2018-2019学年黑龙江省哈尔滨市第三中学校高二下学期期中考试数学（理）试题 解析版 17页

绝密★启用前 黑龙江省哈尔滨市第三中学校2018-2019学年高二下学期期中考试数学（理)试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．设命题，则为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 试题分析：根据否命题的定义，即既否定原命题的条件，又否定原命题的结论，存在的否定为任意，所以命题的否命题应该为，即本题的正确选项为C.‎ 考点：原命题与否命题.‎ ‎2．“1＜x＜‎2”‎是“x＜‎2”‎成立的（ ）‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 ‎ C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【答案】A；‎ ‎【解析】“1＜x＜‎2”‎ “x＜2”，反之不成立.‎ ‎3．复数是纯虚数，其中是虚数单位,则实数的值是( )‎ A．3 B．2 C．2或3 D．0或2或3‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据题意得出复数是纯虚数，然后根据纯虚数的定义即可得出复数的实部与虚部的取值范围，最后通过计算即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 因为复数是纯虚数，‎ 所以，，解得，故选B。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查虚数的相关性质，能否根据纯虚数的定义得出复数的实部与虚部的取值范围是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题。‎ ‎4．用反证法证明命题“已知，如果可被7整除，那么至少有一个能被7整除”时，假设的内容是（ ）‎ A．都不能被7整除 B．都能被7整除 C．只有一个能被7整除 D．只有不能被7整除 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题考查反证法，至少有一个的反设词为一个都没有。‎ ‎【详解】‎ ‎，至少有一个能被整除，则假设，都不能被整除，故选A ‎【点睛】‎ 原结论词 反设词 原结论词 反设词 至少有一个 一个也没有 至多有个 至少有个 至多有一个 至少有两个 对所有x成立 存在某个x不成立 至少有个 至多有个 对任意x不成立 存在某个x成立 ‎5．设a,b为实数，若复数，则 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先化简，然后用复数相等的条件，列方程组求解．‎ ‎【详解】‎ 由可得1+2i＝（a﹣b）+（a+b）i，所以，解得，，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了复数相等的概念及有关运算，考查计算能力．是基础题．‎ ‎6．如果命题“”是假命题，“”是真命题，那么( )‎ A．命题一定是真命题 B．命题一定是真命题 C．命题一定是假命题 D．命题可以是真命题也可以是假命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据命题“”是假命题来判断命题以及命题的真假情况，然后通过命题“”是真命题即可判断出命题的真假，最后综合得出的结论，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 根据命题“”是假命题以及逻辑联结词“且”的相关性质可知：‎ 命题以及命题至少有一个命题为假命题，‎ 根据“”是真命题以及逻辑联结词“非”的相关性质可知：‎ 命题是假命题，‎ 所以命题可以是真命题也可以是假命题，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的相关性质，主要考查逻辑联结词“且”与“非”的相关性质，考查推理能力，考查命题、命题、命题以及命题之间的真假关系，是简单题。‎ ‎7． ( )‎ A． B．2e C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 由微积分基本定理可得：，故选D.‎ ‎8．函数的最大值是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先利用导数判断函数的单调性，再利用函数的单调性求最大值.‎ ‎【详解】‎ 由题得，所以函数f(x)在上单调递减，‎ 所以，‎ 故选：A ‎【点睛】‎ 本题主要考查利用导数求函数的最值，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ ‎9．已知命题“若函数在上是增函数，则”，则下列结论正确的是 A．否命题是“若函数在上是减函数，则”，是真命题 B．逆命题是“若，则函数在上是增函数”，是假命题 C．逆否命题是“若，则函数在上是减函数”，是真命题 D．