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- 2024-03-11 发布
思南中学2018~2019学年5月月考试题
高二年级数学理科试题
一、单选题（大题共12本小题，每题5分，共60分)
1．已知回归直线方程中斜率的估计值为，样本点的中心，则回归直线方程为（ ）
A． B．
C． D．
2．5名同学分给三个班级每个班至少一人共有（ ）种方法
A．150 B．120 C．90 D．160
3．在建立两个变量与的回归模型中，分别选择了4个不同的模型，结合它们的相关指数判断，其中拟合效果最好的为（ ）
A．模型1的相关指数为0.85 B．模型2的相关指数为0.25
C．模型3的相关指数为0.7 D．模型4的相关指数为0.3
4．从一楼到二楼共有12级台阶，可以一步迈一级也可以一步迈两级，要求8步从一楼到二楼共有（ ）走法。
A．12 B．8. C．70. D．66
5．鞋柜里有4双不同的鞋，从中随机取出一只左脚的，一只右脚的，恰好成双的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．由1、2、3、4、5、6组成没有重复数字且1、3都不与5相邻的六位偶数的个数是
A．72 B．96
C．108 D．144
7．某年高考中，某省10万考生在满分为150分的数学考试中，成绩分布近似服从正态分布，则分数位于区间分的考生人数近似为（ ）
（已知若，则， ， ）
A．1140 B．1075 C．2280 D．2150
8．已知，则的值为（ ）
A．39 B．310 C．311 D．312
9．在二项式的展开式中，二项式系数的和为256，把展开式中所有的项重新排成一列，有理项都互不相邻的概率为( )
A． B． C． D．
10．已知三个正态分布密度函数（, ）的图象如图所示,则（ ）
A．,
B．,
C．,
D．,
11．将三颗骰子各掷一次，记事件A＝“三个点数都不同”， B＝“至少出现一个６点”，则条件概率，分别是（ ）
A．， B．， C．， D．，
12．已知函数，若方程恰有四个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共4小题，每题5分)
13．从标有，，，，的五张卡中，依次抽出
张，则在第一次抽到奇数的情况下，第二次抽到偶数的概率为________；
14．某公司安排甲、乙、丙、丁4人去上海、北京、深圳出差，每人仅出差一个地方，每个地方都需要安排人出差，若甲不安排去北京，则不同的安排方法有__________种．
15．随机变量ξ的取值为0，1，2，若，则________.
16．（理）一个均匀小正方体的六个面中，三个面上标以数0，两个面上标以数1,一个面上标以数2，将这个小正方体抛掷2次，则向上的数之积的数学期望是
三、解答题（其中17题10分，其余各题每题12分)
17．已知有6名男医生,4名女医生.
(1)选3名男医生,2名女医生,让这5名医生到5个不同地区去巡回医疗,一个地区去一名教师，共有多少种分派方法?
(2)把10名医生分成两组,每组5人且每组都要有女医生,共有多少种不同的分法?若将这两组医生分派到两地去,又有多少种分派方法?
18．甲、乙两位同学进行篮球三分球投篮比赛，甲每次投中的概率为，乙每次投中的概率为，每人分别进行三次投篮．
（I）记甲投中的次数为，求的分布列及数学期望；
（Ⅱ）求乙至多投中2次的概率；
（Ⅲ）求乙恰好比甲多投进2次的概率．
19．英语老师要求学生从星期一到星期四每天学习3个英语单词：每周五对一周内所学单词随机抽取若干个进行检测（一周所学的单词每个被抽到的可能性相同）
（I）英语老师随机抽了个单词进行检测，求至少有个是后两天学习过的单词的概率；
（Ⅱ）某学生对后两天所学过的单词每个能默写对的概率为，对前两天所学过的单词每个能默写对的概率为，若老师从后三天所学单词中各抽取一个进行检测，求该学生能默写对的单词的个数的分布列和期望。
20．（本小题满分12分）
某高校设计了一个实验学科的实验考查方案：考生从6道备选题中一次性随机抽取3题，按照题目要求独立完成全部实验操作。规定：至少正确完成其中2题的便可提交通过。已知6道备选题中考生甲有4道题能正确完成，2道题不能完成；考生乙每题正确完成的概率都是
，且每题正确完成与否互不影响。
（Ⅰ）分别写出甲、乙两考生正确完成题数的概率分布列，并计算数学期望；
（Ⅱ）试从两位考生正确完成题数的数学期望及至少正确完成2题的概率分析比较两位考生的实验操作能力．
21．全民健身倡导全民做到每天参加一次以上的体育健身活动，旨在全面提高国民体质和健康水平.某部门在该市2013-2018年发布的全民健身指数中，对其中的“运动参与评分值”（满分100分）进行了统计，制成如图所示的散点图.
（1）根据散点图，建立关于的回归方程；
（2）从该市的市民中随机抽取了容量为150的样本，其中经常参加体育锻炼的人数为50，以频率为概率，若从这150名市民中随机抽取4人，记其中“经常参加体育锻炼”的人数为，求的分布列和数学期望.
附：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为，.
22．已知函数（为自然对数的底数）.
（1）当时，求函数的极值；
（2）若不等式在区间内有解，求实数的取值范围.
参考答案
1．A 2．A 3．A 4．C 5．A 6．C 7．C 8．D 9．D 10．D
11．A 12．A
13． 14．24 15． 16．.
17．（1）14400；（2）120，240
解：(1)共有=14400(种)分派方法.
(2)把10名医生分成两组.每组5人,且每组要有女医生,有=120(种)不同的分法;若将这两组医生分派到两地去,则共有120=240(种)分派方法.
18．（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）
解：（Ⅰ）的可能取值为：0,1,2,3
的分布列如下表：
0
1
2
3
p
所以
（Ⅱ）乙至多投中2次的概率为．
（Ⅲ）设乙比甲多投中2次为事件，乙恰投中2次且甲恰投中0次为事件，乙恰投中3次且甲恰投中1次为事件，
则，、为互斥事件
所以乙恰好比甲多投中2次的概率为．
19．（I），（Ⅱ）分布列见解析，期望为
解（Ⅰ）设英语老师抽到的4个单词中，至少含有个后两天学过的事件为，则由题意可得
（Ⅱ）由题意可得ξ可取0，1，2，3，
则有
，
，
所以的分布列为：
0
1
2
3
故.
20．（1）见解析；（2）见解析
解：（Ⅰ）设考生甲、乙正确完成实验操作的题数分别为，，则的取值分别为1、2、3，的取值分别,0、1、2、3，
所以考生甲正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
1
2
3
P
………………5分
因为,所以考生乙正确完成实验操作的题数的概率分布列为：
0
1
2
3
P
………………8分
（Ⅱ）因为
所以………………10分
从做对题的数学期望考察，两人水平相当；从至少正确完成2题的概率考察，甲通过的可能性大，因此可以判断甲的实验操作能力较强。 ………………10分
21．（1）；
（2）的分布列如下：
.
解（1）由题意得:
，
.
则.
∴所求回归方程为.
（2）以频率为概率，从这150名市民中随机抽取人，经常参加体育锻炼的概率为，由题知，的可能取值为0，1，2，3，4.则
.
的分布列如下：
∴或
22．(1)极小值，无极大值. (2) 或
解（1）当时，，
当,；当时，.
即函数有极小值，无极大值.
（2）在区间内有解在区间内有解，即求时，
即可
令，
当时，在递减，
则 ；
当时，在递减，在递增
①当时，
②当时，，
又
综上，或