【数学】2020届一轮复习（理）通用版考点测试53双曲线作业 15页

考点测试53　双曲线 ‎　　　　　　　　　　　　　　　　　　‎ 一、基础小题 ‎1．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的渐近线方程为y＝±x，则双曲线C的离心率为(　　)‎ A． B． C． D． 答案　B 解析　由题意可得＝，则离心率e＝＝＝，故选B．‎ ‎2．已知双曲线－＝1的实轴长为10，则该双曲线的渐近线的斜率为(　　)‎ A．± B．± C．± D．± 答案　D 解析　由m2＋16＝52，解得m＝3(m＝－3舍去)．所以a＝5，b＝3，从而±＝±，故选D．‎ ‎3．已知平面内两定点A(－5，0)，B(5，0)，动点M满足|MA|－|MB|＝6，则点M的轨迹方程是(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1(x≥4)‎ C．－＝1 D．－＝1(x≥3)‎ 答案　D 解析　由双曲线的定义知，点M的轨迹是双曲线的右支，故排除A，C；又c＝5，a＝3，∴b2＝c2－a2＝16．‎ ‎∵焦点在x轴上，∴轨迹方程为－＝1(x≥3)．‎ 故选D．‎ ‎4．双曲线－y2＝1的焦点到渐近线的距离为(　　)‎ A． B． C．1 D． 答案　C 解析　焦点F(，0)到渐近线x±y＝0的距离d＝＝1，故选C．‎ ‎5．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的焦距为10，点P(2，1)在C的渐近线上，则C的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 答案　A 解析　∵－＝1的焦距为10，‎ ‎∴c＝5＝．①‎ 又双曲线渐近线方程为y＝±x，且P(2，1)在渐近线上，‎ ‎∴＝1，即a＝2b．②‎ 由①②解得a＝2，b＝，‎ 则C的方程为－＝1．故选A．‎ ‎6．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，点M与双曲线C的焦点不重合，点M关于F1，F2的对称点分别为A，B，线段MN的中点在双曲线的右支上，若|AN|－|BN|＝12，则a＝(　　)‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ 答案　A 解析　如图，设MN的中点为C，则由对称性知F1，F2分别为线段AM，BM的中点，所以|CF1|＝|AN|，|CF2|＝|BN|．由双曲线的定义，知|CF1|－|CF2|＝‎2a＝(|AN|－|BN|)＝6，所以a＝3，故选A．‎ ‎7．已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的离心率e＝2，且它的一个顶点到相应焦点的距离为1，则双曲线C的方程为________．‎ 答案　x2－＝1‎ 解析　由题意得解得则b＝，故所求方程为x2－＝1．‎ ‎8．设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，点P在双曲线上，若点P 到焦点F1的距离等于9，则点P到焦点F2的距离为________．‎ 答案　17‎ 解析　解法一：∵实轴长‎2a＝8，半焦距c＝6，‎ ‎∴||PF1|－|PF2||＝8．‎ ‎∵|PF1|＝9，∴|PF2|＝1或|PF2|＝17．‎ 又∵|PF2|的最小值为c－a＝6－4＝2，‎ ‎∴|PF2|＝17．‎ 解法二：由题知，若P在右支上，‎ 则|PF1|≥2＋8＝10>9，∴P在左支上．‎ ‎∴|PF2|－|PF1|＝‎2a＝8，∴|PF2|＝9＋8＝17．‎ 二、高考小题 ‎9．