．在分别写有数字﹣1，0，2，3 的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次 抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率 为　　　　　　． 13．在△ABC 中，点 M、N 分别在边 AB、AC 上，且 AM：MB=CN：NA=1：2，如果 ，那么 =　　　　　　（用 表示）． 14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进 13 米时，在铅锤 方向上升了 5 米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度 i=1：m，那么 m=　　　　　　． 15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示 的频率分布直方图（不完整），则图中 m 的值是　　　　　　． 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2．写出一个函数 y= （k≠0），使 它的图象与正方形 OABC 有公共点，这个函数的表达式为　　　　　　． 17．在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 O 为边 AD 的中点，如果以点 O 为圆心，r 为半径的圆与 对角线 BD 所在的直线相切，那么 r 的值是　　　　　　． 18．如图，将平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转到平行四边形 AEFG 的位置，其中点 B、C、D 分别落 在点 E、F、G 处，且点 B、E、D、F 在一直线上，如果点 E 恰好是对角线 BD 的中点，那么 的 值是　　　　　　． 　 三、解答题 19．计算： ． 20．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解． 21．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点 M、N 分别是边 AC、AB 的中点，点 D 是线 段 BM 的中点． （1）求证： ； （2）求∠NCD 的余切值． 22．某山山脚的 M 处到山顶的 N 处有一条长为 600 米的登山路，小李沿此路从 M 走到 N，停留后 再原路返回，期间小李离开 M 处的路程 y 米与离开 M 处的时间 x 分（x＞0）之间的函数关系如图 中折线 OABCD 所示． （1）求上山时 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域： （2）已知小李下山的时间共 26 分钟，其中前 18 分钟内的平均速度与后 8 分钟内的平均速度之比为 2： 3，试求点 C 的纵坐标． 23．已知：如图，在直角梯形纸片 ABCD 中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点 D 的直线翻折，使点 A 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 DF，联结 EF 并展开纸片． （1）求证：四边形 ADEF 为正方形； （2）取线段 AF 的中点 G，联结 GE，当 BG=CD 时，求证：四边形 GBCE 为等腰梯形． 24．已知在直角坐标系中，抛物线 y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与 y 轴交于点 A，顶点为 D，其对称轴交 x 轴于点 B，点 P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧． （1）当 AB=BD 时（如图），求抛物线的表达式； （2）在第（1）小题的条件下，当 DP∥AB 时，求点 P 的坐标； （3）点 G 在对称轴 BD 上，且∠AGB= ∠ABD，求△ABG 的面积． 25．已知：半圆 O 的直径 AB=6，点 C 在半圆 O 上，且 tan∠ABC=2 ，点 D 为弧 AC 上一点，联 结 DC（如图） （1）求 BC 的长； （2）若射线 DC 交射线 AB 于点 M，且△MBC 与△MOC 相似，求 CD 的长； （3）联结 OD，当 OD∥BC 时，作∠DOB 的平分线交线段 DC 于点 N，求 ON 的长． 　 