2019-2020学年辽宁省庄河市高级中学高二上学期期初考试数学试题（解析版） 15页

‎2019-2020学年辽宁省庄河市高级中学高二上学期期初考试数学试题 一、单选题 ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先解出集合和，再利用交集的运算律可得出.‎ ‎【详解】‎ 因为，，所以，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查集合的交集运算，解题的关键就是将集合都表示出来，考查计算能力，属于基础题。‎ ‎2．若复数，其中为虚数单位，则下列结论正确的是（ ）‎ A．的虚部为 B． C．的共轭复数为 D．为纯虚数 ‎【答案】D ‎【解析】将复数整理为的形式，分别判断四个选项即可得到结果.‎ ‎【详解】‎ 的虚部为，错误；，错误；，错误；‎ ‎，为纯虚数，正确 本题正确选项：‎ ‎【点睛】‎ 本题考查复数的模长、实部与虚部、共轭复数、复数的分类的知识，属于基础题.‎ ‎3．已知=(2,3)，=(3，t)，=1，则=‎ A．-3 B．-2‎ C．2 D．3‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据向量三角形法则求出t，再求出向量的数量积.‎ ‎【详解】‎ 由，，得，则，．故选C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考点为平面向量的数量积，侧重基础知识和基本技能，难度不大．‎ ‎4．已知两直线， .若，则的值为（ ）‎ A．0 B．0或4 C．-1或 D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：分两种情况：一、斜率不存在，即此时满足题意；二、斜率存在即，此时两斜率分别为，，因为两直线平行，所以，解得或(舍)，故选B．‎ ‎【考点】由两直线斜率判断两直线平行．‎ ‎5．已知，则的值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】判断，再计算得到答案.‎ ‎【详解】‎ ‎，故，，‎ 故.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了同角三角函数的基本关系，熟记公式即可，属于基础题型.‎ ‎6．在中，,BC=1,AC=5，则AB=‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.‎ 详解：因为 所以，选A.‎ 点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.‎ ‎7．为得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）‎ A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 ‎【答案】C ‎【解析】先转化为同名三角函数，，设的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.‎ 则由与是同一函数求解.‎ ‎【详解】‎ 因为 所以设的图象向左平移个单位长度得到函数的图象.‎ 所以与是同一函数，‎ 所以，所以.‎ 需将函数的图象向左平移个单位长度.‎ 故选：C ‎【点睛】‎ 本题主要考查图象的变换和诱导公式的应用，还考查了数形结合得思想和理解辨析的能力，属于中档题.‎ ‎8．直线被圆截得的弦长为4，则的最小值是( )‎ A．3 B． C．2 D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】圆心为，半径为，由于所截弦长为，故直线过圆心，将圆心坐标代入直线方程得，即，的几何意义是原点到直线的距离的最小值的平方，故最小值为.所以选.‎ ‎9．在三角形中，若点满足，则与的面积之比为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题目条件所给的向量等式，结合向量的线性运算推断P、Q两点所在位置，比较两个三角形的面积关系 ‎【详解】‎ 因为，所以，即，得点P为线段BC上靠近C点的三等分点，又因为，所以，即，得点Q为线段BC上靠近B点的四等分点，所以，所以与的面积之比为，选择B ‎【点睛】‎ 平面向量的线性运算要注意判断向量是同起点还是收尾相连的关系再使用三角形法则和平行四边形法则进行加减运算，借助向量的数乘运算可以判断向量共线，及向量模长的关系 ‎10．下列函数中，以为周期且在区间(，)单调递增的是 A．f(x)=│cos 2x│ B．f(x)=│sin 2x│‎ C．f(x)=cos│x│ D．f(x)= sin│x│‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查三角函数图象与性质，渗透直观想象、逻辑推理等数学素养．画出各函数图象，即可做出选择．‎ ‎【详解】‎ 因为图象如下图，知其不是周期函数，排除D；因为，周期为，排除C，作出图象，由图象知，其周期为，在区间单调递增，A正确；作出的图象，由图象知，其周期为，在区间单调递减，排除B，故选A．‎ ‎【点睛】‎ 利用二级结论：①函数的周期是函数周期的一半；②不是周期函数；‎ ‎11．已知直三棱柱中，，，，则异面直线与所成角的余弦值为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】如图所示，补成直四棱柱，‎ 则所求角为，‎ 易得，因此，故选C．‎ 平移法是求异面直线所成角的常用方法，其基本思路是通过平移直线，把异面问题化归为共面问题来解决，具体步骤如下：‎ ‎①平移：平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；‎ ‎②认定：证明作出的角就是所求异面直线所成的角；‎ ‎③计算：求该角的值，常利用解三角形；‎ ‎④取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．求异面直线所成的角要特别注意异面直线之间所成角的范围．‎ ‎12．已知是长为2的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，表示出向量，，，得到，进而可求出结果.‎ ‎【详解】‎ 如图，以为轴，的垂直平分线为轴，为坐标原点建立平面直角坐标系，‎ 则，，，设，‎ 所以，，，‎ 所以，‎ ‎，‎ 当时，所求的最小值为.‎ 故选：B ‎【点睛】‎ 本题主要考查求向量数量积的最值，通过建系的方法处理，熟记向量数量积的坐标运算即可，属于常考题型.‎ 二、填空题 ‎13．函数（）的最大值是__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎【解析】【详解】‎ 化简三角函数的解析式，‎ 可得 ‎，‎ 由，可得，‎ 当时，函数取得最大值1．‎ ‎14．