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- 2024-03-20 发布
1．已知复数z满足(3－4i)z＝25，则z＝( )
A．－3－4i B．－3＋4i
C．3－4i D．3＋4i
【答案】D
【解析】由(3－4i)z＝25⇒z＝＝＝3＋4i，选D。
2.＝( )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
【答案】B
【解析】＝＝－1＋2i，故选B。
3．若复数z满足z(1＋i)＝2i(i为虚数单位)，则|z|＝( )
A．1 B．2
C. D.
【答案】C
4．设复数z满足(z－2i)(2－i)＝5，则z＝( )
A．2＋3i B．2－3i
C．3＋2i D．3－2i
【答案】A
【解析】方法一：由题知(z－2i)(2－i)＝5，所以z＝＋2i＝＋2i＝2＋i＋2i＝2＋3i。
方法二：设z＝a＋bi(a，b∈R)，所以[a＋(b－2)i](2－i)＝5，利用复数相等即实部与实部、虚部与虚部分别相等，得到解得所以z＝2＋3i，故选A。
5．i为虚数单位，2＝( )
A．1 B．－1
C．i D．－i
【答案】B
【解析】2＝＝－1，选B。
6．已知a，b∈R，i是虚数单位．若a＋i＝2－bi，则(a＋bi)2＝( )
A．3－4i B．3＋4i
C．4－3i D．4＋3i
【答案】A
【解析】由a＋i＝2－bi可得a＝2，b＝－1，则(a＋bi)2＝(2－i)2＝3－4i。
7．在复平面内，复数z＝对应的点的坐标为( )
A．(1，－1) B．(1,1)
C．(－1,1) D．(－1，－1)
【答案】C
【解析】因为z＝＝＝－1＋i，所以该复数在复平面内对应的点为(－1,1)，故选C.
8．已知复数f(n)＝in(n∈N*)，则集合{z|z＝f(n)}中元素的个数是( )
A．4 B．3
C．2 D．无数
【答案】A
【解析】集合{i，－1，－i,1}中有4个元素，故选A.
9．已知a∈R，i是虚数单位．若z＝a＋i，z·＝4，则a＝( )
A．1或－1 B．或－
C．－ D．
【答案】A
10．设复数z满足＝1－i，则z＝ ( )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
【答案】C
【解析】由题意,得z＝＝＝＝－1＋i，故选C.
11．已知复数z＝1＋，则1＋z＋z2＋…＋z2 019＝( )
A．1＋i B．1－i
C．i D．0
【答案】D
【解析】z＝1＋＝1＋＝i，∴1＋z＋z2＋…＋z2 019＝＝＝＝0.
12．设z1，z2是复数，则下列命题中的假命题是( )
A．若|z1－z2|＝0，则1＝2
B．若z1＝2，则1＝z2
C．若|z1|＝|z2|，则z1·1＝z2·2
D．若|z1|＝|z2|，则z＝z
【答案】D
13．定义运算＝ad－bc，则符合条件＝0的复数对应的点在 ( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【解析】由题意得z×2i－(1＋i)(－i)＝0，所以z＝＝－－i，则＝－＋i在复平面内对应的点为，位于第二象限，故选B.
14．已知i为虚数单位，m∈R，若关于x的方程x2＋(1－2i)·x＋m－i＝0有实数根，则m的取值为( )
A．m≤ B．m≤－
C．m＝ D．m＝－
【答案】C
【解析】设t为方程x2＋(1－2i)x＋m－i＝0的实数根，则t2＋(1－2i)t＋m－i＝0，即t2＋t＋m－(1＋2t)i＝0，则解得t＝－，m＝，故选C.
15．复数z1，z2满足z1＝m＋(4－m2)i，z2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z1＝z2，则λ的取值范围是( )
A．[－1,1] B．
C. D．
【答案】C
θ∈[－1,1]，
所以4sin2θ－3sin θ∈.
16．复数(i为虚数单位)的实部等于__________。
【答案】－3
【解析】直接运算得，＝－(3＋i)＝－3－i，故实部为－3。
17．若(x＋i)i＝－1＋2i(x∈R)，则x＝__________。
【答案】2
【解析】(x＋i)i＝－1＋xi＝－1＋2i，由复数相等的定义知x＝2。
18．已知i是虚数单位，计算＝__________。
【答案】
【解析】＝＝＝。
19．要使复数z＝a2－a－6＋i为纯虚数，其中的实数a是否存在？若存在，求出a的值；若不存在，说明理由。
20．复数z＝(a，b∈R)，且|z|＝4，z对应的点在第一象限，若复数0，z，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a，b的值。
【解析】z＝(a＋bi)
＝2i·i(a＋bi)
＝－2a－2bi。
由|z|＝4，得a2＋b2＝4。①
∵复数0，z，对应的点构成正三角形，
∴|z－|＝|z|。
把z＝－2a－2bi代入化简，得a2＝3b2，②
代入①得，|b|＝1。
又∵z对应的点在第一象限，∴a＜0，b＜0。
由①②得
故所求值为a＝－，b＝－1。
21．设复数z满足4z＋2＝3＋i，ω＝sinθ－icosθ，求z的值和|z－ω|的取值范围。
【解析】设z＝a＋bi，(a，b∈R)，则＝a－bi。
代入4z＋2＝3＋i，得
4(a＋bi)＋2(a－bi)＝3＋i，
即6a＋2bi＝3＋i。