江西省宜春市靖安县靖安中学2019-2020学年高二上学期月考数学（理）试题 21页

‎2019-2020学年上学期高二年级第二次月考数学（理）试卷 一、单选题（每小题5分，共60分）‎ ‎1.若命题：，，则该命题的否定是（ ）‎ A. ， B. ，‎ C. ， D. ，‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据全称与存在性命题互为否定的关系，准确改写，即可求解.‎ ‎【详解】由题意，根据全称与存在性命题关系，可得命题：，，则该命题的否定是“，”.‎ 故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含有一个量词的否定，其中解答中熟记全称命题和存在性命题的关系是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.‎ ‎2.公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】∵a3a11＝16，∴＝16.‎ 又∵an>0，∴a7＝4.‎ ‎∴a10＝a7×q3＝32.故5‎ 故选：B ‎3.已知椭圆上的一点到左焦点的距离为6，则点到右焦点的距离为（ ）‎ A. 4 B. 6 C. 7 D. 14‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据椭圆的定义可直接求得结果.‎ ‎【详解】由椭圆方程可知：‎ 由椭圆定义知：，即 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查利用椭圆的定义求解焦半径的问题，属于基础题.‎ ‎4.已知,则“”是“”的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 即不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求得不等式的解集为或，再结合充分条件和必要条件的判定，即可求解．‎ ‎【详解】由题意，不等式，等价与，即，解得或，‎ 所以“”是“”的充分不必要条件．‎ 故选A．‎ ‎【点睛】本题主要考查了充分条件、必要条件的判定，以及分式不等式的求解，其中解答中正确求解不等式的解集，合理利用充分、必要条件的判定方法是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．‎ ‎5.已知且满足,则的最小值为( )‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 1‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 用去乘，化简后利用基本不等式可求得最小值.‎ ‎【详解】依题意有.故选C.‎ ‎【点睛】本小题主要考查利用基本不等式求和的最小值问题.主要方法是利用“”的代换，将所求式子转化为可以用基本不等式的形式.属于基础题.在应用基本不等式来解题时，要注意的是最后的结果必须是定值，如本题如果直接用基本不等式，由于右边的结果不是常数，故不是最小值.‎ ‎6.椭圆和双曲线有相同的焦点，则实数n的值是(　　)‎ A. ±5 B. ±3‎ C. 5 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先根据椭圆的方程求得焦点坐标，进而可知双曲线的半焦距，根据双曲线的标准方程，求得n，答案可得．‎ ‎【详解】椭圆 得 ‎∴c1=，‎ ‎∴焦点坐标为（，0）（﹣，0），‎ 双曲线：有 则半焦距c2=‎ ‎∴‎ 则实数n=±3，‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查了圆锥曲线的共同特征，考查了椭圆双曲线的标准方程，在求曲线方程的问题中，巧识方程，解题时要充分注意．‎ ‎7.如图，分别是双曲线的左、右焦点，过的直线与 的左、右两 支分别交于点．若为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）‎ A. 4 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 为等边三角形，不妨设 为双曲线上一点，‎ 为双曲线上一点,‎ 由 在中运用余弦定理得：‎ ‎,‎ 故答案选 点睛：根据双曲线的定义算出各边长，由等边三角形求得内角，再利用余弦定理计算出离心率．‎ ‎8.如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，E、F、G分别是DC、AB、CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成角的余弦值是（ ）‎ A. 0 B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用向量加法运算将向量和用长方体的棱对应的向量来表示，之后应用向量数量积的定义式和运算法则求得其数量积等于0，从而得到两向量是垂直的，故得其夹角余弦值为0，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意可得，‎ ‎，‎ 从而得到和垂直，故其所成角的余弦值为0，‎ 故选A.‎ ‎【点睛】该题考查的是有关异面直线所成角的余弦值问题，涉及到的知识点是两向量的数量积为0，则其所成角为直角，从而得到其为垂直关系，还可以应用空间向量来解决.‎ ‎9.已知数列与前项和分别为，，且,，对任意的恒成立，则的最小值是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由与的关系式求的通项公式，于是可得的通项公式，再由裂项相消法求出，于是答案易得.