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- 2024-03-17 发布
高二数学理试题
本试卷满分150分，考试时间120分钟．
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．抛物线的准线方程是
A． B． C． D．
2．命题：，，为
A． B．
C． D．
3．如果a＜b＜0，那么( )．
A． B．ac＜bc C．＞ D．a2＜b2
4．命题：若或，则，如果把命题视为原命题，那么原命题、逆命题、否命题、逆否命题四个命题中正确命题的个数为
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．在中，内角所对的边分别是，“”是“”的
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
6．如图在空间四边形中，点在上，且，为中点，则等于
A． B．
C． D．
7．在中，内角所对的边分别是，若，，则的面积是( )
A．3 B． C． D．3
8．已知满足，且的最大值是
A． B． C． D．
9．已知双曲线的焦距为，且双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的方程为
A． B． C． D．
10．已知向量，，则的最小值为
A． B． C． D．
11．在公差为d，各项均为正整数的等差数列{an}中，若a1＝1，an＝51，则n＋d的最小值为( )
A．14 B．16 C．18 D．10
12．已知椭圆：（>>0）与双曲线有公共的焦点，圆
与的一条渐近线相交于两点．若恰好将线段三等分，则
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，满分20分．只要求填写最后结果．
13．一元二次不等式的解集为 (－2，3) ．
14．各项为正数的等比数列中，成等差数列，则的值为 ．
15．在中，内角所对的边分别是，已知，，，则＝__或______．
16．已知向量，，且与互相垂直，则的值是 ．
三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答要写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（本题满分10分）
在直角坐标系xOy中，直线的参数方程是（为参数）．在以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为．
（Ⅰ）说明是哪种曲线？并将的方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）直线与交于两点，，求的斜率．
解：（Ⅰ）由，得曲线的直角坐标方程为
…………………………………………3分
即
曲线是以为圆心，为半径的圆．…………………………………………5分
（Ⅱ）（方法一）由直线的参数方程（为参数），
消去参数得．
设直线的斜率为，则直线的方程为．
又，由垂径定理及点到直线的距离公式得
，即，………………………………………8分
整理得，解得，
所以的斜率为或． …………………………………………………10分
（方法二）易得直线的极坐标方程为，
设，的极径分别为，其是的解，
于是，，
，……………………8分
由，得，，
所以的斜率为或．…………………………………………………10分
18．（本题满分12分）
如图，在中，,,，
是边延长线上的一点，，求的长.
解：在中，,,，
由余弦定理得，
所以, ,
在中，, , ，………………………8分
由正弦定理得,
所以………………………………12分
19．（本题满分12分）
如图，在三棱柱中，侧面，均为正方形，∠,点是棱的中点.请建立适当的坐标系，求解下列问题：
（Ⅰ）求证：异面直线与互相垂直；
（Ⅱ）求二面角（钝角）的余弦值.
解证：因为侧面，均为正方形， ，
所以两两互相垂直，如图所示建立直角坐标系………………1分
设，则.…………3分
（Ⅰ）证明：由上可知：，，…………5分
所以,………………6分
所以，
所以，异面直线与互相垂直. ……7分
（Ⅱ）解：
，…………9分
设平面的法向量为，则有
，， ，
取，得 ………………10分
又因为平面，所以平面的法向量为，………11分
因为二面角是钝角，
所以，二面角的余弦值为. ………………12分
20．（本题满分12分）
已知数列的前项和.
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若，求数列的前项和．
解：（Ⅰ）因为，
所以当时，.………3分
当时，，满足上式．………………4分
故.………………5分
（Ⅱ）因为.所以，………………6分
其前项和： ①………8分
两边乘以4得：
………………………②
由①②得：
………………11分
所以． ………………12分
21．（本题满分12分）
某工厂修建一个长方体无盖蓄水池，其容积为6400立方米，深度为4米．池底每平方米的造价为120元，池壁每平方米的造价为100元．设池底长方形的长为x米．
（Ⅰ）求底面积，并用含x的表达式表示池壁面积；
（Ⅱ）怎样设计水池能使总造价最低?最低造价是多少?
解：（Ⅰ）设水池的底面积为S1，池壁面积为S2，
则有 (平方米)．…………………2分
池底长方形宽为米，则
S2＝8x＋8×＝8(x＋)．…………………………6分
（Ⅱ）设总造价为y，则
y＝120×1 600＋100×8≥192000＋64000＝256000．……………………9分
当且仅当x＝，即x＝40时取等号．………………………………………………10分
所以x＝40时，总造价最低为256000元．
答：当池底设计为边长40米的正方形时，总造价最低，其值为256000元．
……………………………………………………12分
22．（本题满分12分）
已知椭圆：（）的左焦点为，离心率为．
（Ⅰ）求椭圆的标准方程；
（Ⅱ）设为坐标原点，为直线上一点，过作的垂线交椭圆于，．当四边形是平行四边形时，求四边形的面积。
解：（Ⅰ）由已知得：，，所以………………2分
又由，解得，
所以椭圆的标准方程为：.………………4分
（Ⅱ）设T点的坐标为，则直线TF的斜率.………………5分
当时，直线PQ的斜率，直线PQ的方程是
当时，直线PQ的方程是，也符合的形式. ………………6分
将代入椭圆方程得：.
其判别式.
设，
则. ……………8分
因为四边形OPTQ是平行四边形，所以，即.
所以
解得.………………………………10分
此时四边形OPTQ的面积
.
………………………………12分