逆否命题是“若，则函数在上不是增函数”，是真命题 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据原命题“若函数在上是增函数，则”写出原命题的逆命题、否命题以及逆否命题，然后判断出四种命题的真假，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 原命题“若函数在上是增函数，则”，是真命题；‎ 逆命题为“若，则函数在上是增函数”，是真命题；‎ 否命题为“若函数在上不是增函数，则”，是真命题；‎ 逆否命题为“若，则函数在上不是增函数”，是真命题，‎ 综上所述，故选D。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的相关性质，主要考查原命题、逆命题、否命题以及逆否命题的相关性质以及联系，考查推理能力，是简单题。‎ ‎10．函数（实数t为常数，且）的图象大致是( )‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由函数零点的个数排除选项A,C;再结合函数的单调性即可得到选项.‎ ‎【详解】‎ 由f（x）=0得x2+tx=0，得x=0或x=-t，即函数f（x）有两个零点，排除A，C， ‎ 函数的导数f′（x）=（2x+t）ex+（x2+tx）ex=[x2+（t+2）x+t]ex， ‎ 当x→-∞时，f′（x）＞0，即在x轴最左侧，函数f（x）为增函数，排除D， ‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 函数图象的辨识可从以下方面入手：‎ ‎(1)从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．‎ ‎(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；‎ ‎(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；‎ ‎(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.‎ ‎11．如下分组正整数对:第组为第组为第组为第组为依此规律,则第组的第个数对是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据题意找出每一组以及每一个数对所对应的规律，要注意区分偶数组与奇数组的不同，然后根据规律即可得出第组的第个数对。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，规律为：‎ 第组为，‎ 第组为，‎ 故第组的第个数对是，故选C。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查如何通过题目所给出的条件以及信息寻找规律，能否通过题目所给出的条件找出每一组中的每一个数对之间的规律以及每一组数对之间的规律是解决本体的关键，考查推理能力，是中档题。‎ ‎12．设函数是定义在上的连续函数，且在处存在导数，若函数及其导函数满足，则函数( )‎ A．既有极大值又有极小值 B．有极大值 ，无极小值 C．有极小值，无极大值 D．既无极大值也无极小值 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以根据构造函数，然后利用函数在处存在导数即可求出的值并求出函数的解析式，然后通过求导即可判断出函数的极值。‎ ‎【详解】‎ 由题意可知，，即，‎ 所以，‎ 令，则，‎ 因为函数在处存在导数，所以为定值，，，‎ 所以，‎ 令，当时，，‎ 构建函数，则有，‎ 所以函数在上单调递增，‎ 当，，令，解得，‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 因为，，‎ 所以当时函数必有一解，‎ 令这一解为，，则当时，‎ 当时，‎ 综上所述，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递增，‎ 所以有极小值，无极大值。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导数的相关性质，能否根据导函数的相关性质构造出函数是解决本题的关键，考查如何根据导函数性质来判断函数是否有极值，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题。‎ 第II卷（非选择题)‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．给定两个命题p，q，若是q的必要不充分条件，则p是的________条件.‎ ‎【答案】充分不必要 ‎【解析】‎ ‎∵¬p是q的必要而不充分条件，‎ ‎∴q是¬p的充分不必要条件，即q⇒¬p，但¬p不能⇒q，‎ 其逆否命题为p⇒¬q，但¬q不能⇒p，‎ 则p是¬q的充分不必要条件．‎ ‎14．曲线和所围成的封闭图形的面积是_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可以绘出曲线和的图像，并找出两曲线图像围成的区域，然后通过微积分以及定积分的基本定理即可解出答案。