数学卷·2018届山东省青岛第五十八中学高二上学期期中考试数学 （解析版）x 11页

‎2016-2017学年山东省青岛第五十八中学高二上学期期中考试数学 一、选择题：共12题 ‎ ‎1．某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积是 A.‎2π+‎‎4‎‎3‎ B.‎4π+‎‎4‎‎3‎ C.‎4π+4‎ D.‎‎2π+4‎ ‎【答案】A ‎【解析】本题主要考查空间几何体的三视图、表面积与体积，考查了空间想象能力.由三视图可知，该几何体是：由一个三棱锥与一个圆柱的四分之一组成的组合体，其体积为V=‎‎1‎‎4‎‎×π×‎2‎‎2‎×2+‎1‎‎3‎×‎1‎‎2‎×2×2×2=2π+‎‎4‎‎3‎ ‎2．对于用“斜二测画法”画平面图形的直观图,下列说法正确的是 A.等腰三角形的直观图仍为等腰三角形 B.梯形的直观图可能不是梯形 C.正方形的直观图为平行四边形 D.正三角形的直观图一定为等腰三角形 ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查斜二测画法的定义与性质.由斜二测画法可知，互相平行的线段在直观图中还互相平行，因此C正确.‎ ‎3．直线x+ay+1=0与直线(a+1)x-2y+3=0互相垂直,则a的值为 A.-2 B.-1 C.1 D.2‎ ‎【答案】C ‎【解析】依题意得1×(a+1)-2a=0,由此解得a=1,选C.‎ ‎4．已知三棱锥D-ABC中,AB=BC=1,AD=2,BD=‎5‎,AC=‎2‎,BC⊥AD,则三棱锥的外接球的表面积为 A.‎ ‎6‎π B.‎6π C.‎5π D.‎‎8π ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查线面垂直的判定定理、空间几何体、球的表面积与体积，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.由AB=BC=1，AC=‎‎2‎可知‎ BC⊥AB,又因为BC⊥AD,所以BC⊥平面ABD,‎ BC⊥BD,在三角形ABD中，利用余弦定理可得cos∠ABD=‎‎5‎‎5‎,则sin∠ABD=‎‎2‎‎5‎‎5‎,由正弦定理可得三角形ABD的外接圆的直径2r=‎ ADsin∠ABD‎=‎‎5‎，所以球的直径的平方4R2=(2r)2+BC2=6,所以三棱锥的外接球的表面积为4πR2=‎‎6π ‎ ‎ ‎5．直线‎2x+3y-6=0‎分别交x轴和y轴于A、B两点,P是直线y=-x上的一点,要使‎|PA|+|PB|‎最小,则点P的坐标是 A.‎ (-1,1)‎ B.‎ (0,0)‎ C.‎ (1,-1)‎ D.‎‎ (‎1‎‎2‎,-‎1‎‎2‎)‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查两条直线的位置关系、中点坐标公式，考查了计算能力.由题意可得A(3,0),B(0,2),设点A关于直线y=-x的对称点为C，则C(0,‎ -3‎),则PA‎+PB=|PC|+|PB|‎,当P、B、C三点共线时，‎|PC|+|PB|‎的值最小，最小值为BC‎=5‎,解方程组y=-xx=0‎可得点P的坐标为(0,0),故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎6．如图,在棱长为1的正方体ABCD-‎A‎1‎B‎1‎C‎1‎D‎1‎中,E,F分别为棱AA‎1‎,‎C‎1‎D‎1‎的中点,G是侧面BCC‎1‎B‎1‎的中心,则空间四边形AEFG在正方体的六个面上的射影图形面积的最大值是 A.‎1‎‎4‎ B.‎3‎‎8‎ C.‎1‎‎2‎ D.‎‎5‎‎8‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查空间几何体、投影，考查了空间想象能力.根据题意，空间四边形AEFG在上下底面上的投影是全等三角形，面积为‎3‎‎8‎；同理在左右侧面上的投影的面积均为‎1‎‎4‎；在前后侧面上的投影的面积均为‎1‎‎2‎，因此答案为C.‎ ‎ ‎ ‎7．过点‎(0,1)‎的直线与圆x‎2‎‎+y‎2‎=4‎相交于A,B两点,则‎|AB|‎的最小值为 A.2 B.‎2‎‎3‎ C.3 D.‎‎2‎‎5‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、弦长的求法，考查了逻辑推理能力.由题意可知，当点A与圆心(0,0)的连线和过A的直线垂直时，|AB|最小，此时，|AB|=‎2‎4-1‎=2‎‎3‎,故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎8．下列说法错误的是 A.