2016 年上海市杨浦区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 　 一、选择题 1．下列等式成立的是（　　） A． =±2 B． =π C． D．|a+b|=a+b 【考点】实数的运算；绝对值． 【专题】推理填空题；实数． 【分析】A：根据求一个数的算术平方根的方法计算即可． B：分别把 、π 化成小数，判断出它们的大小关系即可． C：根据 8=23，可得 = ，据此判断即可． D：①当 a+b 是正有理数时，a+b 的绝对值是它本身 a+b；②当 a+b 是负有理数时，a+b 的绝对值是 它的相反数﹣（a+b）；③当 a+b 是零时，a+b 的绝对值是零． 【解答】解：∵ =2， ∴选项 A 不正确； ∵ ≈3.142857，π≈3.1415927， ∴ ≠π， ∴选项 B 不正确； ∵8=23， ∴ = ， ∴选项 C 正确； 当 a+b 是正有理数时，|a+b|=a+b； 当 a+b 是负有理数时，|a+b|=﹣（a+b）； 当 a+b 是零时，|a+b|=0； ∴选项 D 不正确． 故选：C． 【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运 算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号 的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内 仍然适用． （2）此题还考查了绝对值的含义和应用，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①当 a 是正有 理数时，a 的绝对值是它本身 a；②当 a 是负有理数时，a 的绝对值是它的相反数﹣a；③当 a 是零 时，a 的绝对值是零． 　 2．下列关于 x 的方程一定有实数解的是（　　） A．2x=m B．x2=mC． =m D． =m 【考点】无理方程；一元一次方程的解；根的判别式；分式方程的解． 【分析】根据一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程的解的特点分别对每一项进 行判断即可． 【解答】解：A.2x=m，一定有实数解； B．x2=m，当 m＜0 时，无解； C. =m，当 m=0 或﹣ 时无解； D. =m，当 m＜0 时，无解； 故选 A． 【点评】本题考查了一元一次方程的解、无理方程、一元二次方程和分式方程，关键是灵活运用有 关知识点进行判断． 　 3．下列函数中，图象经过第二象限的是（　　） A．y=2x B．y= C．y=x﹣2 D．y=x2﹣2 【考点】二次函数的性质；一次函数的性质；正比例函数的性质；反比例函数的性质． 【分析】分别根据正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质进行 解答． 【解答】解：A、∵y=2x 的系数 2＞0， ∴函数图象过一三象限，故本选项错误； B、∵y= 中，2＞0， ∴函数图象过一、三象限，故本选项错误； C、在 y=x﹣2 中，k=1＞0，b=﹣2＜0， 则函数过一三四象限，故本选项错误； D、∵y=x2﹣2 开口向上， 对称轴是 y 轴，且函数图象过（0，﹣2）点， 则函数图象过一、二、三、四象限，故本选项正确； 故选 D． 【点评】本题考查了正比例函数的性质、反比例函数的性质、二次函数的性质、一次函数的性质， 关键是根据系数的符号判断图象的位置． 　 4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　） A．正五边形 B．正六边形 C．等腰三角形 D．等腰梯形 【考点】中心对称图形；轴对称图形． 【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求即可． 【解答】解：A、是轴对称图形．不是中心对称图形，故 A 错误； B、是轴对称图形，也是中心对称图形．故 B 正确； C、是轴对称图形，不是中心对称图形．故 C 错误； D、是轴对称图形．不是中心对称图形，故 D 错误． 故选：B． 【点评】本题主要考查的是中心对称图形与轴对称图形，掌握中心对称图形与轴对称图形的特点是 解题的关键． 　 5．某射击选手在一次训练中的成绩如下表所示，该选手训练成绩的中位数是（　　） 成绩（环） 6 7 8 9 10 次数 1 4 2 6 3 A．2 B．3 C．8 D．