(2018·全国卷Ⅱ)双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为，则其渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　A 解析　∵e＝＝，∴＝＝e2－1＝3－1＝2，∴＝．因为该双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以该双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选A．‎ ‎10．(2018·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－y2＝1，O为坐标原点，F为C的右焦点，过F的直线与C的两条渐近线的交点分别为M，N．若△OMN为直角三角形，则|MN|＝(　　)‎ A． B．‎3 C．2 D．4‎ 答案　B 解析　由题意分析知，∠FON＝30°．‎ 所以∠MON＝60°，又因为△OMN是直角三角形，不妨取∠NMO＝90°，则∠ONF＝30°，于是FN＝OF＝2，FM＝OF＝1，所以|MN|＝3．故选B．‎ ‎11．(2018·全国卷Ⅲ)设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，O是坐标原点．过F2作C的一条渐近线的垂线，垂足为P．若|PF1|＝|OP|，则C的离心率为(　　)‎ A． B．‎2 C． D． 答案　C 解析　由题可知|PF2|＝b，|OF2|＝c，∴|PO|＝a．‎ 在Rt△POF2中，cos∠PF2O＝＝，‎ ‎∵在△PF‎1F2中，‎ cos∠PF2O＝＝，‎ ‎∴＝⇒c2＝‎3a2，∴e＝．故选C．‎ ‎12．(2018·天津高考)已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为d1和d2，且d1＋d2＝6，则双曲线的方程为(　　)‎ A．－＝1 B．－＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 答案　C 解析　∵双曲线－＝1(a>0，b>0)的离心率为2，∴e2＝1＋＝4，∴＝3，即b ‎2＝‎3a2，∴c2＝a2＋b2＝‎4a2，由题意可设A(‎2a，‎3a)，B(‎2a，－‎3a)，∵＝3，∴渐近线方程为y＝±x，则点A与点B到直线x－y＝0的距离分别为d1＝＝a，d2＝＝a，又∵d1＋d2＝6，∴a＋a＝6，解得a＝，∴b2＝9．∴双曲线的方程为－＝1，故选C．‎ ‎13．(2018·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，若双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F(c，0)到一条渐近线的距离为c，则其离心率的值是________．‎ 答案　2‎ 解析　双曲线的一条渐近线方程为bx－ay＝0，则F(c，0)到这条渐近线的距离为＝c，‎ ‎∴b＝c，∴b2＝c2，又b2＝c2－a2，∴c2＝‎4a2，‎ ‎∴e＝＝2．‎ ‎14．(2017·全国卷Ⅰ)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN＝60°，则C的离心率为________．‎ 答案　 解析　如图，由题意知点A(a，0)，双曲线的一条渐近线l的方程为y＝x，即bx－ay＝0，‎ ‎∴点A到l的距离d＝‎ ．‎ 又∠MAN＝60°，|MA|＝|NA|＝b，∴△MAN为等边三角形，∴d＝|MA|＝b，即＝b，‎ ‎∴a2＝3b2，∴e＝＝ ＝．‎ 三、模拟小题 ‎15．(2018·河北黄冈质检)过双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点F作圆x2＋y2＝a2的切线FM(切点为M)，交y轴于点P，若M为线段FP的中点，则双曲线的离心率为(　　)‎ A． B． C．