‎ ‎【详解】‎ 如图所示，曲线和所围成的封闭图形的面积为：‎ ‎，故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查几何中面积的求法，考查利用微积分以及定积分的相关性质求解面积，考查数形结合思想，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎15．‎ 甲乙丙丁四个人参加某项比赛,只有一人获奖,甲说:是乙或丙获奖,乙说:甲丙都未获奖,丙说:我获奖了,丁说:是乙获奖.已知四人中有且只有一人说了假话,则获奖的人为________.‎ ‎【答案】乙 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题首先可根据题意中的“四人中有且只有一人说了假话”将题目分为四种情况，然后对四种情况依次进行分析，观察四人所说的话是否冲突，最后即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 若甲说了假话，则乙丙丁说的是真话，但是丙丁所说的话冲突，故不正确；‎ 若乙说了假话，则甲丙丁说的是真话，但是丙丁所说的话冲突，故不正确；‎ 若丙说了假话，则甲乙丁说的是真话且丙未获奖，由“是乙或丙获奖”、“甲丙都未获奖”、“丙未获奖”以及“是乙获奖”可知，获奖者是乙；‎ 若丁说了假话，则甲乙丙说的是真话，但是乙丙所说的话冲突，故不正确，‎ 综上所述，获奖者是乙。‎ ‎【点睛】‎ 本题是一个简单的合情推理题，能否根据“四人中有且只有一人说了假话”将题目所给条件分为四种情况并通过推理判断出每一种情况的正误是解决本题的关键，考查推理能力，是简单题。‎ ‎16．已知函数,若，且，则的取值范围是________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可根据题意得出不可能同时大于，然后令，根据即可得出，最后通过构造函数以及对函数的性质进行分析即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ 根据题意以及函数图像可知，不可能同时大于，‎ 因为，所以可以令，即，‎ 因为，所以，，，‎ 构造函数，则，‎ 令，则，即；‎ 令，则，即；‎ 令，则，即；‎ 所以在上单调递减，在处取得极小值，在上单调递增，‎ 所以，，，‎ 故答案为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的相关性质，主要考查分段函数的相关性质、函数值与自变量之间的联系以及导数的相关性质，能否通过题意构造出函数是解决本题的关键，考查推理能力，考查函数方程思想，是难题。‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知函数.‎ ‎（1）求函数的极值；‎ ‎（2）若时，<恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1)极小值为，极大值为；(2)‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可通过函数写出函数的导函数，然后根据导函数的相关性质即可求出函数的极值；‎ ‎(2)首先可以求出当时函数的最大值，再根据题意可得，最后通过计算即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，‎ 所以，‎ 当，即，解得；‎ 当，即，解得或者；‎ 当，即，解得或，‎ 所以函数有极小值为，极大值为。‎ ‎(2)因为，，，‎ 所以当时，的最大值为，‎ 因为时，恒成立，‎ 所以，，‎ 实数的取值范围为。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的相关性质，主要考查利用导数求函数的极值以及函数的不等式恒成立问题，若函数小于某一个值，则说明函数的最大值小于这一个值，考查推理能力与运算能力，是中档题。‎ ‎18．（1）求证：；‎ ‎（2）设均为正实数，求证：.‎ ‎【答案】(1)详见解析；(2)详见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题可通过对不等式两边同时平方并化简即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可通过基本不等式得出(当且仅当时取等号)以及(当且仅当时取等号)，然后两者联立，即可证得不等式成立。‎ ‎【详解】‎ ‎(1) ，即，，，‎ 因为成立，所以成立。‎ ‎(2)根据基本不等式，首先有，当且仅当时取等号，‎ 再有，当且仅当时取等号，‎ 综上所述，，当且仅当时取等号，故不等式成立。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查不等式的相关性质，主要考查基本不等式的应用，如果一个不等式的证明涉及到多处基本不等式的运用，那么每一处基本不等式的运用中取等号成立的条件一定要相同，考查推理能力，是中档题。‎ ‎19．已知数列满足,‎ ‎(1)计算的值；‎ ‎(2)由(1)的结果猜想的通项公式，并用数学归纳法证明你的结论．