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- 2024-03-22 发布
西藏民族学院附中2017年4月检测考试
高三数学（理）试卷
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合，，则集合（ ）
A． B． C． D．
2．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）
A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,53
3．在中，，，，则角等于（ ）
A． B．或 C． D．或
4．已知：，：，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：
根据上表可得回归本线方程，其中，，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（ ）
A．9.05万元 B．9.25万元 C．9.75万元 D．10.25万元
6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（ ）
A． B． C． D．
7．设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．在区间和上分别各取一个数，记为和，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）
A． B． C． D．
9．已知函数（），且，则函数的一个零点是（ ）
A． B． C． D．
10．椭圆（）的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该段的中点，则椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
11．已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
12．定义区间、、、的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度为，用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用，，分别表示不等式、方程、不等式
解集的长度，则当时，有（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．袋中有形状、大小都相同的6只球，其中1只白球，2只红球，3只黄球，从中随机先后摸出2只球，在已知摸出第一只球为白球的情况下，第二只球为黄球的概率为 ．
14．若定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递减，则将，，从小到大顺序排列为 ．
15．若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则 ．
16．设，，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为 ．
三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，并经过点，求此抛物线的方程.
（Ⅱ）已知圆：（），把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆.求椭圆方程，并证明椭圆离心率是与无关的常数.
18．已知四边形为矩形，，，、分别是线段、的中点，面.
（Ⅰ）求证：；
（Ⅱ）设点在上，且面，试确定点的位置.
19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组
，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数（精确到0.1）.
（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出三名学生成绩，设取自第一组的个数为，求的分布列，期望及方差.
20．如图，正三棱柱所有棱长都是2，是棱的中点，是棱的中点，交于点.
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求二面角的余弦值；
（Ⅲ）求与平面所成的角的正弦值.
21．已知圆锥双曲线：.
（Ⅰ）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于，两点，求的取值范围；
（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值.
22．设，，函数，.
（Ⅰ）若与有公共点，且在点处切线相同，求该切线方程；
（Ⅱ）若函数有极值但无零点，求实数的取值范围；
（Ⅲ）当，时，求在区间的最小值.
数学（理科）试卷
参考答案
一、选择题
1-5:DADCB 6-10:CCBDD 11、12：CC
二、填空题
13． 14． 15． 16．4
三、解答题
17．解：（Ⅰ）依题意，若焦点在轴，设抛物线的方程为（）
将代入，，得，此时方程为：
若焦点在轴，设抛物线的方程为（）
将代入，，得，此时方程为：
所以，所求抛物线的方程为或
（Ⅱ）设是圆：上任一点，则为所求椭圆上经过变换后的对应点，
则有，即代入圆的方程得：.
故所求的椭圆方程为：.
又椭圆的长半轴的长为，半焦距为，故离心率与无关.
18．解：（Ⅰ）连接，在矩形中，
，，点是的中点，
，，
即，
又面，，
又，面，
面，
（Ⅱ）过作交于，则面，且，
过作交于，则面且，
面面，则面，
从而点满足，及点的位置在上靠近点处的四等分点.
19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为：
中位数为：
（Ⅱ）第一组人数为人，第五组人数为人，故第一和第五组总共7名学生成绩.的可能取值为0,1,2,3.则
所以的分布列为：
所以.
20．解：（Ⅰ）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，
，
，，即，，
面
（Ⅱ）由（Ⅰ）可知即为面的一个法向量.
设面的法向量为则有得
取，
由图可知二面角为锐二面角，它的余弦值为
（Ⅲ），平面的法向量取
则到平面的距离
设与平面所成的角为，则
21．解：（Ⅰ）设，，联立方程组；
（）
从而有：为所求.
（Ⅱ），
整理得或，
注意到，所以，故直线的方程为
设，由已知，
又，，所以.
在曲线上，得
但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以为所求.
22．解：（Ⅰ）由得
；
在点的切线方程为，即.
（Ⅱ）当时，由恒成立，可知函数在定义域单调递增，此时无极值.
当时，由得；由得；得.
于是，为极大值点，且.
由于函数无零点，因此，解得
（Ⅲ）不妨设得.
设，，
设的两根为，；且，由得，且.
.
时；
时；
时.
在递增，递减.
①当时，即解得时，，在递减；
.
②当时，即解得时，，在递增；
.
③当时，即时，在递增，递减；
.
（i）当时，，
.
（ii）当时，，
.
综合①、②、③得在区间的最小值；
.