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- 2024-03-23 发布
第二十四章 24.1.3弧、弦、圆心角
知识点1：圆心角
1.圆心角的顶点是圆心,圆心角的两边通常是圆的两条半径.如图中,∠AOB就是一个圆心角.
2.注意:一个角要成为圆心角,必须具备顶点在圆心这一特征.
3.圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.
知识点2：弧、弦、圆心角之间的关系
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理:在同圆或等圆中,相等的圆心角所对的弧相等,所对的弦相等,所对弦的弦心距也相等.
弧、弦、弦心距、圆心角之间的关系定理的推论:在同圆或等圆中,如果两个圆心角、两条弧、两条弦或两条弦的弦心距中有一组量相等,那么它们所对应的其余各组量都分别相等.
关键提醒:(1)运用本知识点时,应注意其成立的条件“同圆或等圆中”和“所对应的”两词的含义;
(2)由“弦相等”推出“弧相等”时,这里的“弧相等”指的是对应的劣弧与劣弧相等、优弧与优弧相等;
(3)运用本知识点可证明同圆或等圆中弧相等、角相等以及线段相等;
(4)圆心角的度数等于它所对弧的度数;
(5)上述关系中所说的圆心角一般指小于平角的角,因此它所对的弧是劣弧.
考点1：利用圆心角证明问题
【例1】 如图,A、B是☉O上的两点,∠AOB=120°,点D为劣弧AB的中点.求证:四边形AOBD是菱形.
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证明:连接OD.因为D是劣弧AB的中点,所以=,因为∠AOB=120°,所以∠AOD=∠DOB=60°,又因为OA=OD=OB,所以△AOD和△DOB都是等边三角形,所以AD=AO=OB=BD,所以四边形AOBD是菱形.
点拨：要证四边形AOBD是菱形,关键是要用好“点D为劣弧AB的中点”这个条件,由弧等证角等,从而得出∠AOD=∠DOB=60°.
考点2：利用弧、弦、圆心角之间的关系解决实际问题
【例2】 如图所示,AB、CD是☉O的两条直径,CE∥AB,求证:=.
解:连接OE.∵ OE=OC,∴ ∠C=∠E.
∵ CE∥AB,∴ ∠C=∠BOC,∠E=∠AOE.
∴ ∠BOC=∠AOE.∴ =.
点拨:要证明=,由在同圆或等圆中的圆心角相等所对的弧相等可知,只要证明两条弧所对的圆心角相等即∠BOC=∠AOE,问题便得以解决.
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