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- 2024-03-14 发布
红兴隆管理局第一高级中学
2017－2018学年度第一学期高三年级期中考试
数学试卷（文科）
注：卷面分值150分； 时间：120分钟。
一、 选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题列出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.集合，，则 ( )
A． B． C． D．
2.等差数列的前项和为，且=，=，则公差等于( )
A． B． C． D．
3.在中，，，，的面积为，则（ ）
A． B． C． D．
4.已知 ，则 的值为（ ）
A. B. C. D.
5.设，是非零向量，“”是“”的（ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
6.已知△的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为， ，则球的体积是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，均为单位向量，它们的夹角为60°，那么=（ ）
A． B． C． D．4
8.将函数的图象向左平移个单位，所得到的函数图象关于轴对称，则的一个可能取值为（ ）
A． B． C． D．
9.已知等差数列的前项和为，且，，则使得取最
小值时的为( )
A. B. C. D. 或
10.设图是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )
A．9π＋42 B．36π＋18
C.π＋12 D.π＋18
11. 如图，四棱锥中，，，和都是等边三角形，则异面直线与所成角的大小为（ )
A． B．
C． D．
12.已知函数是定义在的可导函数，为其导函数，当且时，，若曲线在处的切线的斜率为，则（ ）
A． 0 B． 1 C. D．
二、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知函数，则 , = ．
14.若等差数列 的前项和为 , ．
15.已知为第二象限角， ，则的值为 ．
16．已知△ABC中，角A、B、C所对边分别为a、b、c，满足且，则△ABC面积的最大值为__________
三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
17.设是锐角三角形，三个内角，，所对的边分别记为，，，并且
.
（Ⅰ）求角的值；
（Ⅱ）若，，求，（其中）．
18..三棱柱中，侧棱与底面垂直，，， 分别是，的中点．
（Ⅰ）求证：平面；
（Ⅱ）求证：；
19.已知数列是公差为2的等差数列，它的前项和为，且成等比数列.
(1)求的通项公式。(2)求数列的前项和。
20.如图，已知三棱锥中，，为的中点，为的中点，且为正三角形.
（1）求证：平面；
（2）若，求三棱锥的体积.
21．设函数，曲线在处的切线为．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，证明．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4—4：坐标系与参数方程.
在极坐标系中，点 的坐标是 ，曲线 的方程为 . ，以极点为坐标原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，斜率为的直线经过点.
（1）写出直线的参数方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线和曲线相交于两点，求的值.
23. 选修4—5：不等式选讲.
已知函数，不等式对恒成立.
(1)求的取值范围；
(2) 记的最大值为，若正实数满足，求证：.
高三文数期中考试答案
一． 选择题：ACCBAC CBBDAC
二． 填空题：，10，，
三． 解答题：
17.
18.
，
19.解析：(1)由题意，得a3＋1＝a1＋5，a7＋1＝a1＋13，
所以由(a3＋1)2＝(a1＋1)·(a7＋1)，
得(a1＋5)2＝(a1＋1)·(a1＋13)，
解得a1＝3，所以an＝3＋2(n－1)，即an＝2n＋1。
(2)由(1)知an＝2n＋1，则Sn＝n(n＋2)，
＝，
Tn＝
＝
＝－。
20.
21.【解析】（1）函数定义域为，，由已知得，，得：，，所以，由得或，由得，所以函数的单调递增区间为，，单调递减区间为．
（2）由，
令，，因为（），所以，所以在上为增函数，所以（时取“＝”），而，由
， 得：，所以时，，时，，所以在为增函数，在为减函数，而，，所以（时取“＝”），
所以，即：
22【试题解析】解(1)由曲线的极坐标方程可得，，因此曲线的直角坐标方程为
点的直角坐标为，直线的倾斜角为，所以直线的参数方程为为参数. (5分)
(2) 将为参数代入，有，
设，对应参数分别为，有，根据直线参数方程的几何意义有，=. (10分)
23.【试题解析】(1)，所以. (5分)
(2)由(1)知所以
因为，所以，又因为，所以 （当且仅当时取“”）.