数学文卷·2018届湖北省宜昌市第一中学高二上学期12月月考（2016-12） 7页

宜昌市第一中学高二 12 月月考文科数学试卷 祝考试顺利 时间：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，有且 只有一项符合题目要求.） 1．下列命题中假命题是（ ） .A 0lg,  xRx 3cossin,.  xxRxB xxRxC 21,. 2  02,.  xRxD 2．双曲线 2 2 116 25 x y  的渐近线方程为（ ） .A 5 4y x  5. 4B x y  5. 4C y x 4. 5D y x 3．已知命题 21: xP ,命题 :q 265 xx  ，则 P 是 q 的（ ） .A 充分不必要条件 .B 必要不充分条件 .C 充要条件 .D 既不充分也不必要条件 4．若程序框图如左下图所示，则该程序运行后输出的 k 的值是（ ） .A 4 .B 5 .C 6 .D 7 5．如右上图是一个空间几何体的三视图，则该几何体的表面三角形中为直角三角形的个数 为（ ） .A 2 .B 3 .C 4 .D 5 6．椭圆 1316 22  yx 的左右焦点分别为 21,FF ，一条直线经过 1F 与椭圆交于 BA, 两点，则 2ABF 的周长为（ ） .A 32 16.B 8.C 4.D 7．登山族为了了解某山高 y(km)与气温 x(℃)之间的关系，随机统计了 4 次山高与相应的气 温，并制作了对照表： 气温(℃) 18 13 10 －1 山高(km) 24 34 38 64 由表中数据，得到线性回归方程y ^ ＝－2x＋a ^ (a ^ ∈R)．由此请估计山高为 72 km 处气温的度数 为（ ） .A －10 .B －8 .C －4 .D －6 8．双曲线 125 22  yx 与椭圆 )0(19 2 2 2  ay a x 有相同的焦点，则 a 的值为（ ） .A 2 10.B 4.C 34.D 9．已知圆 C：(x－a)2＋(y－b)2＝1，平面区域Ω： x＋y－7≤0， x－y＋3≥0， y≥0. 若圆心 C∈Ω，且圆 C 与 x 轴相切，则 a2＋b2 的最大值为（ ） .A 5 .B 29 .C 37 .D 49 10．如图，在正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 中， ,M N 分别是 1 1,BC CD 的中点，则下列判断错误的是 （ ） .A MN 与 1CC 垂直 .B MN 与 1 1A B 平行 .C MN 与 BD平行 .D MN 与 AC 垂直 11．设双曲线 2 2 2 2 1 ( 0)x y a ba b     的半焦距为 c，直线 l 过 ( ,0),(0, )a b 两点，已知原点 到直线 l 的距离为 3 4 c ，则此双曲线的离心率为（ ） .A 2 .B 4 或 4 3 .C 2 3 3 .D 2 或 2 3 3 12．给出下列四个结论： ①命题“若 m＞0，则方程 x2＋x－m＝0 有实数根”的逆否命题为“若方程 x2＋x－m＝0 无实根， 则 m≤0”； ②若 p∧q 为假命题，则 p，q 均为假命题； ③若命题 p：∃x0∈R，x20＋x0＋1＜0，则 p ：∀x∈R，x2＋x＋1≥0； ④“a＞2”是“函数 f(x)＝x2－ax－2 在 x∈(－∞，1]上单调递减”的充分不必要条件． 其中正确结论的个数为（ ） .A 0 .B 1 .C 2 .D 3 二、填空题：（本大题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.把答案填写在答题纸上.） 13．在区间[ 1,2] 上任取一个数 x ，则事件“ 1 0x   ”发生的概率为 ； 14．已知直线 .022)1(:,01: 21  ayxalayxl 时当 21 ll  ，则 a = ； 15．某单位 200 名职工的年龄分布情况如左下图，现要用系统抽样法从中抽取 40 名职工作 样本，将全体职工随机按 1～200 编号，并按编号顺序平均分成 40 组 (1～5 号，6～10 号，…， 196～200 号)．若第 5 组抽出的号码为 22，则第 8 组抽出的号码应是__________；若用分层 抽样方法，则 40 岁以下年龄段应抽取__________人； 16．点 P 在正方体 ABCDA1B1C1D1 的面对角线 BC1 上运动，则下列四个命题： ①三棱锥 AD1PC 的体积不变； ②A1P∥平面 ACD1； ③DP⊥BC1； ④平面 PDB1⊥平面 ACD1. 其中正确命题的序号是 ． 三、解答题：（本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17． (本小题满分 12 分） 在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 13, 4, 5, 4AC BC AB AA    ， 点 D 是 AB 的中点. (1)求证： 1AC BC ；(2)求证： 1 / /AC 平面 1CDB ． 