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- 2024-03-21 发布
课时分层训练(二十)
两角和与差及二倍角的三角函数
(对应学生用书第206页)
A组 基础达标
(建议用时：30分钟)
一、选择题
1．已知sin 2α＝，则cos2等于( )
A． B．
C． D．
A [因为cos2＝
＝＝＝＝，故选A．]
2．(2018·临沂模拟)在△ABC中，若cos A＝，tan(A－B)＝－，则tan B＝( )
A． B．
C．2 D．3
C [由cos A＝得sin A＝，所以tan A＝.
从而tan B＝tan[A－(A－B)]＝＝＝2.]
3．(2017·杭州二次质检)函数f(x)＝3sin cos ＋4cos2(x∈R)的最大值等于( ) 【导学号：00090106】
A．5 B．
C． D．2
B [由题意知f(x)＝sin x＋4×＝sin x＋2cos x＋2≤＋2＝，故选B．]
4．(2018·福州模拟)若sin＝，则cos＋2α＝( )
A．－ B．－
C． D．
A [cos＝cos
＝－cos＝－
＝－＝－.]
5．定义运算＝ad－bc．若cos α＝，＝，0＜β＜α＜，则β等于( )
A． B．
C． D．
D [依题意有sin αcos β－cos αsin β＝sin(α－β)＝，又0＜β＜α＜，∴0＜α－β＜，
故cos(α－β)＝＝，
而cos α＝，∴sin α＝，
于是sin β＝sin[α－(α－β)]
＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)
＝×－×＝.
故β＝.]
二、填空题
6. ________.
[＝
＝＝＝.]
7．(2017·全国卷Ⅰ)已知α∈，tan α＝2，则cos＝________.
[cos＝cos αcos ＋sin αsin
＝(cos α＋sin α)．
又由α∈，tan α＝2，知sin α＝，cos α＝，
∴cos＝×＝.]
8．(2018·哈尔滨模拟)已知0＜θ＜π，tanθ＋＝，那么sin θ＋cos θ＝________.
【导学号：00090107】
－ [由tan＝＝，解得tan θ＝－，即＝－，∴cos θ＝－sin θ，
∴sin2θ＋cos2θ＝sin2θ＋sin2θ＝sin2θ＝1.
∵0＜θ＜π，∴sin θ＝，∴cos θ＝－，∴sin θ＋cos θ＝－.]
三、解答题
9．已知α∈，且sin ＋cos ＝.
(1)求cos α的值；
(2)若sin(α－β)＝－，β∈，求cos β的值．
[解] (1)因为sin ＋cos＝，两边同时平方，得sin α＝.又＜α＜π，所以cos
α＝－.
(2)因为＜α＜π，＜β＜π，
所以－π＜－β＜－，故－＜α－β＜.
又sin(α－β)＝－，得cos(α－β)＝.
cos β＝cos[α－(α－β)]＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)
＝－×＋×＝－.
10．已知函数f(x)＝.
(1)求函数f(x)的定义域；
(2)设α是第四象限的角，且tan α＝－，求f(α)的值．
[解] (1)要使f(x)有意义，则需cos x≠0，
∴f(x)的定义域是.
(2)f(x)＝
＝＝
＝2(cos x－sin x)．
由tan α＝－，得sin α＝－cos α.
又sin2α＋cos2α＝1，且α是第四象限角，
∴cos2α＝，则cos α＝，sin α＝－.
故f(α)＝2(cos α－sin α)＝2＝.
B组 能力提升
(建议用时：15分钟)
1．若＝－，则cos α＋sin α的值为( )
A．－ B．－
C． D．
C [∵＝
＝－(sin α＋cos α)＝－，
∴sin α＋cos α＝.]
2．(2018·郴州模拟)已知α∈，sin＝，则tan α＝________.
[因为＜α＋＜，sin＝，
所以cos＝＝，
所以tan＝，
所以tan α＝tan＝＝.]
3．(2018·南昌模拟)已知函数f(x)＝2sin xsin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x∈时，求函数f(x)的值域．
【导学号：00090108】
[解] (1)f(x)＝2sin x＝×＋sin 2x＝sin＋.
所以函数f(x)的最小正周期为T＝π. 3分
由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，k∈Z，
解得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z，
所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z. 7分
(2)当x∈时，2x－∈，
sin∈， 9分
f(x)∈.
故f(x)的值域为. 12分