9 【考点】中位数． 【分析】根据中位数的定义先把这组数据从小到大排列，找出最中间的数或中间两数的平均数即 可． 【解答】解：∵共 16 次射击， ∴中位数是第 8 和第 9 的平均数，分别为 9 环、9 环， ∴中位数为 9 环， 故选：D． 【点评】此题考查了中位数，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的 那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数． 　 6．已知圆 O 是正 n 边形 A1A2…An 的外接圆，半径长为 18，如果弧 A1A2 的长为 π，那么边数 n 为 （　　） A．5 B．10 C．36 D．72 【考点】正多边形和圆． 【分析】设正多边形的中心角的度数是 x，根据弧长公式即可求得 x 的值，然后利用 360 度除以 x 即可得到． 【解答】解：设正多边形的中心角的度数是 x， 根据题意得： =π， 解得：x=10． 则 n= =36． 故选 C． 【点评】本题考查了正多边形的计算以及扇形的弧长公式，正确求得中心角的度数是关键． 　 二、填空题 7．计算： =　﹣1　． 【考点】分式的加减法． 【分析】把原式化为 ﹣ ，再根据同分母的分式相加减进行计算即可． 【解答】解：原式= ﹣ = =﹣1． 故答案为：﹣1． 【点评】本题考查了分式的加减法则，注意：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减． 　 8．写出 的一个有理化因式：　 +b　． 【考点】分母有理化． 【分析】根据这种式子的特点： ﹣b 和 +b 的互为有理化因式解答即可． 【解答】解： 的一个有理化因式： +b； 故答案为： +b． 【点评】本题主要考查分母有理化的方法，分母有理化常常是乘二次根式本身（分母只有一项）或 与原分母组成平方差公式． 　 9．如果关于 x 的方程 mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根，那么实数 m 的值是　4　． 【考点】根的判别式；一元二次方程的定义． 【分析】根据方程mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根，则根的判别式△=b2﹣4ac=0，列出 m 的方程， 求出 m 的值即可． 【解答】解：∵关于 x 的方程 mx2﹣mx+1=0 有两个相等的实数根， ∴△=（﹣m）2﹣4×m=0，且 m≠0， 解得 m=4． 故答案是：4． 【点评】本题考查了根的判别式．一元二次方程根的情况与判别式△的关系： （1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根； （2）△=0⇔方程有两个相等的实数根； （3）△＜0⇔方程没有实数根． 　 10．函数 y= +x 的定义域是　x≠2　． 【考点】函数自变量的取值范围． 【分析】根据分母不等于 0 列式计算即可得解． 【解答】解：由题意得，2﹣x≠0， 解得 x≠2． 故答案为：x≠2． 【点评】本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑： （1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负． 　 11．如果函数 y=x2﹣m 的图象向左平移 2 个单位后经过原点，那么 m=　4　． 【考点】二次函数图象与几何变换． 【专题】几何变换． 【分析】先确定抛物线 y=x2﹣m 的顶点坐标为（0，m），再利用点平移的规律得到把点（0，﹣m） 平移后的对应点的坐标为（﹣2，﹣m），接着利用顶点式写出平移后的抛物线解析式为 y=（x+2） 2﹣m，然后把原点坐标代入可求出 m 的值． 【解答】解：函数 y=x2﹣m 的顶点坐标为（0，m），把点（0，﹣m）向左平移 2 个单位后所得对 应点的坐标为（﹣2，﹣m），所以平移后的抛物线解析式为 y=（x+2）2﹣m， 把点（0，0）代入=（x+2）2﹣m 得 4﹣m=0，解得 m=4． 故答案为 4． 【点评】本题考查了二次函数图象与几何变换：由于抛物线平移后的形状不变，故 a 不变，所以求 平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法：一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待 定系数法求出解析式；二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式． 　 