18． (本小题满分 12 分） 随着科技的发展，手机已经成为人们不可或缺的交流工具，除了传统的打电话外，手机的功 能越来越强大，人们可以玩游戏、看小说、观电影、逛商城等等，真是“一机在手，天下我 有”，所以，有人把喜欢玩手机的人冠上了名号“低头族”，低头族已经严重影响了人们的生 活，一媒体为调查市民对“低头族”认识，从某社区的 500 名市民中，随机抽取 100 名市民， 按年龄情况进行统计的频率分布表和频率分布直方图如下： (Ⅰ)频率分布表中的①②位置应填什么数？并补全频率分布直方图，再根据频率分布直方图 统计这 500 名志愿者的平均年龄； （Ⅱ）在抽出的 100 名市民中按年龄采用分层抽样的方法抽取 20 名接受采访，再从这 20 名 中选取 2 名担任主要发言人．若这两人从不小于35 岁的人中选取，问恰有一人年龄在  40,45 岁的概率． 19．（本小题满分 12 分） 已知矩形 ABCD 的对角线交于点  2,0P ，边 AB 所在直线的方程为 3 6 0x y   ， 点 1,1 在边 AD 所在的直线上． （1）求矩形 ABCD 的外接圆的方程； （2）已知直线      : 1 2 1 5 4 0l k x k y k k R       ，求出直线l 恒过定点的坐标， 并求过该点矩形 ABCD 的外接圆的最短弦所在直线l 的方程． 20．（本小题满分 12 分） 如图，三棱锥 P ABC 中，BC  平面 PAB ，PA PB AB BC 6    ，点 M ，N 分别 为 ,PB BC 的中点． （I）求证： AM  平面 PBC ； （Ⅱ） E 是线段 AC 上的点，且 AM  平面 PNE ． ①确定点 E 的位置；②求直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值． 21．如图，已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)的离心率为 3 2 ，以椭圆的左顶点 T 为圆心作圆 T： (x＋2)2＋y2＝r2(r>0)，设圆 T 与椭圆 C 交于点 M，N． (1)求椭圆 C 的方程； (2)求TM TN  的最小值，并求此时圆 T 的方程； (3)设点 P 是椭圆 C 上异于 M，N 的任意一点，且直线 MP，NP 分别与 x 轴交于点 R，S， O 为坐标原点．试问：是否存在使 S△POS·S△POR 最大的点 P，若存在，求出点 P 的坐标；若 不存在，说明理由． 22． (本小题满分 10 分） 设 p ： 2 5 4 0x x   ； q ： 2 6 0x x   ，若“ p q ”为真，求实数 x 的取值范围． 宜昌市第一中学高二 12 月月考文科数学试题答案 一、选择题 BABBC BDCCB CD 二、填空题 13. 1 3 ； 14. 11 2  或 ； 15. 37、20；16．①②④ 三、解答题 17.略 18. 解答：（1 ）①：35；②：0.30；平均年龄 33.5 岁。 （2）在第四组 35,40 中选取 6 人，在第五组 40,45 中选取 2 人，概率 P= 3 7 19. 解答：（1）直线 AD 的方程为：3 2 0x y   联立 AB 和 AD 的方程，得 A 的坐标（0，2），点 A 与 P 的距离为 2 2 ，所以 ABCD 外接 圆方程为： 2 2( 2) 8x y   （2）直线      : 1 2 1 5 4 0l k x k y k k R       经过定点（3,2），弦长最短时的直线l 的方程为： 2 7 0x y   ． 20. ②作 EH AB 于 H ，则 EH / /BC ，∴ EH  平面 PAB ，∴ EPH 是直线 PE 与平面 PAB 所成的角.∵ 1AH AB 23   ， π6 = 3PA PAH ， ∴ 2 2PH 6 2 2 6 2 cos 2 73        ，又 1EH BC 23   ， ∴ EH 7tan EPH PH 7    ，即直线 PE 与平面 PAB 所成角的正切值为 7 7 . 21. 解答：(1)由题意知 c a ＝ 3 2 ， a＝2， 解之，得 a＝2，c＝ 3， 由 c2＝a2－b2，得 b＝1，故椭圆 C 的方程为x2 4 ＋y2＝1. (2)点 M 与点 N 关于 x 轴对称，设 M(x1，y1)，N(x1，－y1)， 不妨设 y1>0，由于点 M 在椭圆 C 上， ∴y21＝1－x21 4 ， 由已知 T(－2,0)，则TM  ＝(x1＋2，y1)，TN  ＝(x1＋2，－y1)， ∴TM TN  ＝(x1＋2，y1)·(x1＋2，－y1)＝(x1＋2)2－y21＝(x1＋2)2－ 1－x21 4 ＝5 4 x1＋8 5 2－1 5. 由于－2