2018-2019学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试数学（理）试题 Word版 8页

2018-2019 学年黑龙江省牡丹江市第三高级中学高二上学期期末考试理科 数学试卷 考试时间:120 分钟 分值：150 分 命题人：王江云 一、选择题(共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分) 1．复数 i(2－i)＝( ) A．1＋2i B．1－2i C. －1＋2i D．－1－2i 2.在极坐标系中，圆ρ=-2sinθ的圆心的极坐标是（ ） A． B． C． (1,0) D．(1， ) 3．如果命题“非 p 或非 q”是假命题，则在下列各结论中，正确的是 ( ) ①命题“p 且 q”是真命题 ②命题“p 且 q”是假命题 ③命题“p 或 q”是真命题 ④命题“p 或 q”是假命题 A．②③ B．②④ C．①③ D．①④ 4.设 l1 的方向向量为 a＝(1,2，－2)，l2 的方向向量为 b＝(－2,3，m)，若 l1⊥l2，则实数 m 的值为( ) A．3 B．2 C．1 D． 1 2 5．| 2 1＋i |＝( ) A．2 2 B．2 C． 2 D．1 6．命题“对任意的 x∈R，x3－x2＋1≤0”的否定是( ) A．不存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 B．存在 x∈R，x3－x2＋1≤0 C．存在 x∈R，x3－x2＋1＞0 D．对任意的 x∈R，x3－x2＋1＞0 7.过点 ,且斜率为 的直线的参数方程( ) A. B. C. D. 8．如图所示的程序框图输出的结果是( ) (1, )2 (1, )2   A.3 4 B.4 5 C.5 6 D.6 7 9.如图所示的是计算1 2 ＋1 4 ＋1 6 ＋…＋ 1 20 的值的一个程序框图， 其中判断框内应填入的条件是( ) A．i<10? B．i≤10? C．i<20? D．i≤20? 10．已知空间四个点 A(1,1,1)，B(－4,0,2)，C(－3，－1，0)，D(－1,0,4)，则直线 AD 与平 面 ABC 所成的角为( ) A．30° B．45° C．60° D．90° 11．直线 l 经过椭圆的一个顶点和一个焦点，若椭圆中心到 l 的距离为其短轴长的1 4 ，则该椭 圆的离心率为( ) A．1 3 B．1 2 C．2 3 D．3 4 12．设 1F ， 2F 是双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0x yC a ba b     的左右焦点，A 为左顶点，点 P 为双曲线C 右支上一点， 1 2 10F F  ， 2 1 2PF F F ， 2 16 3PF  ， O 为坐标原点，则 OA OP   （ ） A． 29 3  B． 16 3 C．15 D． 15 二、填空题(共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分) 13．i 是虚数单位，若复数(1－2i)(a＋i)是纯虚数，则实数 a 的值为________． 14．二进制数 101 110 转化为等值的八进制数为________． 15．设抛物线 x2＝4y 的焦点为 F，经过点 P(1,4)的直线 l 与抛物线相交于 A、B 两点，且点 P 恰为 AB 的中点，则|AF→|＋|BF→|＝______. M A B S C 16．正方体 ABCD－A1B1C1D1 中，面 ABD1 与面 B1BD1 所夹角 的大小为________． 二、解答题(共 6 小题，共 70 分) 17.(10 分)已知双曲线方程为 16x2-9y2=144. (1)求该双曲线的实轴长、虚轴长、离心率; (2)若抛物线 C 的顶点是该双曲线的中心,而焦点是该双曲线的左顶点,求抛物线 C 的方程. 18.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，以原点O为极点，x 轴正半轴为极轴，建立极坐标系. 曲线 C 的参数方程为 2cos 1, 2sin x y       （ 为参数），直线 l 的极坐标方程为 πsin( ) 24     ， 直线 l 与曲线 C 交于 M，N 两点，求 MN 的长． 19.（12 分）在平面直角坐标系 xOy 中，直线 l 的参数方程为 1 , 3 x t y t      （t 为参数），以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程为 2 2cos= sin   ，若直线 l 与 曲线 C 相交于 A，B 两点，求△AOB 的面积． 20.（12 分）如图，在三棱锥 ABCS  中， ABC 是边长为 4 的正三角形，平面 SAC 平面 ABC ， 22 SCSA ， M 为 AB 的中点. （1）证明： SBAC  ； （2）求二面角 ACMS  的余弦值； （3）求点 B 到平面 SCM 的距离. 21.