12．在分别写有数字﹣1，0，2，3 的四张卡片中随机抽取一张，放回后再抽取一张，如果以第一次 抽取的数字作为横坐标，第二次抽取的数字作为纵坐标，那么所得点落在第一象限的概率为　 　． 【考点】列表法与树状图法；点的坐标． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与所得点落在第一象限的 情况，再利用概率公式求解即可求得答案． 【解答】解：画树状图得： ∵共有 16 种等可能的结果，所得点落在第一象限的有 4 种情况， ∴所得点落在第一象限的概率为： = ． 故答案为： ． 【点评】此题考查了列表法或树状图法求概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之 比． 　 13．在△ABC 中，点 M、N 分别在边 AB、AC 上，且 AM：MB=CN：NA=1：2，如果 ，那么 =　 ﹣ 　（用 表示）． 【考点】*平面向量． 【分析】首先根据题意画出图形，由 AM：MB=CN：NA=1：2，可表示出 与 ，再利用三角形 法则求解即可求得答案． 【解答】解：∵AM：MB=CN：NA=1：2， ∴AM= AB，AN= AC， ∵ ， ∴ = ， = ， ∴ = ﹣ = ﹣ ． 故答案为： ﹣ ． 【点评】此题考查了平面向量的知识．注意掌握三角形法则的应用是关键． 　 14．某大型超市有斜坡式的自动扶梯，人站在自动扶梯上，沿着斜坡向上方向前进 13 米时，在铅锤 方向上升了 5 米，如果自动扶梯所在的斜坡的坡度 i=1：m，那么 m=　 　． 【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题． 【分析】根据在一个斜面上前进13 米，铅锤方向上升了 5 米，可以计算出此时的水平距离，水平高 度与水平距离的比值即为坡度，从而可以解答本题． 【解答】解：设在自动扶梯上前进 13 米，在铅锤方向上升了 5 米，此时水平距离为 x 米， 根据勾股定理，得 x2+52=132， 解得，x=12（舍去负值）， 故该斜坡坡度 i=5：12=1：m． 所以 m= ． 故答案为：m= ． 【点评】本题考查解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，解题的关键是明确坡度的定义． 　 15．某校为了解本校学生每周阅读课外书籍的时间，对本校全体学生进行了调查，并绘制如图所示 的频率分布直方图（不完整），则图中 m 的值是　0.05　． 【考点】频数（率）分布直方图． 【分析】利用 1 减去其它组的频率即可求得． 【解答】解：m=1﹣0.2﹣0.3﹣0.25﹣0.075=0.05． 故答案是：0.05． 【点评】本题考查了频率分布直方图，了解各组的频率的和是 1 是关键． 　 16．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，正方形 OABC 的边长为 2．写出一个函数 y= （k≠0），使 它的图象与正方形 OABC 有公共点，这个函数的表达式为　y= ，y= （0＜k≤4）（答案不唯一）　． 【考点】反比例函数图象上点的坐标特征． 【专题】开放型． 【分析】先根据正方形的性质得到 B 点坐标为（2，2），然后根据反比例函数图象上点的坐标特征 求出过 B 点的反比例函数解析式即可． 【解答】解：∵正方形 OABC 的边长为 2， ∴B 点坐标为（2，2）， 当函数 y= （k≠0）过 B 点时，k=2×2=4， ∴满足条件的一个反比例函数解析式为 y= ． 故答案为：y= ，y= （0＜k≤4）（答案不唯一）． 【点评】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （k 为常数，k≠0）的图象是 双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k． 　 17．在矩形 ABCD 中，AB=3，AD=4，点 O 为边 AD 的中点，如果以点 O 为圆心，r 为半径的圆与 对角线 BD 所在的直线相切，那么 r 的值是　 　． 【考点】直线与圆的位置关系． 【分析】根据题意画出图形，当以点O 为圆心，r 为半径的圆与对角线 BD 所在的直线相切，再利用 △ODE∽△BDA，求出答案． 