2020版高中数学 第一章 解三角形 同步精选测试1 5页

同步精选测试　正弦定理 ‎(建议用时：45分钟)‎ ‎[基础测试]‎ 一、选择题 ‎1.在△ABC中，a＝4，∠A＝45°，∠B＝60°，则边b的值为(　　)‎ A.＋1 B.2＋1‎ C.2 D.2＋2 ‎【解析】　由已知及正弦定理，得＝，‎ ‎∴b＝＝＝2.‎ ‎【答案】　C ‎2.在△ABC中，若a＝2，b＝2，∠A＝30°，则∠B＝(　　)‎ A.60° B.60°或120°‎ C.30° D.30°或150°‎ ‎【解析】　由＝，得sin B＝＝＝.因为b＞a，所以∠B＞∠A，所以∠B＝60°或∠B＝120°.‎ ‎【答案】　B ‎3.若三角形三个内角之比为1∶2∶3，则这个三角形三边之比是(　　) ‎ ‎【导学号：18082057】‎ A.1∶2∶3 B.1∶∶2‎ C.2∶∶1 D.∶1∶2‎ ‎【解析】　设三角形内角A，B，C分别为x,2x,3x，‎ 则x＋2x＋3x＝180°，∴x＝30°.‎ 由正弦定理＝＝，‎ 可知a∶b∶c＝sin A∶sin B∶sin C，‎ ‎∴a∶b∶c＝sin 30°∶sin 60°∶sin 90°‎ ‎＝∶∶1＝1∶∶2.‎ ‎【答案】　B ‎4.在△ABC中，若3b＝2asin B，cos A＝cos C，则△ABC形状为(　　)‎ 5‎ A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等边三角形 D.等腰直角三角形 ‎【解析】　由正弦定理知b＝2R·sin B，a＝2R·sin A，‎ 则3b＝‎2a·sin B可化为：‎ ‎3sin B＝2sin A·sin B.‎ ‎∵0°<∠B<180°，‎ ‎∴sin B≠0，‎ ‎∴sin A＝，‎ ‎∴∠A＝60°或120°，‎ 又cos A＝cos C，‎ ‎∴∠A＝∠C，‎ ‎∴∠A＝60°，‎ ‎∴△ABC为等边三角形.‎ ‎【答案】　C 二、填空题 ‎5.在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝60°，c＝1，则最短边的边长等于________. ‎ ‎【导学号：18082058】‎ ‎【解析】　由三角形内角和定理知：A＝75°，由边角关系知∠B所对的边b为最小边，由正弦定理＝得b＝＝＝.‎ ‎【答案】　 ‎6.设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若a＝，sin B＝，∠C＝，则b＝________.‎ ‎【解析】　在△ABC中，∵sin B＝，0<∠B<π，‎ ‎∴∠B＝或∠B＝π.‎ 又∵∠B＋∠C<π，∠C＝，∴∠B＝，∴∠A＝π－－＝π.‎ ‎∵＝，∴b＝＝1.‎ ‎【答案】　1‎ 5‎ ‎7.在△ABC中，若b＝5，∠B＝，tan A＝2，则a＝________.‎ ‎【解析】　由tan A＝2，得sin A＝2cos A.又由sin‎2A＋cos‎2A＝1，得sin A＝.因为b＝5，∠B＝，根据＝，得a＝＝＝2.‎ ‎【答案】　2 三、解答题 ‎8.在△ABC中，已知＝＝，试判断△ABC的形状. ‎ ‎【导学号：18082059】‎ ‎【解】　令＝k，‎ 由正弦定理得a＝ksin A，b＝ksin B，c＝ksin C.‎ 代入已知条件，得＝＝，‎ 即tan A＝tan B＝tan C.‎ 又∠A，∠B，∠C∈(0，π)，‎ ‎∴∠A＝∠B＝∠C，∴△ABC为等边三角形.‎ ‎9.设锐角三角形ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，a＝2bsin A.‎ ‎(1)求角B的大小；‎ ‎(2)求cos A＋sin C的取值范围.‎ ‎【解】　(1)由a＝2bsin A及正弦定理，‎ 得sin A＝2sin Bsin A.‎ 因为sin A≠0，所以sin B＝.‎ 由△ABC为锐角三角形，得∠B＝.‎ ‎(2)cos A＋sin C＝cos A＋sin ‎＝cos A＋sin ‎＝cos A＋cos A＋sin A ‎＝sin.‎ 由△ABC为锐角三角形，知－∠B＜∠A＜.‎ 5‎ 又因为－∠B＝－＝，‎ 所以＜∠A＋＜，‎ 所以＜sin＜，‎ 所以＜sin＜，‎ 所以cos A＋sin C的取值范围是.‎ ‎[能力提升]‎ ‎1.在△ABC中，(b＋c)∶(a＋c)∶(a＋b)＝4∶5∶6，则sin A∶sin B∶sin C等于(　　)‎ A.4∶5∶6 B.6∶5∶4‎ C.7∶5∶3 D.7∶5∶6‎ ‎【解析】　设b＋c＝4k，a＋c＝5k，a＋b＝6k(k＞0)，三式联立可求得a＝k，b＝k，c＝k，∴a∶b∶c＝7∶5∶3，即sin A∶sin B∶sin C＝7∶5∶3.‎ ‎【答案】　C ‎2.在△ABC中，下列关系中一定成立的是(　　)‎ A.a>bsin A B.a＝bsin A C.a