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- 2024-03-23 发布
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（时间：40分钟 满分：75分）
一、 选择题（每小题5分，共30分）
1．若正数a, b满足3a+4b=ab，则a+b的最小值为（ ）
A．6+2 B．7+2 C．7+4 D．7－4
【解析】∵正实数满足，
∴，当且仅当，
即时，取等号，故选C．
2．若实数a，b满足＋＝，则ab的最小值为( )
A. B．2
C．2 D．4
【解析】 由＋＝知a>0，b>0，所以＝＋≥2，即ab≥2，
当且仅当即a＝，b＝2时取“＝”，所以ab的最小值为2.
【答案】 C
3．若a＞0，b＞0，且ln(a＋b)＝0，则＋的最小值是( )
A. B．1 C．4 D．8
4．若lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，则xy的最小值为( )
A．1 B． 2
C．3 D．4
【解析】 由lg(3x)＋lg y＝lg(x＋y＋1)，得
因为 x>0，y>0，所以 3xy＝x＋y＋1≥2＋1，所以 3xy－2－1≥0，
即 3()2－2－1≥0，所以(3＋1)(－1)≥0，
所以≥1，所以 xy≥1，当且仅当 x＝y＝1 时，等号成立，
所以 xy 的最小值为1.
【答案】 A
5．已知，且，则使得取得最小值的分别是（ ）
A．2，2 B． C． D．
【解析】由题可知：由基本不等式知，，等号成立的条件，因此本题将代入，得出，等号成立的条件是，解得
6．若不等式(x＋y)≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为( )
A．2 B．4 C．9 D．16
二、填空题（每小题5分，共15分）
7．若直线始终平分圆的周长，则的最小值为 ．
【解析】由题意可知，圆心在直线上，所以，
又．
8．若2x＋4y＝4，则x＋2y的最大值是________．
【解析】 因为4＝2x＋4y＝2x＋22y≥2＝2，所以2x＋2y≤4＝22，
即x＋2y≤2，当且仅当2x＝22y＝2，即x＝2y＝1时，等号成立，即x＋2y的最大值为2.
【答案】 2
9．已知f(x)＝log2(x－2)，若实数m，n满足f(m)＋f(2n)＝3，则m＋n的最小值为__________．
三、解答题（每小题10分，共30分）
10．在三角形ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为且
（1）求∠A；
（2）若，求的取值范围.
解析：（1）由余弦定理有
，
（2）方法一：且，
，，（当且仅当时取等号）
方法二、由正弦定理
=
因为，所以
所以即.
11．已知a，b，c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3，求使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围．
12.已知函数f(x)＝lg x(x∈R＋)，若x1，x2∈R＋，判断[f(x1)＋f(x2)]与f的大小并加以证明．
【解析】 [f(x1)＋f(x2)]≤f.
证明：f(x1)＋f(x2)＝lg x1＋lg x2＝lg(x1·x2)，f＝lg.
∵x1，x2∈R＋，∴≥ ，∴lg≤lg，
即lg(x1·x2)≤lg，∴(lg x1＋lg x2)≤lg.
故[f(x1)＋f(x2)]≤f.