是两个平面，是两条直线，有下列四个命题: ‎ 如果，那么 如果，那么 如果，那么 如果，则 其中正确的命题有______ . (填写所有正确命题的编号)‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】根据直线和平面，平面和平面的位置关系依次判断每个选项得到答案.‎ ‎【详解】‎ 如果，那么或相交，（1）错误；‎ 如果，那么，（2）正确；‎ 如果，那么，（3）正确； ‎ 如果，则或，（4）错误；‎ 故答案为：（2）（3）.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了直线和平面，平面和平面的位置关系，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎15．若，则_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】利用诱导公式，化简得，再利用余弦的二倍角公式，即可求解，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 由题意知，所以，所以，‎ 所以 .‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查了三角函数的诱导公式，以及余弦的二倍角公式的应用，其中解答中根据三角函数的诱导公式和余弦的倍角公式，合理化简、运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎16．已知圆锥的顶点为，母线，所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】【详解】‎ 分析：先根据三角形面积公式求出母线长,再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积公式求结果.‎ 详解：因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以，‎ 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为 因此圆锥的侧面积为 三、解答题 ‎17．的内角的对边分别为，已知．‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，面积为2，求．‎ ‎【答案】（1）；（2）2．‎ ‎【解析】试题分析：（1）利用三角形的内角和定理可知，再利用诱导公式化简，利用降幂公式化简，结合，求出；（2）由（1）可知，利用三角形面积公式求出，再利用余弦定理即可求出.‎ 试题解析：（1），∴，∵，‎ ‎∴，∴，∴；‎ ‎（2）由（1）可知，‎ ‎∵，∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎18．在四棱锥中，侧面底面为中点，底面是直角梯形.‎ ‎（1）求证：平面；‎ ‎（2）求证：平面；‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析 ‎【解析】（1）取中点，连接，证明四边形是平行四边形得到答案.‎ ‎（2）取中点，连接，证明，，得到证明.‎ ‎【详解】‎ 取中点，连接，则，，故.‎ 四边形是平行四边形，平面平面 平面.‎ 取中点，连接，易求，.‎ ‎，‎ 又平面平面，平面平面，‎ 平面，平面平面，‎ 又平面 平面.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了线面平行，线面垂直，意在考查学生的空间想象能力和推断能力.‎ ‎19．已知,设. (1)若且时,求的最大值和最小值,以及取得最大值和最小值时x的值; (2)若且时,方程有两个不相等的实数根、,求b的取值范围及的值.‎ ‎【答案】（1）.；（2），.‎ ‎【解析】利用向量的数量积的坐标表示及和差角公式化简已知函数可得，(1)代入,可得,由x的范围可得,从而找出最值及取最值的条件；(2)代入,可得,结合该函数在区间的图象把方程的根转化为函数图象的交点问题 ‎【详解】‎ ‎ (1)， 当即.  (2) ， ， 当有两不等的根,结合函数的图象可得或 ;‎ ‎【点睛】‎ 本题以向量的数量积为切入点,实际考查三角函数的图象与性质,也体现了数形结合思想在解题中运用 ‎20．某市电力部门在抗雪教灾的某项重建工程，需要在两地之间架设高压电线，因地理条件限制，不能直接测量两地距离.现测量人员在相距的两地(假设在同一平面上)，测得，，(如图)，假如考虑到电线的自然下垂和施工损耗等原因，实际所须电线长度大约应该是距离的倍，问施工单位至少应该准备多长的电线？‎ ‎【答案】施工单位应该准备电线长 ‎【解析】计算，根据正弦定理得到，在中，由余弦定理得到，得到答案.‎ ‎【详解】‎ 在中，由已知可得，，所以，‎ 在中，由己知可得，，.‎ 由正弦定理，，.‎ 在中，由余弦定理：‎ ‎.‎ 所以，施工单位应该准备电线长.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了正弦定理余弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎21．如图所示，已知⊙O的半径是1，点C在直径AB的延长线上，BC=1，点P是⊙O上半圆上的一个动点，以PC为边作等边三角形PCD，且点D与圆心分别在PC的两侧．‎ ‎(1)若∠POB=θ，试将四边形OPDC的面积y表示为关于θ的函数；‎ ‎(2)求四边形OPDC面积的最大值．‎ ‎【答案】(1) (2) 2+‎ ‎【解析】试题分析：（1）第（1）问，先利用余弦定理求出再利用分割的方法求四边形OPDC的面积表达式. (2)第（2）问，利用三角函数的图像和性质求函数y的最大值. ‎ 试题解析:‎ ‎ (1)在△POC中，由余弦定理得PC2=OP2+OC2—2OP·OC·cosθ=5—4cosθ.‎ 所以y=S△OPC+S△PCD.‎ ‎ (2)当，即时ymax=2+.‎ 答：四边形OPDC面积的最大值为2+.‎ ‎22．已知函数，，最小值为.‎ ‎（1）求当时，求的值；‎ ‎（2）求的表达式；‎ ‎（3）当时，要使关于t的方程有一个实数根，求实数k的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）（3）‎ ‎【解析】（1）直接代入计算得解；（2）先求出，再对t分三种情况讨论，结合二次函数求出的表达式；（3）令，即有一个实数根，利用一次函数性质分析得解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）当时，，所以. ‎ ‎（2）因为，所以，所以 ‎（）‎ 当时，则当时，‎ 当时，则当时，‎ 当时，则当时，‎ 故 ‎（3）当时，，令即 欲使有一个实根，则只需或 ‎ 解得或.‎ 所以的范围：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查三角函数的范围的计算，考查二次函数的最值的求法和方程的零点问题，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力，属于中档题.‎