（12 分）如图，在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中，AC=3，BC=4，AB=5，AA1=4，点 D 是 AB 的中点. （1）求证 AC⊥BC1； （2）求证 AC1//平面 CDB1； （3）求异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值. 22．（12 分）已知椭圆 C：x2 a2＋y2 b2＝1(a>b>0)的右焦点为 F(1,0)，短轴的一个端点 B 到点 F 的 距离等于焦距. (1)求椭圆 C 的方程； (2)过点 F 的直线 l 与椭圆 C 交于不同的两点 M， N，是否存在直线 l，使得△BFM 与△BFN 的 面积比值为 2？若存在，求出直线 l 的方程；若不存在，说明理由． 2018-2019 学年度第一学期期末高二理科试题答案 一、选择题（每小题 5 分，共 60 分） 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 1 2 A B C B C C A C B A B D 二、填空题（每小题 5 分，共 20 分） 13． -2 14. 56 15. 10 16. 60° 三、解答题(本大题共 6 个小题，共 70 分) 17.解:(1)双曲线的实轴长 a=6,虚轴长 2b=8,离心率 e= (2)抛物线C的顶点是该双曲线的中心(0,0),而焦点是该双曲线的左顶点(-3,0). 设抛物线C的方程为y2=-2px(p>0),则-=-3,解得p=6,∴抛物线C的方程为y2=-12x. 18. 解 ： 曲 线 ， 直 线 ， 圆 心 到 直 线 的 距 离 为 ，所以弦长 ． 19.解 由曲线 C 的极坐标方程是 ，得ρ2sin2θ=2ρcosθ． 所以曲线 C 的直角坐标方程是 y2=2x． 由直线 l 的参数方程 (t 为参数)，得 ， 所以直线 l 的普通方程为 ．将直线 l 的参数方程代入曲线 C 的普通方程 y2=2x， 得 ， 设 A，B 两点对应的参数分别为 t1，t2， 所 以 ， 因 为 原 点 到 直 线 的距离 ， 所以△AOB 的面积是 ． 20.解：（1）证明：取 的中点 ，连接 因为 ， ，所以 且 . 因为平面 平面 ，平面 平面 ， 所以 平面 所以 . 如右图所示，建立空间直角坐标系 则 所以 因为 所以 （2）由（1）得 ，所以 设 为平面 的一个法向量，则 ，取 ，则 所以 又因为 为平面 的一个法向量，所以 所以二面角 的余弦值为 . （3）由（1)（2）可得 ， 为平面 的一个法向量. 所以点 到平面 的距离 . 21.解法一：（1）∵直三棱柱 ABC—A1B1C1 底面三边长 AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC⊥BC，且 BC1 在平面 ABC 内的射影为 BC， ∴AC⊥BC1. （2）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，连结 DE， ∵D 是 AB 的中点，E 是 BC1 的中点， ∴DE//AC1， ∵DE 平面 CDB1，AC1 平面 CDB1， ∴AC1//平面 CDB1. （3）∵DE//AC1，∴∠CED 为 AC1 与 B1C 所成的角， 在△CED 中，ED = ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 解法二： ∵直三棱柱 ABC—A1B1C1 底面三边长 AC=3，BC=4，AB=5， ∴AC，BC，C1C 两两垂直. 如图，以 C 为坐标原点，直线 CA，CB，CC1 分别为 x 轴， y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系， 则 C（0，0，0），A（3，0，0），C1（0，0，4），B（0，4，0）， B1（0，4，4），D（ ，2，0）. （1） （2）设 CB1 与 C1B 的交点为 E，则 E（0，2，2）. （3） ∴异面直线 AC1 与 B1C 所成角的余弦值为 22.解 (1)由已知得 c＝1，a＝2c＝2，b2＝a2－c2＝3，所以椭圆 C 的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1． (2) S△BFM S△BFN＝2 等价于 |FM| |FN|＝2，当直线 l 的斜率不存在时， |FM| |FN|＝1，不符合题意，舍去； 当直线 l 的斜率存在时，设直线 l 的方程为 y＝k(x－1)， 由 ＝1 y＝k(x－1)，消去 x 并整理得(3＋4k2)y2＋6ky－9k2＝0， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 y1＋y2＝－ 6k 3＋4k2①，y1y2＝ －9k2 3＋4k2②， 由 |FM| |FN|＝2 得 y1＝－2y2③，由①②③解得 k＝± 5 2， 因此存在直线 l：y＝± 5 2(x－1)，使得△BFM 与△BFN 的面积比值为 2．