2 D． 答案　A 解析　连接OM．由题意知OM⊥PF，且|FM|＝|PM|，∴|OP|＝|OF|，∴∠OFP＝45°，∴|OM|＝|OF|·sin45°，即a＝c·，∴e＝＝．故选A．‎ ‎16．(2018·河南洛阳尖子生联考)设F1，F2分别为双曲线－＝1的左、右焦点，过F1引圆x2＋y2＝9的切线F1P交双曲线的右支于点P，T为切点，M为线段F1P的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|等于(　　)‎ A．4 B．‎3 C．2 D．1‎ 答案　D 解析　连接PF2，OT，则有|MO|＝|PF2|＝(|PF1|－‎2a)＝(|PF1|－6)＝|PF1|－3，|MT|＝|PF1|－|F1T|＝|PF1|－＝|PF1|－4，于是有|MO|－|MT|＝|PF1|－3－|PF1|－4＝1，故选D．‎ ‎17．(2018·哈尔滨调研)已知双曲线C的右焦点F与抛物线y2＝8x的焦点相同，若以点F为圆心，为半径的圆与双曲线C的渐近线相切，则双曲线C的方程为(　　)‎ A．－x2＝1 B．－y2＝1‎ C．－＝1 D．－＝1‎ 答案　D 解析　设双曲线C的方程为－＝1(a>0，b>0)，而抛物线y2＝8x的焦点为(2，0)，即F(2，0)，∴4＝a2＋b2．又圆F：(x－2)2＋y2＝2与双曲线C的渐近线y＝±x相切，由双曲线的对称性可知圆心F到双曲线的渐近线的距离为＝，∴a2＝b2＝2，故双曲线C的方程为－＝1．故选D．‎ ‎18．(2018·安徽淮南三校联考)已知双曲线－＝1右焦点为F，P为双曲线左支上一点，点A(0，)，则△APF周长的最小值为(　　)‎ A．4＋ B．4(1＋)‎ C．2(＋) D．＋3 答案　B 解析　由题意知F(，0)，设左焦点为F0，则F0(－，0)，由题意可知△APF的周长l为|PA|＋|PF|＋|AF|，而|PF|＝‎2a＋|PF0|，∴l＝|PA|＋|PF0|＋‎2a＋|AF|≥|AF0|＋|AF|＋‎2a＝ ＋ ＋2×2＝4＋4＝4(＋1)，当且仅当A，F0，P三点共线时取得“＝”，故选B．‎ ‎19．(2018·河南适应性测试)已知F1，F2分别是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，P是双曲线上一点，若|PF1|＋|PF2|＝‎6a，且△PF‎1F2的最小内角为，则双曲线的渐近线方程为(　　)‎ A．y＝±2x B．y＝±x C．y＝±x D．y＝±x 答案　D 解析　不妨设P为双曲线右支上一点，则|PF1|>|PF2|，由双曲线的定义得|PF1|－|PF2|＝‎2a，又|PF1|＋|PF2|＝‎6a，所以|PF1|＝‎4a，|PF2|＝‎2a．又因为所以∠PF‎1F2为最小内角，故∠PF‎1F2＝．由余弦定理，可得＝，c2＝‎3a2，b2＝c2－a2＝‎2a2⇒＝，所以双曲线的渐近线方程为y＝±x，故选D．‎ ‎20．(2018·山西太原五中月考)已知F1，F2是双曲线－＝1(a>0，b>0)的左、右焦点，过F1的直线l与双曲线的左支交于点A，与右支交于点B，若|AF1|＝‎2a，∠F1AF2＝，则＝(　　)‎ A．1 B． C． D． 答案　B 解析　如图所示，由双曲线定义可知|AF2|－|AF1|＝‎2a．又|AF1|＝‎2a，所以|AF2|＝‎4a，因为∠F1AF2＝，所以S△AF‎1F2＝|AF1|·|AF2|·sin∠F1AF2＝×‎2a×‎4a×＝‎2a2．设|BF2|＝m，由双曲线定义可知|BF1|－|BF2|＝‎2a，所以|BF1|＝‎2a＋|BF2|，又知|BF1|＝‎2a＋|BA|，所以|BA|＝|BF2|．又知∠BAF2＝，所以△BAF2为等边三角形，边长为‎4a，所以S△ABF2＝|AB|2＝×(‎4a)2＝‎4a2，所以＝＝，故选B．