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）a1＝0，an+1，通过n＝1，2，3，直接计算的值；（2）由（1）的结果猜想{an}的通项公式，再用数学归纳法证明，关键是假设当n＝k（k≥1）时，命题成立，利用递推式，证明当n＝k+1时，等式成立．‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由,当时 ‎ 时 ‎ 时 ‎ ‎(2)，猜想 ‎ 证明①当时成立 ‎②假设时 成立 ‎ 那么时有 ‎ ‎ ‎ 即时成立 ‎ 综合①②可知 ‎【点睛】‎ 本题考查数学归纳法，数列的通项，考查归纳猜想，考查推理归纳能力，属于中档题．‎ ‎20．近年来，网上购物已经成为人们消费的一种习惯.假设某淘宝店的一种装饰品每月的销售量 (单位：千件)与销售价格 (单位：元/件)之间满足如下的关系式:为常数.已知销售价格为元/件时,每月可售出千件.‎ ‎（1）求实数的值； ‎ ‎（2）假设该淘宝店员工工资、办公等所有的成本折合为每件2元（只考虑销售出的装饰品件数），试确定销售价格的值，使该店每月销售装饰品所获得的利润最大.（结果保留一位小数）‎ ‎【答案】(1)；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)将“销售价格为元/件时,每月可售出千件”带入关系式中即可得出结果；‎ ‎(2)首先可通过题意得出每月销售装饰品所获得的利润，然后通过化简并利用导数求得最大值，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)由题意可知，当销售价格为元/件时,每月可售出千件，‎ 所以，解得。‎ ‎(2)设利润为，则，，带入可得：‎ ‎，‎ 化简可得，‎ 函数的导函数，，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减；‎ 当时，，函数取极大值，也是最大值，‎ 所以当，函数取最大值，即销售价格约为每件元时，该店每月销售装饰品所获得的利润最大。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数的相关性质，主要考查函数的实际应用以及利用导数求函数的最值，本题的关键在于能够通过题意得出题目所给的销售量、销售价格以及每月销售装饰品所获得的利润之间的关系，考查推理能力与计算能力，考查化归与转化思想，是中档题。‎ ‎21．已知 ‎（1）讨论函数的单调性； ‎ ‎（2）若的最大值为,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题首先可通过函数的解析式写出函数的导函数，然后可以根据函数方程的根的数目以及大小进行分类讨论，分为、、、四个区域，即可得出结果；‎ ‎(2)本题首先可以根据函数的解析式写出函数的解析式并写出函数的导函数，然后利用导函数性质判断函数的单调性，即可得出结果。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)，，‎ 方程的，‎ 当时方程有两根、，‎ ‎①当时，无解，在上单调递减；‎ ‎②当时，有两解，‎ 在上单调递减,在上单调递增；‎ ‎③当时,在上单调递减,在上单调递增；‎ ‎④当时,在上单调递减，在上单调递增，‎ 综上所述：当时,在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；当时, 在上单调递减,在上单调递增；当时, 在上单调递减，在上单调递增。‎ ‎(2)，‎ ‎，‎ ‎①当时，，为增函数，无最大值；‎ ‎②当时，在上为减函数，在上为增函数，无最大值；‎ ‎③当时，在上为减函数，有最大值，满足题意，‎ 综上所述，。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查导函数的相关性质，主要考查利用导函数求函数单调性以及最值，考查导函数与二次函数性质的综合运用，考查推理能力，是难题。‎ ‎22．已知函数.‎ ‎（1）若直线为函数的一条切线,求实数的值；‎ ‎（2）讨论函数的零点的个数.‎ ‎【答案】(1) ；(2) 当或时,有1个零点;当时,有2个零点;当时,没有零点.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)本题可通过“直线为函数的一条切线”得出切点处的斜率为以及切点的纵坐标为，即可列出算式并通过计算得出结果；‎ ‎(2)本题可通过求导判断出函数的最小值，然后通过最小值与比较大小即可判断出根的个数。‎ ‎【详解】‎ ‎(1)因为，所以，‎ 因为直线为函数的一条切线，‎ 所以此时，，‎ 解得，。‎ ‎(2)，‎ 当时，，函数为单调递增函数，有一解，‎ 当时，时，；‎ 时，，函数为增函数；‎ 时，，函数为减函数；‎ 所以当时，最小，，‎ ‎①当时，即时，函数仅有一个零点；‎ ‎②当时，即时，函数没有零点；‎ ‎③当时，即时，函数有两个零点，‎ 综上所述，当或时,有一个零点；当时,有两个零点；当时,没有零点。‎ ‎【点睛】‎ 本题考查了导函数的相关性质，主要考查函数上某一点处的切线方程的相关性质以及利用导数求函数单调性以及最值，考查推理能力，考查化归与转化思想，是难题。‎