若直线a‎/‎平面α,直线b‎/‎平面α,则直线a不一定平行于直线b B.若平面α不垂直于平面β,则α内一定不存在直线垂直于平面β C.若平面α⊥‎平面β,则α内一定不存在直线平行于平面β D.若平面α⊥‎平面v,平面β⊥‎平面v,α∩β=l,则l一定垂直于平面v ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.A.平行于同一个平面的两条直线不一定平行，故A正确；B.由两个平面垂直的判定定理可知，B正确；D.由面面垂直的性质定理可得l一定垂直于平面v，故D正确，因此答案为C.‎ ‎ ‎ ‎9．若m,n满足m+2n-1=0‎, 则直线mx+3y+n=0‎过定点 A.‎ (‎1‎‎2‎,‎1‎‎6‎)‎ B.‎ (‎1‎‎2‎,-‎1‎‎6‎)‎ C.‎ (‎1‎‎6‎,-‎1‎‎2‎)‎ D.‎‎ (-‎1‎‎6‎,‎1‎‎2‎)‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题主要考查直线方程，考查了逻辑思想.因为m+2n-1=0‎，所以m=1-2n，则直线mx+3y+n=0‎可化为x+3y+(-2x+1)n=0‎,则x+3y=0‎‎-2x+1=0‎,求解可得x=‎‎1‎‎2‎y=-‎‎1‎‎6‎，故答案为B.‎ ‎ ‎ ‎10．已知圆心‎(2,-3)‎,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,则这个圆的方程是 A.‎ x‎2‎+y‎2‎-4x+6y+8=0‎ B.‎‎ x‎2‎+y‎2‎-4x+6y-8=0‎ C.‎ x‎2‎+y‎2‎-4x-6y=0‎ D.‎‎ x‎2‎+y‎2‎-4x+6y=0‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查中点坐标公式、圆的方程，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为圆心‎(2,-3)‎,一条直径的两个端点恰好在两坐标轴上,所以，由中点坐标公式可得这条直径的两个端点的坐标分别为(4,0),(0,-6),所以圆的半径r=‎13‎，所以圆的方程‎(x-2)‎‎2‎‎+‎(y+3)‎‎2‎=13‎,即x‎2‎‎+y‎2‎-4x+6y=0‎，故答案为D.‎ ‎ ‎ ‎11．已知两定点A(-2,0),B(1,0),如果动点P满足|PA|=2|PB|,则点P的轨迹所包围的图形的面积等于(　　)‎ A.π B.4π C.8π D.9π ‎【答案】B ‎【解析】设点P的坐标为(x,y),则(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],即(x-2)2+y2=4,所以点P的轨迹是以(2,0)为圆心,2为半径长的圆,所以点P的轨迹所包围的图形的面积等于4π.‎ ‎ ‎ ‎12．如图在棱长均为2的正四棱锥P-ABCD中,点E为PC中点,则下列命题正确的是 A.BE//‎面PAD,且直线BE到面PAD距离为‎3‎ B.BE//‎面PAD,且直线BE到面PAD距离为‎2‎‎6‎‎3‎ C.BE不平行于面PAD,且BE与平面PAD所成角大于‎30‎‎°‎ D.BE不平行于面PAD,且BE与平面PAD所成角小于‎30‎‎°‎ ‎【答案】D ‎【解析】本题主要考查线面平行的判定与性质、直线与平面的距离、直线与平面所成的角，考查了空间想象能力与逻辑推理能力.取PD的中点F，连接EF、AF，易得EF//AB,且EF=‎1‎‎2‎AB，即四边形ANEF是梯形，即AF与BE相交，则BE与平面PAD不平行，故A、B错误；设点B到平面PAD的距离为d，因为VP-ABD=VB-PAD，所以‎1‎‎3‎‎×‎1‎‎2‎×2×2×‎2‎=‎1‎‎3‎×‎3‎‎4‎×‎2‎‎2‎d,则d=‎2‎‎6‎‎3‎，易知点E到平面PAD的距离为‎6‎‎3‎，所以BE与平面PAD所成角的正弦值为‎2‎‎6‎‎3‎‎-‎‎6‎‎3‎‎3‎‎=‎2‎‎3‎<‎‎1‎‎2‎ ‎,所以BE与平面PAD所成角小于‎30‎‎°‎，即C错误，D正确.‎ 二、填空题：共4题 ‎13．如图所示,AB是⊙O的直径,PA⊥‎⊙O,C为圆周上一点,若AB=5cm,AC=2cm,则B点到平面PAC的距离为                 。‎ ‎【答案】‎‎21‎cm ‎【解析】本题主要考查点到平面的距离、线面垂直的判定与性质,考查了逻辑推理能力与空间想象能力.因为PA⊥‎⊙O,所以PA⊥‎BC,又因为AC⊥BC,所以BC⊥‎平面PAC,即BC是点B到平面PAC的距离，由勾股定理可得BC=‎‎21‎cm ‎ ‎ ‎14．