‎ ‎21．(2018·广东六校联考)已知点F为双曲线E：－＝1(a>0，b>0)的右焦点，直线y＝kx(k>0)与E交于不同象限内的M，N两点，若MF⊥NF，设∠MNF＝β ‎，且β∈，，则该双曲线的离心率的取值范围是(　　)‎ A．[，＋] B．[2，＋1]‎ C．[2，＋] D．[，＋1]‎ 答案　D 解析　如图，设左焦点为F′，连接MF′，NF′，令|MF|＝r1，|MF′|＝r2，则|NF|＝|MF′|＝r2，由双曲线定义可知r2－r1＝‎2a　①，∵点M与点N关于原点对称，且MF⊥NF，∴|OM|＝|ON|＝|OF|＝c，∴r＋r＝‎4c2　②，由①②得r1r2＝2(c2－a2)，又知S△MNF＝2S△MOF．∴r1r2＝2·c2·sin2β，∴c2－a2＝c2·sin2β，∴e2＝，又∵β∈，，‎ ‎∴sin2β∈，，∴e2＝∈[2，(＋1)2]．又e>1，∴e∈[，＋1]，故选D．‎ ‎22．(2018·河北名校名师俱乐部二调)已知F1，F2分别是双曲线x2－＝1(b>0)的左、右焦点，A是双曲线上在第一象限内的点，若|AF2|＝2且∠F1AF2＝45°，延长AF2交双曲线的右支于点B，则△F1AB的面积等于________．‎ 答案　4‎ 解析　由题意知a＝1，由双曲线定义知|AF1|－|AF2|＝‎2a＝2，|BF1|－|BF2|＝‎ ‎2a‎＝2，‎ ‎∴|AF1|＝2＋|AF2|＝4，|BF1|＝2＋|BF2|．由题意知|AB|＝|AF2|＋|BF2|＝2＋|BF2|，‎ ‎∴|BA|＝|BF1|，∴△BAF1为等腰三角形，‎ ‎∵∠F1AF2＝45°，∴∠ABF1＝90°，∴△BAF1为等腰直角三角形．∴|BA|＝|BF1|＝|AF1|＝×4＝2．∴S△F1AB＝|BA|·|BF1|＝×2×2＝4．‎ 一、高考大题 本考点在近三年高考中未涉及此题型．‎ 二、模拟大题 ‎1．(2019·河北武邑中学月考)已知∀m∈R，直线l：y＝x＋m与双曲线C：－＝1(b>0)恒有公共点．‎ ‎(1)求双曲线C的离心率e的取值范围；‎ ‎(2)若直线l过双曲线C的右焦点F，与双曲线交于P，Q两点，并且满足＝，求双曲线C的方程．‎ 解　(1)联立消去y，整理得(b2－2)x2－4mx－2(m2＋b2)＝0．‎ 当b2＝2，m＝0时，易知直线l是双曲线C的一条渐近线，不满足题意，故b2≠2，易得e≠．‎ 当b2≠2时，由题意知Δ＝‎16m2‎＋8(b2－2)(m2＋b2)≥0，即b2≥2－m2，故b2>2，‎ 则e2＝＝＝>2，e>．‎ 综上可知，e的取值范围为(，＋∞)．‎ ‎(2)由题意知F(c，0)，直线l：y＝x－c，与双曲线C的方程联立，得消去x，化简得(b2－2)y2＋2cb2y＋b‎2c2－2b2＝0，‎ 当b2＝2时，易知直线l平行于双曲线C的一条渐近线，与双曲线C只有一个交点，不满足题意，故b2≠2．‎ 设P(x1，y1)，Q(x2，y2)，‎ 即 因为＝，所以y1＝y2，　③‎ 由①③可得y1＝，y2＝，代入②整理得‎5c2b2＝9(b2－2)(c2－2)，‎ 又c2＝b2＋2，所以b2＝7．‎ 所以双曲线C的方程为－＝1．‎ ‎2．(2018·惠州月考)已知双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线的方程为y＝x，右焦点F到直线x＝的距离为．‎ ‎(1)求双曲线C的方程；‎ ‎(2)斜率为1且在y轴上的截距大于0的直线l与双曲线C相交于B，D两点，已知A(1，0)，若·＝1，证明：过A，B，D三点的圆与x轴相切．‎ 解　(1)依题意有＝，c－＝，‎ ‎∵a2＋b2＝c2，∴c＝‎2a，∴a＝1，c＝2，∴b2＝3，‎ ‎∴双曲线C的方程为x2－＝1．