【解答】解：如图所示：当以点 O 为圆心，r 为半径的圆与对角线 BD 所在的直线相切， 则 OE⊥BD，且 OE=r， ∵∠OED=∠A=90°， ∠ADE=∠EDO， ∴△ODE∽△BDA， ∴ = ， ∵AB=3，AD=4， ∴BD=5， ∴ = ， 解得：EO= ． 故答案为： ． 【点评】此题主要考查了直线与圆的位置关系以及相似三角形的判定与性质，正确得出 △ODE∽△BDA 是解题关键． 　 18．如图，将平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转到平行四边形 AEFG 的位置，其中点 B、C、D 分别落 在点 E、F、G 处，且点 B、E、D、F 在一直线上，如果点 E 恰好是对角线 BD 的中点，那么 的 值是　 　． 【考点】旋转的性质；平行四边形的性质． 【专题】计算题． 【分析】先利用旋转的性质得∠1=∠2，BE= BD，AB=AE，再证明∠1=∠3，则可判断 △BAE∽△BDA，利用相似比可得 = ，然后证明 AD=BD 即可得到 的值． 【解答】解：∵平行四边形 ABCD 绕点 A 旋转到平行四边形 AEFG 的位置，点 E 恰好是对角线 BD 的中点， ∴∠1=∠2，BE= BD，AB=AE， ∵EF∥AG， ∴∠2=∠3， ∴∠1=∠3， ∵∠ABE=∠DBA， ∴△BAE∽△BDA， ∴AB：BD=BE：AB，∠AEB=∠DAB， ∴AB2= BD2， ∴ = ， ∵AE=AB， ∴∠AEB=∠ABD， ∴∠ABD=∠DAB， ∴DB=DA， ∴ = ． 故答案为 ． 【点评】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹 角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．解决本题的关键是证明△BAE∽△BDA， 　 三、解答题 19．计算： ． 【考点】实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值． 【专题】计算题． 【分析】根据实数的运算顺序，首先计算乘方、开方、乘法，然后从左向右依次计算，求出算式的 值是多少即可． 【解答】解： =1+9+6× ﹣| | =10 ﹣2 =10 【点评】（1）此题主要考查了实数的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：在进行实数运 算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号 的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到有的顺序进行．另外，有理数的运算律在实数范围内 仍然适用． （2）此题还考查了零指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a0=1（a≠0）；②00≠1． （3）此题还考查了负整数指数幂的运算，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①a﹣p= （a≠0，p 为正整数）；②计算负整数指数幂时，一定要根据负整数指数幂的意义计算；③当底数 是分数时，只要把分子、分母颠倒，负指数就可变为正指数． （4）此题还考查了特殊角的三角函数值，要牢记 30°、45°、60°角的各种三角函数值． 　 20．解不等式组： ，并写出它的所有非负整数解． 【考点】解一元一次不等式组；一元一次不等式组的整数解． 【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共部分就是不等式组的解集，然后确定非负整 数解即可． 【解答】解： ， 解①得 x＜2， 解②得 x＞﹣ ． 则不等式组的解集是：﹣ ＜x＜2． 则非负整数解是：0，1． 【点评】本题考查的是一元一次不等式组的解，解此类题目常常要结合数轴来判断．还可以观察不 等式的解，若 x＞较小的数、＜较大的数，那么解集为 x 介于两数之间． 　 21．已知，在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，∠A=30°，点 M、N 分别是边 AC、AB 的中点，点 D 是线 段 BM 的中点． （1）求证： ； （2）求∠NCD 的余切值． 【考点】相似三角形的判定与性质；解直角三角形． 