数学（理）卷·2017届陕西省西藏民族学院附属中学高三4月月考（2017 10页

西藏民族学院附中2017年4月检测考试 高三数学（理）试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则集合（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．对某商店一个月30天内每天的顾客人数进行了统计，得到样本的茎叶图（如图所示），则该样本的中位数、众数、极差分别是（ ）‎ A．46,45,56 B．46,45,53 C．47,45,56 D．45,47,53‎ ‎3．在中，，，，则角等于（ ）‎ A． B．或 C． D．或 ‎4．已知：，：，则是的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．为了解某公司员工的年收入和年支出的关系，随机调查了5名员工，得到如下统计数据表：‎ 根据上表可得回归本线方程，其中，，据此估计，该公司一名员工年收入为15万元时支出为（ ）‎ A．9.05万元 B．9.25万元 C．9.75万元 D．10.25万元 ‎6．某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎7．设函数，，若数列是单调递减数列，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．在区间和上分别各取一个数，记为和，则方程表示焦点在轴上的椭圆的概率是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．已知函数（），且，则函数的一个零点是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．椭圆（）的一个焦点为，若椭圆上存在一个点，满足以椭圆短轴为直径的圆与线段相切于该段的中点，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．已知点，，在圆上运动，且.若点的坐标为，则的取值范围为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．定义区间、、、的长度均为，多个区间并集的长度为各区间长度之和，例如，的长度为，用表示不超过的最大整数，记，其中.设，，若用，，分别表示不等式、方程、不等式 解集的长度，则当时，有（ ）‎ A．，， B．，，‎ C．，， D．，，‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．袋中有形状、大小都相同的6只球，其中1只白球，2只红球，3只黄球，从中随机先后摸出2只球，在已知摸出第一只球为白球的情况下，第二只球为黄球的概率为 ．‎ ‎14．若定义在上的偶函数满足，且在区间上单调递减，则将，，从小到大顺序排列为 ．‎ ‎15．若不等式组，所表示的平面区域被直线分为面积相等的两部分，则 ．‎ ‎16．设，，…是各项均不为零的（）项等差数列，且公差，若将此数列删去某一项后得到的数列（按原来的顺序）是等比数列，则所有可能满足条件的值为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．（Ⅰ）抛物线的顶点在原点，坐标轴为对称轴，并经过点，求此抛物线的方程.‎ ‎（Ⅱ）已知圆：（），把圆上的各点纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍得一椭圆.求椭圆方程，并证明椭圆离心率是与无关的常数.‎ ‎18．已知四边形为矩形，，，、分别是线段、的中点，面.‎ ‎（Ⅰ）求证：；‎ ‎（Ⅱ）设点在上，且面，试确定点的位置.‎ ‎19．某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组：第一组，第二组，…，第五组 ‎，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.‎ ‎（Ⅰ）根据频率分布直方图，估计这50名学生百米测试成绩的中位数和平均数（精确到0.1）.‎ ‎（Ⅱ）若从第一、五组中随机取出三名学生成绩，设取自第一组的个数为，求的分布列，期望及方差.‎ ‎20．如图，正三棱柱所有棱长都是2，是棱的中点，是棱的中点，交于点.‎ ‎（Ⅰ）求证：平面；‎ ‎（Ⅱ）求二面角的余弦值；‎ ‎（Ⅲ）求与平面所成的角的正弦值.‎ ‎21．已知圆锥双曲线：.‎ ‎（Ⅰ）设曲线表示曲线的轴左边部分，若直线与曲线相交于，两点，求的取值范围；‎ ‎（Ⅱ）在条件（Ⅰ）下，如果，且曲线上存在点，使，求的值.‎ ‎22．设，，函数，.‎ ‎（Ⅰ）若与有公共点，且在点处切线相同，求该切线方程；‎ ‎（Ⅱ）若函数有极值但无零点，求实数的取值范围；‎ ‎（Ⅲ）当，时，求在区间的最小值.‎ 数学（理科）试卷 参考答案 一、选择题 ‎1-5:DADCB 6-10:CCBDD 11、12：CC 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．4‎ 三、解答题 ‎17．解：（Ⅰ）依题意，若焦点在轴，设抛物线的方程为（）‎ 将代入，，得，此时方程为：‎ 若焦点在轴，设抛物线的方程为（）‎ 将代入，，得，此时方程为：‎ 所以，所求抛物线的方程为或 ‎（Ⅱ）设是圆：上任一点，则为所求椭圆上经过变换后的对应点，‎ 则有，即代入圆的方程得：.‎ 故所求的椭圆方程为：.‎ 又椭圆的长半轴的长为，半焦距为，故离心率与无关.‎ ‎18．解：（Ⅰ）连接，在矩形中，‎ ‎，，点是的中点，‎ ‎，，‎ 即，‎ 又面，，‎ 又，面，‎ 面，‎ ‎（Ⅱ）过作交于，则面，且，‎ 过作交于，则面且，‎ 面面，则面，‎ 从而点满足，及点的位置在上靠近点处的四等分点.‎ ‎19．解：（Ⅰ）由频率分布直方图知，百米测试成绩的平均值为：‎ 中位数为：‎ ‎（Ⅱ）第一组人数为人，第五组人数为人，故第一和第五组总共7名学生成绩.的可能取值为0,1,2,3.则 ‎ ‎ ‎ ‎ 所以的分布列为：‎ 所以.‎ ‎20．解：（Ⅰ）以为原点，为轴正半轴，为轴正半轴建立如图所示空间直角坐标系，则，，‎ ‎，‎ ‎，，即，，‎ 面 ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）可知即为面的一个法向量.‎ 设面的法向量为则有得 取，‎ 由图可知二面角为锐二面角，它的余弦值为 ‎（Ⅲ），平面的法向量取 则到平面的距离 设与平面所成的角为，则 ‎21．解：（Ⅰ）设，，联立方程组；‎ ‎（）‎ 从而有：为所求.‎ ‎（Ⅱ），‎ 整理得或，‎ 注意到，所以，故直线的方程为 设，由已知，‎ 又，，所以.‎ 在曲线上，得 但当时，所得的点在双曲线的右支上，不合题意，所以为所求.‎ ‎22．解：（Ⅰ）由得 ‎；‎ 在点的切线方程为，即.‎ ‎（Ⅱ）当时，由恒成立，可知函数在定义域单调递增，此时无极值.‎ 当时，由得；由得；得.‎ 于是，为极大值点，且.‎ 由于函数无零点，因此，解得 ‎（Ⅲ）不妨设得.‎ 设，，‎ 设的两根为，；且，由得，且.‎ ‎.‎ 时；‎ 时；‎ 时.‎ 在递增，递减.‎ ‎①当时，即解得时，，在递减；‎ ‎.‎ ‎②当时，即解得时，，在递增；‎ ‎.‎ ‎③当时，即时，在递增，递减；‎ ‎.‎ ‎（i）当时，，‎ ‎.‎ ‎（ii）当时，，‎ ‎.‎ 综合①、②、③得在区间的最小值；‎ ‎.‎