2017高考数学（理,江苏）二轮专题复习与策略（教师用书） 第1部分 专题2 第10讲 高考中的三角函数 11页

第 10 讲 高考中的三角函数 题型一| 三角恒等变换 (2016·南京盐城二模)已知α为锐角， cos α＋π 4 ＝ 5 5 . (1)求 tan α＋π 4 的值； (2)求 sin 2α＋π 3 的值． [解] (1)因为α∈ 0，π 2 ，所以α＋π 4 ∈ π 4 ，3π 4 ， 所以 sin α＋π 4 ＝ 1－cos2 α＋π 4 ＝2 5 5 ， 3 分 所以 tan α＋π 4 ＝ sin α＋π 4 cos α＋π 4 ＝2. 6 分 (2)因为 sin 2α＋π 2 ＝sin 2 α＋π 4 ＝ 2sin α＋π 4 cos α＋π 4 ＝4 5 ， 9 分 cos 2α＋π 2 ＝cos 2 α＋π 4 ＝2cos2 α＋π 4 －1＝－3 5 ， 12 分 所以 sin 2α＋π 3 ＝sin 2α＋π 2 －π 6 ＝ sin 2α＋π 2 cosπ 6 －cos 2α＋π 2 sinπ 6 ＝4 3＋3 10 . 14 分 【名师点评】 1.本题(2)在求解中，从角“2α＋π 3 ”与角“α＋π 4 ”的关系入 手，先求 cos 2α＋π 2 ，再求 sin 2α＋π 3 的值，避免了复杂的运算． 2．三角变换的关键在于对两角和与差的正弦、余弦、正切公式，二倍角公 式，三角恒等变换公式的熟记和灵活应用，要善于观察各个角之间的联系，发现 题目所给条件与恒等变换公式的联系． 已知 0＜α＜π 2 ＜β＜π，tanα 2 ＝1 2 ，cos(β－α)＝ 2 10. (1)求 sin α的值； (2)求β的值． [解] (1)∵tanα 2 ＝1 2 ，∴tan α＝ 2tanα 2 1－tan2α 2 ＝ 2×1 2 1－ 1 2 2 ＝4 3. 3 分 由 tan α＝sin α cos α ＝4 3 ， sin2α＋cos2α＝1， 5 分 解得 sin α＝4 5 sin α＝－4 5 舍去 . 6 分 (2)由(1)可知 cos α＝ 1－sin2α＝ 1－ 4 5 2＝3 5 ， 又 0＜α＜π 2 ＜β＜π， 8 分 ∴β－α∈(0，π)， 而 cos(β－α)＝ 2 10 ， 10 分 ∴sin(β－α)＝ 1－cos2β－α＝ 1－ 2 10 2＝7 2 10 . 11 分 ∴sin β＝sin[α＋(β－α)] ＝sin αcos(β－α)＋cos αsin(β－α) ＝4 5 × 2 10 ＋3 5 ×7 2 10 ＝ 2 2 . 13 分 又β∈ π 2 ，π ，故β＝3π 4 . 14 分 题型二| 正、余弦定理 在△ABC 中，已知AB→·AC→＝3BA→·BC→. (1)求证：tan B＝3tan A； (2)若 cos C＝ 5 5 ，求 A 的值． [解题指导] (1)AB→·AC→＝3BA→·BC→ ―――――→数量积的定义 AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B ―――→正弦定理证明 tan B＝3tan A (2)cos C ――→同角关系tan C ――→诱导公式tan(A＋B) ――→正切公式tan A ――→A 的范围求 A. [解] (1)证明：因为AB→·AC→＝3BA→·BC→，所以 AB·AC·cos A＝3BA·BC·cos B， 2 分 即 AC·cos A＝3BC·cos B．由正弦定理知 AC sin B ＝ BC sin A ， 从而 sin Bcos A＝3sin Acos B． 4 分 又因为 00，cos B>0， 所以 tan B＝3tan A． 6 分 (2)因为 cos C＝ 5 5 ，00，所以 tan A＝1，所以 A＝π 4. 14 分 【名师点评】 求解此类问题的关键是将几何问题代数化，基本工具是正(余) 弦定理． 若要把“边”化为“角”，常利用 a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C， 若要把“角”化为“边”，常利用 sin A＝ a 2R ，sin B＝ b 2R ，sin C＝ c 2R ，cos C＝ a2＋b2－c2 2ab 等． 在锐角△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，且(b2＋c2－a2)tan A ＝ 3bc. (1)求角 A； (2)若 a＝2，求△ABC 的面积 S 的最大值． 【导学号：19592032】 [解] (1)由已知得b2＋c2－a2 2bc ·sin A cos A ＝ 3 2 ，所以 sin A＝ 3 2 ， 4 分 又因为△ABC 为锐角三角形，所以 A＝60°. 6 分 (2)因为 a＝2，A＝60°，所以 b2＋c2＝bc＋4，S＝1 2bcsin A＝ 3 4 bc， 8 分 而 b2＋c2≥2bc⇒bc＋4≥2bc⇒bc≤4， 10 分 又 S＝1 2bcsin A＝ 3 4 bc≤ 3 4 ×4＝ 3. 