【分析】（1）根据直角三角形的性质即可得到结论； （2）过 M 作 MN⊥AB 于 H，由直角三角形的性质得到 CN=AN= AB，由等腰三角形的性质得到 ∠ACN=∠A=30°，解直角三角形即可得到结论． 【解答】解：（1）∵在 Rt△ABC 中，∠ACB=90°，点 N 分别是边 AB 的中点，点 D 是线段 BM 的中 点， ∴ = ， = ， ∴ ； （2）过 M 作 MN⊥AB 于 H， ∵点 N 分别是边 AB 的中点， ∴CN=AN= AB， ∴∠ACN=∠A=30°， ∴∠NCD=∠MCD﹣30°=∠CMB﹣30°=∠MBA， ∴设 BC=2k，则 MA= k，MH= k，HB=4k﹣ k= k， ∴cos∠NCD= = = ． 【点评】本题考查了相似三角形的判定和性质，解直角三角形，直角三角形的性质，正确的作出辅 助线是解题的关键． 　 22．某山山脚的 M 处到山顶的 N 处有一条长为 600 米的登山路，小李沿此路从 M 走到 N，停留后 再原路返回，期间小李离开 M 处的路程 y 米与离开 M 处的时间 x 分（x＞0）之间的函数关系如图 中折线 OABCD 所示． （1）求上山时 y 关于 x 的函数解析式，并写出定义域： （2）已知小李下山的时间共 26 分钟，其中前 18 分钟内的平均速度与后 8 分钟内的平均速度之比为 2：3，试求点 C 的纵坐标． 【考点】一次函数的应用． 【分析】（1）由 OA 过原点 O，故设上山时 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx，将点 A 的坐标代入函 数解析式得出关于 k 的一元一次方程，解方程即可得出函数解析； （2）根据比例关系设下山前 18 分钟内的平均速度为 2am/min，后 8 分钟内的平均速度为 3am/min， 结合路程=速度×时间，得出关于 a 的一元一次方程，解方程可求出 a 的值，再根据路程=速度×时间 可得出 C 点的纵坐标． 【解答】解：（1）设上山时 y 关于 x 的函数解析式为 y=kx， 根据已知可得：600=20k， 解得：k=30． 故上山时 y 关于 x 的函数解析式为 y=30x（0≤x≤20）． （2）设下山前 18 分钟内的平均速度为 2am/min，后 8 分钟内的平均速度为 3a/min， 由已知得：18×2a+8×3a=600， 解得：a=10． 故 8×3a=8×3×10=240（米）． 答：点 C 的纵坐标为 240． 【点评】本题考查了一次函数的应用、待定系数法求函数解析式以及一元一次方程的应用，解题的 关键是：（1）待定系数法求函数解析式；（2）根据数量关系列出关于 a 的一元一次方程．本题属 于基础题，难度不大，（1）没有难度；（2）巧用比例关系设未知数，解该类型题目时，由数量关 系列出方程（或方程组）是关键． 　 23．已知：如图，在直角梯形纸片 ABCD 中，DC∥AB，AB＞CD＞AD，∠A=90°，将纸片沿过点 D 的直线翻折，使点 A 落在边 CD 上的点 E 处，折痕为 DF，联结 EF 并展开纸片． （1）求证：四边形 ADEF 为正方形； （2）取线段 AF 的中点 G，联结 GE，当 BG=CD 时，求证：四边形 GBCE 为等腰梯形． 【考点】翻折变换（折叠问题）；正方形的判定；等腰梯形的判定． 【分析】（1）由题意知，AD=DE，易证四边形 AFED 是矩形，继而证得四边形 AFED 是正方形； （2）由 BG 与 CD 平行且相等，可得四边形 BCDG 是平行四边形，即证得 CB=DG，在正方形 AFED 中，易证△DAG≌△EFG，则可得 DG=EG=BC，即四边形 GBCE 是等腰梯形． 【解答】（1）证明：∵DC∥AB，∠A=90°， ∴∠ADE=90°， 由折叠的性质可得：∠A=∠DEF=90°，AD=ED，AF=EF， ∵四边形 ADEF 为矩形， ∴四边形 ADEF 为正方形； （2）连接 EG，DG， ∵BG∥CD，且 BG=CD， ∴四边形 BCDG 是平行四边形． ∴CB=DG． ∵四边形 ADEF 是正方形， ∴EF=DA，∠EFG=∠A=90°． ∵G 是 AF 的中点， ∴AG=FG． 在△DAG 和△EFG 中， ， ∴△DAG≌△EFG（SAS）， ∴DG=EG， ∴EG=BC． ∴四边形 GBCE 是等腰梯形． 【点评】此题考查了直角梯形的性质，矩形的判定和性质，全等三角形的判定和性质以及等腰三角 形的判定．注意证得四边形 BCDG 是平行四边形与△DAG≌△EFG 是关键． 　 24．