数学（文）卷·2019届内蒙古赤峰二中高二4月月考（2018-04） 11页

赤峰二中 2016 级高二年下学期 4 月月考 文科数学试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的． 1．已知复数 z＝ 10 3＋i －2i (其中 i 为虚数单位)，则|z|＝ A．3 3 B．3 2 C．2 3 D．2 2 2．设集合 A＝{(x，y)|x2＋y2＝1}，B＝{(x，y)|y＝3x}，则 A∩B 的子集的个数是 A．4 B．3 C．2 D．1 3.为了研究某班学生的脚长 x （单位：厘米）和身高 y （单位：厘米）的关系，从该班随机 抽取 10 名学生，根据测量数据的散点图可以看出 y 与 x 之间有线性相关关系，设其回归直 线方程为 ˆˆ ˆy bx a  ．已知 10 1 225i i x   ， 10 1 1600i i y   ， ˆ 4b  ．该班某学生的脚长为 24， 据此估计其身高为 A 160 B 163 C 166 D 170 [ 4.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米 1534 石， 验得米内夹谷，抽样取米一把，数得 254 粒内夹谷 28 粒，则这批米内夹谷约为（ ） A．134 石 B．169 石 C．338 石 D．1365 石 5. 某 校 从 高 一 年 级 学 生 中 随 机 抽 取 部 分 学 生 , 将 他 们 的 模 块 测 试 成 绩 分 成 6 组 ： [40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]加以统计,得到如图所示的频率分布直方图．已 知高一年级共有学生 600 名,据此估计,该模块测试成绩不少于 60 分的学生人数为( )． A．588 B．480 C．450 D．120 6．已知 1 是 lga 与 lgb 的等比中项，若 a＞1，b＞1，则 ab 有（ ） A．最小值 10 B．最大值 100 C．最大值 10 D．最小值 100 7.设函数 f（x）=sin（ωx+φ）+cos（ωx+φ） 的最小正周期为π，且 f（﹣x）=f（x），则 A . f（x）在 单调递减 B. f（x）在（ ， ）单调递减 C. f（x）在（0， ）单调递增 D .f（x）在（ ， ）单调递增 8．如图所示的程序框图的算法思路源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”．执 行该程序框图，若输入的 a，b 分别为 72，27，则输出的 a  A．18 B．9 C．6 D．3 9. 有 5 支彩笔（除颜色外无差别），颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫.从这 5 支彩笔中任取 2 支不同颜色的彩笔，则取出的 2 支彩笔中含有红色彩笔的概率为 A 4 5 B 3 5 C 2 5 D 1 5 10 圆柱被一个平面截去一部分后与半球(半径为 r)组成一个几何体，该几何体三视图中的正 视图和俯视图如图所示.若该几何体的表面积为 16 + 20 ，则 r=（） A 1 B 8 C 4 D 2 11. 抛物线 xy 122  的焦点为 F，抛物线的弦 AB 经过焦点 F，以 AB 为直径的圆与直线 )0(  ttx 相切于 )6,( tM  ，则线段 AB 的长为（ ） A.12 B. 18 C. 16 D. 24 12．已知曲线 C1：y=ex 上一点 A（x1，y1），曲线 C2：y=1+ln（x﹣m）（m＞0）上一点 B（x2， y2），当 y1=y2 时，对于任意 x1，x2，都有|AB|≥e 恒成立，则 m 的最小值为（ ） A．1 B． C．e﹣1 D．e+1 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 13. 已知实数 x，y 满足 则 z=2x+y 的最大值是 ． 14 如图，在边长为 1 的正方形中，随机撒 1000 粒豆子，有 180 粒落到阴影部分，据此估计 阴影部分的面积为___________. 15．设双曲线   2 2 2 2 1 0 0x y a ,ba b     的左、右顶点分别为 A , B ，点 P 在双曲线上且异于 A , B 两点， O 为坐标原点．若直线 PA 与 PB 的斜率之积为 7 9 ，则双曲线的离心率为________． 16,已知函数 ( )f x 是定义在 R 上的奇函数，当 0x  时， ( ) xf x xe ，给出下列命题： ① 当 0x  时， ( ) xf x xe   ； ② 函数 ( )f x 的单调递减区间是 ( , 1),(1, )   ； ③ 对 1 2,x x R  ，都有 1 2 2| ( ) ( ) |f x f x e   . 其中正确的命题是 （只填序号） 三．解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 （本小题满分 12 分） 记 nS 为等差数列 na 的前 n 项和，已知， 24122  aa . 12111 S (1)求 na 的通项公式；(2)令 21 1   nn n aab ， nn bbbT  ......21 ，若 024  mTn 对 一切  Nn 成立，求实数 m 的最大值. 18．（本小题满分 12 分） 如图，四棱锥 P-ABCD 中，底面 ABCD 为平行四边形， ∠DAB=60°，AB=2AD，M 为 AB 的中点，△PAD 为等边 三角形，且平面 PAD⊥平 ABCD. (1)证明：PM⊥BC； (2)若 PD=1，求点 D 到平面 PAB 的距离. 19．（本小题满分 12 分） 随着资本市场的强势进入，互联共享单车“忽如一夜春风来”，遍布了一二线城市的大街小 巷.为了解共享单车在 A 市的使用情况，某调查机构借助络进行了问卷调查，并从参与调查 的友中抽取了 200 人进行抽样分析，得到表格：（单位：人） 经常使用 偶尔或不用 合计 30 岁及以下 70 30 100 30 岁以上 60 40 100 合计 130 70 200 （1）根据以上数据，能否在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 A 市使用共享单车情 况与年龄有关？ （2）现从所抽取的 30 岁以上的友中利用分层抽样的方法再抽取 5 人. （i）分别求这 5 人中经常使用、偶尔或不用共享单车的人数； （ii）从这 5 人中，再随机选出 2 人赠送一件礼品，求选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共 享单车的概率. 参考公式：        2 2 n ad bcK a b c d a c b d      ，其中 n a b c d    . 参考数据：  2 0P K k 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 20.（本小题满分 12 分） 椭圆 )0(1: 2 2 2 2  ba b y a xC 的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2 ，且与椭圆 12 2 2  yx 有相同离心率． （1）求椭圆C 的方程； （2）若直线 mkxyl : 与椭圆C 交于不同的 BA, 两点，且椭圆C 上存在点Q ，满足 OQOBOA  ，（O 为坐标原点），求实数  取值范围． 21 （本小题满分 12 分） 已知函数 2 2( ) ln , ( ) 3f x x x ax g x x bx      （1）若函数 ( )f x 在 (1, (1))f 处的切线与直线 2 1 0x y   垂直，求实数 a 的值； （2）当 0a  时，若关于 x 的方程 ( ) 2 ( )xg x f x 在区间 1( ,2)2 内有两个不相等的实根， 求实数 b 的取值范围（已知 ln2 0.69 ） 请考生在第 22、23 两题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目.如果多做，则按所做 的第一个题目计分． 22．(本小题满分 10 分) 选修 4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1 的参数方程为 x＝2＋2cosα， y＝2sinα (α为参数)，曲线 C2 的参 数方程为 x＝2cosβ， y＝2＋2sinβ (β为参数)，以 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求曲线 C1 和曲线 C2 的极坐标方程； (2)已知射线 l1：θ＝α(0<α<π 2)，将射线 l1 顺时针旋转π 6 得到射线 l2：θ＝α－π 6 ，且射线 l1 与曲线 C1 交于 O，P 两点，射线 l2 与曲线 C2 交于 O，Q 两点，求|OP|·|OQ|的最大值． 23．（本小题满分 10 分）选修 4—5；不等式选讲 已知函数 2( ) | 2 |f x x a  . （Ⅰ）若 3| |(0) (1) af f a   ，求实数 a 的取值范围； （Ⅱ）对任意| | 1 ( ) 1x f x≤ ， ≤ 恒成立，求实数 a 的值. 赤峰二中 2016 级高二下学期第一次月考 文科数学答案 选择题 1---12 BACBB DABCD DC 13【答案】 10 14【答案】 15. 16 答案. 2,3 17. （12 分）解：(1)∵等差数列 中， ， . ∴ ，解得 . ……………………………2 分 ，……………………………3 分 . ……………………………5 分 (2) ……………………………7 分 ，………9 分 是递增数列， ， ， ∴实数 的最大值为 .……………………………12 分 19 试题解析： （1）由列联表可知， .因为 ， 3 分 所以能在犯错误的概率不超过 0.15 的前提下认为 市使用共享单车情况与年龄有关. 4 分 （2）（i）依题意可知，所抽取的 5 名 30 岁以上的友中，经常使用共享单车的有 （人），偶尔或不用共享单车的有 （人）. 7 分 （ii）设这 5 人中，经常使用共享单车的 3 人分别为 ， ， ；偶尔或不用共享单车的 2 人分别为 ， .则从 5 人中选出 2 人的所有可能结果为 ， ， ， ， ， ， ， ， ， 共 10 种. 9 分 其中没有 1 人经常使用共享单车的可能结果为 共 1 种， 故选出的 2 人中至少有 1 人经常使用共享单车的概率 . 12 分 20.解：（1）由已知可 解得 ． ………………………3 分 所求椭圆 的方程 ． …………………………4 分 （2）建立方程组 消去 ，整理得 ． ． 由于直线直线 与椭圆 交于不同的 两点， ，有 ．① ………………………………6 分 设 ,于是 ， ． ………………………8 分 当 时，易知点 关于原点对称，则 ； 当 时，易知点 不关于原点对称，则 ． 此时， 由 ，得 即 点在椭圆上，∴ ． 化简得 ． ．② 由①②两式可得 ． 综上可得实数 的取值范围是 ． ………………………12 分 21、 ---------------2 分 所 在点 处的切线斜率 ----------------4 分 ----5 分 （2）由 得 因为 ，整理得： -----------------7 分 --8 分所以 当 时， 单调递减， 当 时， 单调递减， 所以在区间 内 -------------10 分 ，所以 所以 ----------------------------12 分 注，结果写成 也正确 22．(1)曲线 C1 的直角坐标方程为(x－2)2＋y2＝4 1 分 所以 C1 的极坐标方程为ρ＝4cosθ 2 分 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4， 3 分 所以 C2 的极坐标方程为ρ＝4sinθ. 4 分 (2)设点 P 的极坐标为(ρ1，α)， 5 分 即ρ1＝4cosα，点 Q 的极坐标为(ρ2，(α－ π 6 ))，即ρ2＝4sin(α－ π 6 )， 6 分 则|OP|·|OQ|＝ρ1ρ2＝4cosα·4sin(α－ π 6 )＝16cosα·( 3 2sinα－ 1 2cosα) ＝8sin(2α－ π 6 )－4.∵α∈(0， π 2 )， 8 分 ∴2α－ π 6 ∈(－ π 6 ， 5π 6 )．当 2α－ π 6 ＝ π 2 ，即α＝ π 3 时，|OP|·|OQ|取最大值 4. 10 （23）（本小题满分 10 分）选修 4-5：不等式选讲 解析：（Ⅰ）当 时， 可转化为 ，该不等式恒成立； 当 时， 可转化为 . 综上可得，实数 的取值范围是 …5 分 （Ⅱ）对任意 恒成立，可得 ，即 ，① 又 ，即 ，② 由①②可知 .验证 时 恒成 立. …10 分