‎ ‎(2)证明：设直线l的方程为y＝x＋m(m>0)，B(x1，x1＋m)，D(x2，x2＋m)，BD的中点为M，‎ 由得2x2－2mx－m2－3＝0，‎ ‎∴x1＋x2＝m，x1x2＝－，‎ 又∵·＝1，‎ 即(2－x1)(2－x2)＋(x1＋m)(x2＋m)＝1，‎ ‎∴m＝0(舍)或m＝2，‎ ‎∴x1＋x2＝2，x1x2＝－，M点的横坐标为＝1，‎ ‎∵·＝(1－x1)(1－x2)＋(x1＋2)(x2＋2)‎ ‎＝5＋2x1x2＋x1＋x2＝5－7＋2＝0，‎ ‎∴AD⊥AB，‎ ‎∴过A，B，D三点的圆以点M为圆心，BD为直径，‎ ‎∵点M的横坐标为1，∴MA⊥x轴，‎ ‎∵|MA|＝|BD|，‎ ‎∴过A，B，D三点的圆与x轴相切．‎ ‎3．(2019·山西太原一中月考)已知直线l：y＝x＋2与双曲线C：－＝1(a>0，b>0)相交于B，D两点，且BD的中点为M(1，3)．‎ ‎(1)求双曲线C的离心率；‎ ‎(2)设双曲线C的右顶点为A，右焦点为F，|BF|·|DF|＝17，试判断△ABD是否为直角三角形，并说明理由．‎ 解　(1)设B(x1，y1)，D(x2，y2)．‎ 把y＝x＋2代入－＝1，‎ 并整理得(b2－a2)x2－‎4a2x－‎4a2－a2b2＝0，‎ 则x1＋x2＝，x1x2＝－．‎ 由M(1，3)为BD的中点，得＝＝1，‎ 即b2＝‎3a2，故c＝＝‎2a，‎ 所以双曲线C的离心率e＝＝2．‎ ‎(2)由(1)得C的方程为－＝1，‎ A(a，0)，F(‎2a，0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－<0，‎ 不妨设x1≤－a，x2≥a，‎ 则|BF|＝＝ ‎＝a－2x1，‎ ‎|DF|＝＝ ‎＝2x2－a，‎ 所以|BF|·|DF|＝(a－2x1)(2x2－a)＝‎2a(x1＋x2)－4x 1x2－a2＝‎5a2＋‎4a＋8，‎ 又|BF|·|DF|＝17，所以‎5a2＋‎4a＋8＝17，‎ 解得a＝1或a＝－(舍去)．‎ 所以A(1，0)，x1＋x2＝2，x1x2＝－．‎ 所以＝(x1－1，y1)＝(x1－1，x1＋2)，‎ ＝(x2－1，x2＋2)，‎ ·＝(x1－1)(x2－1)＋(x1＋2)(x2＋2)‎ ‎＝2x1x2＋(x1＋x2)＋5＝0，‎ 所以⊥，即△ABD为直角三角形．‎ ‎4．(2018·山东临沂月考)P(x0，y0)(x0≠±a)是双曲线E：－＝1(a>0，b>0)上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．‎ ‎(1)求双曲线的离心率；‎ ‎(2)过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A，B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足＝λ＋，求λ的值．‎ 解　(1)由点P(x0，y0)(x0≠±a)在双曲线－＝1上，有－＝1．‎ 由题意有·＝，‎ 可得a2＝5b2，c2＝a2＋b2＝6b2，e＝＝．‎ ‎(2)联立得4x2－10cx＋35b2＝0．‎ 设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则①‎ 设＝(x3，y3)，＝λ＋，即 又C为双曲线上一点，即x－5y＝5b2，有 ‎(λx1＋x2)2－5(λy1＋y2)2＝5b2．‎ 化简得 λ2(x－5y)＋(x－5y)＋2λ(x1x2－5y1y2)＝5b2．②‎ 又A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，‎ 所以x－5y＝5b2，x－5y＝5b2．‎ 由①式又有x1x2－5y1y2＝x1x2－5(x1－c)(x2－c)＝－4x1x2＋‎5c(x1＋x2)－‎5c2＝10b2，‎ ‎②式可化为λ2＋4λ＝0，解得λ＝0或λ＝－4．‎