已知在直角坐标系中，抛物线 y=ax2﹣8ax+3（a＜0）与 y 轴交于点 A，顶点为 D，其对称轴交 x 轴于点 B，点 P 在抛物线上，且位于抛物线对称轴的右侧． （1）当 AB=BD 时（如图），求抛物线的表达式； （2）在第（1）小题的条件下，当 DP∥AB 时，求点 P 的坐标； （3）点 G 在对称轴 BD 上，且∠AGB= ∠ABD，求△ABG 的面积． 【考点】二次函数综合题． 【分析】（1）用抛物线的解析式化为顶点式确定顶点坐标，对称轴，利用两点间距离，即可； （2）先确定出直线 AB 解析式，再由 DP∥AB 确定出直线 DP 解析式，利用方程组确定出交点坐标； （3）利用平面坐标系中求三角形面积常用的方法解决，（选用坐标轴或平行于坐标轴的直线上的线 段作为底）． 【解答】解：（1）∵y=ax2﹣8ax+3=a（x﹣4）2+3﹣16a， ∴对称轴为 x=4，B（4，0），A（0，3）， ∴AB=5， ∵AB=BD， ∴BD=5， ∵抛物线的顶点为 D，其对称轴交 x 轴于点 B， ∴3﹣16a=BD=5， ∴a=﹣ ， ∴y= x2+x+3， （2）∵B（4，0），A（0，3）， ∴直线 AB 解析式为 y=﹣ x+3， ∵DP∥AB， 设直线 DP 解析式为 y=﹣ x+b， ∵D（4，5）在直线 DP 上， ∴b=8， ∴直线 DP 解析式为 y=﹣ x+8， 由 ， ∴x1=10，x2=4（舍）， ∴P（10， ）； （3）如图 ①以 B 为圆心，BA 为半径作圆，交 DB 延长线于 G1， ∵BG=AB， ∴∠BAG1=∠BG1A， ∴∠AGB= ∠ABD， ∵AB=5，点 G 在对称轴 BD 上 x=4， ∴G1（4，﹣5）， ∴S△ABG1= ×BG1×AH= ×5×4=10； ②以 A 为圆心，AG1 为半径作圆，交 BD 延长线于 G2， 过点 A 作 AH⊥BD 于 H， ∴HG2=HG1=BH+BG1=8， ∴BG2=11， ∴G2（4，11）， S△ABG2= ×BG2×AH= ×11×4=22； 即：S△ABG=10 或 22， 【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了抛物线的一般形式化成顶点形式的方法，图象交点坐 标的确定，两直线平行的特点，坐标系中确定三角形面积的常用方法，解本题的关键是确定出抛物 线的解析式． 　 25．已知：半圆 O 的直径 AB=6，点 C 在半圆 O 上，且 tan∠ABC=2 ，点 D 为弧 AC 上一点，联 结 DC（如图） （1）求 BC 的长； （2）若射线 DC 交射线 AB 于点 M，且△MBC 与△MOC 相似，求 CD 的长； （3）联结 OD，当 OD∥BC 时，作∠DOB 的平分线交线段 DC 于点 N，求 ON 的长． 【考点】圆的综合题． 【分析】（1）如图 1 中，根据 AB 是直径，得△ABC 是直角三角形，利用勾股定理即可解决问 题． （2）如图 2 中，只要证明△OBC≌△OCD 得 BC=CD，即可解决问题． （3）如图 3 中，延长 ON 交 BC 的延长线于 G，作 GH⊥OB 于 H，先求出 BG，根据 tan∠HBG=2 ，利用勾股定理求出线段 HB、HG，再利用 CG∥DO 得 ，由此即可解决． 【解答】解；（1）如图 1 中，连接 AC， ∵AB 是直径， ∴∠ACB=90°， ∵tan∠ABC=2 ， ∴可以假设 AC=2 k，BC=k， ∵AB=6，AB2=AC2+BC2， ∴36=8k2+k2， ∴k2=4， ∵k＞0， ∴k=2，BC=2． （2）如图 2 中， ∵△MBC 与△MOC 相似， ∴∠MBC=∠MCO， ∵∠MBC+∠OBC=180°，∠MCO+∠OCD=180°， ∴∠OBC=∠OCD， ∵OB=OC=OD， ∴∠OBC=∠OCB=∠OCD=∠ODC， 在△OBC 和△OCD 中， ， ∴△OBC≌△OCD， ∴BC=CD=2． （3）如图 3 中，延长 ON 交 BC 的延长线于 G，作 GH⊥OB 于 H． ∵BC∥OD， ∴∠DOG=∠OGB=∠GOB， ∴BO=BG=3， ∵tan∠HBG= ，设 GH=2 a，HB=a， ∵BG2=GH2+HB2， ∴8a2+a2=9， ∴a2=1， ∵a＞0， ∴a=1，HB=1，GH=2 ，OH=2，OG= =2 ， ∵GC∥DO， ∴ = ， ∴ON= × = ． 【点评】本题考查圆的有关知识、全等三角形的判定和性质、相似三角形的性质、勾股定理等知识， 灵活应用这些知识解决问题是解题的关键，第三个问题的关键是利用平行线分线段成比例定理，属 于中考压轴题．