13 分 所以△ABC 的面积 S 的最大值等于 3. 14 分 题型三| 正、余弦定理的实际应用 (2016·无锡期中)如图 10－1，某自行车手从 O 点出发，沿折线 O－A －B－O 匀速骑行，其中点 A 位于点 O 南偏东 45°且与点 O 相距 20 2千米．该 车手于上午 8 点整到达点 A,8 点 20 分骑至点 C，其中点 C 位于点 O 南偏东(45° －α)(其中 sin α＝ 1 26 ，0°＜α＜90°)且与点 O 相距 5 13千米(假设所有路面及观 测点都在同一水平面上)． 图 10－1 (1)求该自行车手的骑行速度； (2)若点 O 正西方向 27.5 千米处有个气象观测站 E，假定以点 E 为中心的 3.5 千米范围内有长时间的持续强降雨．试问：该自行车手会不会进入降雨区，并说 明理由． [解] (1)由题意知，OA＝20 2，OC＝5 13，∠AOC＝α，sin α＝ 1 26. 由于 0°＜α＜90°，所以 cos α＝ 1－ 1 26 2＝5 26 26 . 3 分 由余弦定理，得 AC＝ OA2＋OC2－2OA·OC·cos α＝5 5. 5 分 所以该自行车手的行驶速度为5 5 1 3 ＝15 5(千米/小时). 6 分 (2)如图，设直线 OE 与 AB 相交于点 M.在△AOC 中，由余弦定理，得： cos∠OAC＝OA2＋AC2－OC2 2OA·AC ＝202×2＋52×5－52×13 2×20 2×5 5 ＝3 10 10 ， 从而 sin∠OAC＝ 1－cos2∠OAC＝ 1－ 9 10 ＝ 10 10 . 9 分 在△AOM 中，由正弦定理，得： OM＝ OAsin∠OAM sin45°－∠OAM ＝ 20 2× 10 10 2 2 3 10 10 － 10 10 ＝20. 12 分 由于 OE＝27.5＞20＝OM，所以点 M 位于点 O 和点 E 之间，且 ME＝OE－ OM＝7.5. 过点 E 作 EH⊥AB 于点 H，则 EH 为点 E 到直线 AB 的距离. 14 分 在 Rt△EHM 中， EH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin∠EMH＝EM·sin(45°－∠OAC)＝7.5× 5 5 ＝3 5 2 ＜3.5. 所以该自行车手会进入降雨区. 16 分 【名师点评】 借助正、余弦定理解决与实际生活有关的数学问题是高考的 一个命题热点，解题的关键是将问题转化到平面图形(如三角形、四边形等)中， 然后借助正、余弦定理解题． (2016·扬州期中)有一块三角形边角地，如图 10－2，△ABC 中，其中 AB＝ 8(百米)，AC＝6(百米)，∠A＝60°.某市为迎接 2500 年城庆，欲利用这块地修一 个三角形形状的草坪(图中△AEF)供市民休闲，其中点 E 在边 AB 上，点 F 在边 AC 上．规划部门要求△AEF 的面积占△ABC 面积的一半，记△AEF 的周长为 l(百 米)． 图 10－2 (1)如果要对草坪进行灌溉，需沿△AEF 的三边安装水管，求水管总长度 l 的最小值； (2)如果沿△AEF 的三边修建休闲长廊，求长廊总长度 l 的最大值，并确定此 时 E，F 的位置． [解] (1)设 AE＝x(百米)， ∵S△AEF＝1 2S△ABC， ∴1 2AE·AF·sin A＝1 2 ×1 2AB·AC·sin A． 2 分 ∵AB＝8，AC＝6，∴AF＝24 x . ∵ 0＜x≤8， 0＜24 x ≤6， ∴4≤x≤8. 3 分 在△AEF 中，EF2＝x2＋ 24 x 2－2x·24 x cos 60°＝x2＋242 x2 －24， ∴l＝x＋24 x ＋ x2＋242 x2 －24，x∈[4,8]， 5 分 l＝x＋24 x ＋ x2＋242 x2 －24≥2 24＋ 2×24－24＝6 6，当且仅当 x＝2 6时 取“＝”， ∴lmin＝6 6. 6 分 (2)由(1)知：l＝x＋24 x ＋ x2＋242 x2 －24，x∈[4,8]． 令 t＝x＋24 x ，x∈[4,8]，∴t′＝1－24 x2 ＝x2－24 x2 ＝x－2 6x＋2 6 x2 . 9 分 列表得： x (4,2 6) 2 6 (2 6，8) t′ － 0 ＋ t 极小值 4 6 且 x＝4 时，t＝10；x＝8 时，t＝11，则 t∈[4 6，11]． l＝t＋ t2－72在[4 6，11]上单调递增，∴当 t＝11 时，lmax＝18，此时 AE＝ 8，AF＝3， 13 分 答：水管总长度 l 的最小值为 6 6百米；当点 E 在 A 处，点 F 在线段 AC 的 中点时，长廊总长度 l 的最大值为 18 百米. 14 分 命题展望 从近五年的高考试题看，三角恒等变换及正、余弦定理的交汇成为江苏高考 的一个测重点，该类题目侧重于学生的双基，属送分题目.2017 年该点依然是命 题点应加强训练． (2016·江苏高考)在△ABC 中，AC＝6，cos B＝4 5 ，C＝π 4. (1)求 AB 的长；(2)求 cos A－π 6 的值． [解] (1)因为 cos B＝4 5 ，0