若直线‎2ax-by+2=0(a>0,b>0)‎ 经过圆x‎2‎‎+y‎2‎+2x-4y+1=0‎ 的圆心,则‎1‎a‎+‎‎1‎b 的最小值是           ‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】本题主要考查直线与圆的位置关系、基本不等式的应用，考查了逻辑推理能力与计算能力.因为直线‎2ax-by+2=0(a>0,b>0)‎ 经过圆x‎2‎‎+y‎2‎+2x-4y+1=0‎ 的圆心,所以‎-2a-2b+2=0‎，即a+b=1,则‎1‎a‎+‎1‎b=‎1‎a‎+‎‎1‎ba+b=2+ba+ab≥2+2ba‎·‎ab=4‎，当且仅当ba‎=‎ab，即a=b=‎1‎‎2‎时，等号成立.‎ ‎ ‎ ‎15．已知线段AB,CD分别在两条异面直线上,M,N分别是线段AB,CD的中点,则MN　　　 (AC+BD)(填“>”“<”或“=”).‎ ‎【答案】<‎ ‎【解析】本题主要考查空间点线面的位置关系，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.如图，四面体ABCD，取E为BC的中点，连接ME、NE，则MN1,b>3,由(1)知，‎1‎a‎+‎3‎b=1‎，‎ 化简可得b-3=‎‎3‎a-1‎,则 ‎(PA⋅PB)‎‎2‎‎=[‎(a-1)‎‎2‎+9][‎(b-3)‎‎2‎+1]‎ ‎=a-1‎‎2‎‎+9‎‎9‎a-1‎‎2‎‎+1‎=‎‎18+a-1‎‎2‎+‎‎81‎a-1‎‎2‎ ‎≥18+2‎81‎=36‎‎,‎ 当且仅当a=4‎时等号成立,‎ ‎∴PA⋅PB的最小值为6.‎ ‎【解析】本题主要考查直线方程、基本不等式、两点间的距离公式，考查了逻辑推理能力与计算能力.(1)设直线方程为xa‎+yb=1‎，由题意可得‎1‎a‎+‎3‎b=1, ‎1‎‎2‎ab=6‎，联立求解可得结论；(2)由题意可得‎1‎a‎+‎3‎b=1‎，则OA+OB=a+b=(a+b)(‎1‎a+‎3‎b)‎，展开化简，再利用基本不等式求解即可；(3)由两点间的距离公式化简可得 ‎(PA⋅PB)‎‎2‎‎=18+‎(a-1)‎‎2‎+‎‎81‎‎(a-1)‎‎2‎，再利用基本不等式求解即可.‎ ‎ ‎ ‎22．如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为菱形,‎∠ABC=‎π‎3‎, PA⊥底面ABCD, PA=AB=2‎,M为PA的中点,N为BC的中点 ‎(1)证明：直线MN‖平面PCD；‎ ‎(2)求异面直线AB与MD所成角的余弦值；‎ ‎(3)求点B到平面PCD的距离.‎ ‎【答案】(1)取PB中点Q,连接QM,QN,‎ ‎∵MQ‖AB,AB‖CD,∴MQ‖CD,‎ ‎∵NQ‖PC,∴平面MNQ‖平面PCD,∴MN‖‎平面PCD;‎ 解法二：取PD中点Q,连接QM,QC ‎∵‎MQ‖AD,AD‖CN,∴MQ‖CN又MQ=CN=‎1‎‎2‎AD ‎∴NM‖QC‎,又MN⊄‎平面PCD,CQ⊂平面PCD,‎∴MN‖‎平面PCD;.‎ ‎(2)‎‎∵CD‖AB,‎ ‎∴‎∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角),‎ ‎∵‎∠ABC=π‎3‎,∴AC=CD=AD=2‎,‎ ‎∵PA⊥平面ABCD,∴‎MA⊥AC,MA⊥AD 又MA=1,AC=AD=2,‎∴‎MC=MD=‎5‎,‎ CD=2‎‎,∴‎cos∠MDC=MD‎2‎+CD‎2‎-MC‎2‎‎2⋅MD⋅CD=‎‎5‎‎5‎ 所以AB与MD所成角余弦为‎5‎‎5‎.‎ ‎(3)∵AB//面PCD,∴点A和点B到平面PCD的距离相等,‎ 取CD的中点E,连结AE,PE,过A作AH⊥PE,垂足为H,‎ ‎∵‎∠ABC=π‎3‎,‎∴AC=CD=AD,‎∴‎AE⊥CD ‎∵PA⊥平面ABCD,∴PA⊥CD,‎∴CD⊥平面PAE,‎∴‎CD⊥PA ‎∴CD⊥‎平面PAE,‎∴‎CD⊥AH∴AH⊥平面PCD ‎∴AH即为点B到平面PCD的距离,‎ ‎∵PA=2,AE=‎‎3‎, PA⊥AE, ∴AH=PA×AEPA‎2‎‎+AE‎2‎=‎‎2‎‎21‎‎7‎.‎ ‎【解析】本题主要考查线面、面面平行与垂直的判定与性质、异面直线所成的角、点到直线的距离，考查了逻辑推理能力与空间想象能力.(1)法一：取PB中点Q,连接QM,QN,证明平面MNQ‖平面PCD,则结论易得；法二：取PD中点Q,连接QM,QC，证明NM‖QC,则结论易得；(2)‎ ∠MDC为异面直线AB与MD所成的角(或其补角),在三角形MDC中，利用余弦定理求出cos∠MDC即可；(3)易知点A和点B到平面PCD的距离相等, 取CD的中点E,连结AE,PE,过A作AH⊥PE,垂足为H,证明AH⊥平面PCD，求解即可.‎