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- 2024-03-22 发布
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文科数学试题
考试时间：120分钟
一、选择题(本大题共60分)
1. 设，则（ ）
A. B. C. D.
2．设a∈R，则“a＝1”是“直线l1：ax＋2y－1＝0与直线l2：x＋(a＋1)y＋4＝0平行”的( )
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3. 已知是假命题，则（ ）
A．与都是假命题 B．与都是真命题
C．与中至少有一个真命题 D．与中至少有一个假命题
4. 渐近线方程为x±y=0的双曲线的离心率是（ ）
A． B．1 C． D．2
5.点是抛物线：上一点，若到的焦点的距离为8，则（ ）
A. B. C. D.
6. 直线3x+4y-3=0与圆的位置关系是 ( )
A．相交 B．相离 C．相切 D．无法判定.
7. 位于德国东部萨克森州的莱科勃克桥（如图所示）有“仙境之桥”之称，它的桥形可近似地看成抛物线，该桥的高度为，跨径为，则桥形对应的抛物线的焦点到准线的距离为（ ）
A. B. C. D.
8.若双曲线－＝1（a>0，b>0)的离心率为，一个焦点到渐进线的距离为1，则双曲线的方程为（ ）
A． B． C． D．
9. 已知双曲线－＝1（a>0，b>0）的离心率为，则椭圆＋＝1的离心率为（ ）
A． B． C． D．
10. 以椭圆＋＝1的右焦点为圆心，且与双曲线－＝1的渐近线相切的圆的方程是( )
A．x2＋y2－10x-9＝0 B．x2＋y2－10x+9＝0
C..x2＋y2＋10x＋9＝0 D．x2＋y2＋10x－9＝0
11. 已知直线是圆的对称轴.过点作圆的一条切线,切点为,则( )
A.2 B. C.6 D.
12. 若直线y＝2x与双曲线－＝1(a>0，b>0)有公共点，则双曲线的离心率的取值范围为( )
A．(1，) B．(，＋∞) C．(1，] D．[，＋∞)
二、填空题(本题共20分)
13. 若变量满足约束条件 则的最大值是 .
14.中心在原点，焦点在x轴上，若长轴长为18，且两个焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的方程是__________．
15. 已知两条平行直线和之间的距离等于，则实数的值为________．
16.若点O和点F分别为椭圆＋＝1的中心和左焦点，点P为椭圆上的任意一点，则·的最大值为________．
三、解答题（本大题共6小题，共70分。解答需写出必要的文字说明、推理过程或计算步骤）
17.（10分）已知复数（，是虚数单位）.
（1）若是纯虚数，求的值；
（2）设是的共轭复数，复数在复平面上对应的点在第四象限，求的取值范围.
18. (12分)过点引圆的切线，求切线方程.
19.(12分) 已知椭圆＋＝1(a>b>0)的离心率为，且a2＝2b.
(1)求椭圆的方程；
(2)若直线l：x－y＋m＝0与椭圆交于A、B两点，且线段AB的中点在圆x2＋y2＝1上，求m的值．
20.（12分）已知抛物线的顶点为,准线方程为
（1）求抛物线方程；
（2）过点且斜率为的直线与抛物线交于两点，求的面积。
21.（12分）已知双曲线两个焦点分别是，点在双曲线上.
（1）求双曲线的标准方程;
（2）过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线与双曲线交于两点，求的周长.
22.（12分）设椭圆的上顶点为A，右顶点为B，离心率为，．
（1）求椭圆的方程；
（2）不经过点A的直线与椭圆交于M、N两点，若以MN为直径的圆经过点A，求证：直线过定点，并求出该定点的坐标．
选择 CACCCBAADBCB
填空 9 ＋＝1 .或 6
17.(1）z＝＝
＝1－2m＋(2m＋1)i．
因为z是纯虚数，所以1－2m＝0且2m＋1≠0，
解得m＝．
（2）因为是z的共轭复数，所以＝1－2m－(2m＋1)i．
所以＋2z＝1－2m－(2m＋1)i＋2[1－2m＋(2m＋1)i]
＝3－6m＋(2m＋1)i．
因为复数＋2z在复平面上对应的点在第一象限，
所以
解得－＜m＜，即实数m的取值范围为(－，)．
18.①当切线斜率存在时，设切线的方程为：
即：由 =2得， ∴切线方程：
②当切线斜率不存在时，切线的方程为：
19. 解：(1)由题意得 解得
故椭圆的方程为x2＋＝1.
(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，线段AB的中点为M(x0，y0)．
联立直线与椭圆的方程得
即3x2＋2mx＋m2－2＝0，
Δ＝(2m)2－12(m2－2)＞0，－＜m＜，
所以x0＝＝－，y0＝x0＋m＝，
即M，又因为M点在圆x2＋y2＝5上，
所以＋＝1，解得m＝±.
20.解（1）的准线，，
（2）设直线方程为，则，
，
=
21.（1），轴且
又，即，解得：
双曲线的标准方程为：
（2）由（1）知，双曲线渐近线为，倾斜角为
直线过且倾斜角为均在双曲线的右支上
，
设直线方程为：
代入双曲线方程得：
的周长为：
22.（1）设椭圆的焦距为2c，由已知得，又由，可得．
由从而，．
所以，椭圆的方程为．
（2），
，即，
，，
，设，，
，
，
因为以MN为直径的圆经过点A，所以，
则，
即，整理得，
解得或，
又直线l不经过，所以，故，则直线l过定点．