‎ ‎【详解】因为,‎ 所以当时，，解得；‎ 当时，.‎ 所以.‎ 于是.‎ 由，可得，‎ 所以是首项为，公差为的等差数列，即.‎ 所以.‎ 所以 ‎.‎ 因为对任意的恒成立，‎ 所以，即的最小值是.故选C.‎ ‎【点睛】本题考查数列的综合问题，考查与的关系、等差数列的判定、裂项相消法求和、与数列有关的不等式恒成立问题，综合性较强.‎ ‎10.已知实数x，y满足约束条件若目标函数z＝y－ax(a≠0)取得最大值时的最优解有无数个，则a的值为（ ）‎ A. 2 B. 1‎ C. 1或2 D. －1‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出不等式组表示的可行域，由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z，因为要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，所以直线y＝ax＋z与直线AC或直线BC重合，检验即可求出符合题意的解．‎ ‎【详解】画出不等式组表示的可行域如图阴影部分所示.‎ 由z＝y－ax(a≠0)得y＝ax＋z.‎ 因为a≠0，所以要使z＝y－ax取得最大值时的最优解有无数个，故必有a>0.‎ ‎①当直线y＝ax＋z与直线AC重合，即a＝1时，直线y＝ax＋z在y轴上截距最大，此时z取得最大值，且最优解有无数个，符合条件；②当直线y＝ax＋z与直线BC重合时，直线y＝ax＋z在y轴上的截距最小，此时z取得最小值，不符合条件.故a＝1.‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查线性规划中目标函数取得最值时，有无数个最优解的问题解法．‎ ‎11.(2017·黄冈质检)如图，在棱长均为2的正四棱锥P－ABCD中，点E为PC的中点，则下列命题正确的是(　　)‎ A. BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为 B. BE∥平面PAD，且BE到平面PAD的距离为 C. BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角大于30°‎ D. BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 连接AC，BD，交点为O，连接OP，以O为坐标原点，OC，OD，OP所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，由正四棱锥P－ABCD的棱长均为2，点E为PC 的中点，知A(－，0,0)，B(0，－，0)，C(，0,0)，D(0，，0)，P(0,0，)，E，则 ＝，＝(－，0，－)，＝(0，，－)，设m＝(x，y，z)是平面PAD的法向量，则m⊥，且m⊥，即，令x＝1，则z＝－1，y＝－1，m＝(1，－1，－1)是平面PAD的一个法向量，设BE与平面PAD所成的角为θ，则sinθ＝，故BE与平面PAD不平行，且BE与平面PAD所成的角小于30°，故选D.‎ 点睛：(1)求出直线的方向向量与平面的法向量所夹的锐角后(求出是钝角时取其补角)，取其余角即为直线与平面所成的角．(2)若求线面角的余弦值，要注意利用平方关系sin2＋cos2＝1求出其值．不要误认为直线的方向向量与平面的法向量所成夹角的余弦值即为所求．‎ ‎12.已知椭圆方程为，和分别是椭圆的左右焦点.‎ ‎①若P是椭圆上的动点，延长到M，使，则M的轨迹是圆；‎ ‎②若是椭圆上的动点，则；‎ ‎③以焦点半径为直径的圆必与以长轴为直径的圆内切；‎ ‎④点P为椭圆上任意一点，则椭圆的焦点三角形的面积为 以上说法中，正确的有（ ）‎ A. ①③④ B. ①③ C. ②③④ D. ③④‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用椭圆的定义，判断①是否正确；利用椭圆的几何性质，判断②是否正确；根据两个圆的位置关系，判断③是否正确；利用椭圆的定义，结合余弦定理、三角形面积公式，计算出椭圆的焦点三角形的面积，由此判断④是否正确.‎ ‎【详解】对于①，根据椭圆的定义可知，所以，也即到的距离为定值，故的轨迹是圆，所以①正确.‎ 对于②，当为左顶点时，，当为右顶点时，，所以，所以②错误.‎ 对于③，以为直径的圆，圆心为，半径是.以长轴为直径的圆，圆心为，半径为.连接，则是三角形的中位线，由于，所以，即两圆圆心角等于两圆半径之差，故两个圆内切，故③正确.‎ 对于④，设，依题意（*），由余弦定理得（**），而三角形的面积为（***），将（*）、（**）、（***）联立化简得，.故④正确.所以正确的为①③④.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本小题主要考查椭圆的定义和几何性质，考查椭圆焦点三角形的面积，考查两个圆的位置关系，属于中档题.‎ 二、填空题 ‎13.已知等差数列的前n项和为，，，则的前n项和为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据求得，利用裂项求和法求得的前n项和.‎ ‎【详解】等差数列的前n项和为，，所以，故，所以，所以.，故的前n项和为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的运用，考查裂项求和法，属于基础题.‎ ‎14.已知直线，平分圆的周长，则取最小值时，双曲线的离心率为________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据直线平分圆，则直线过圆心，求得的关系式，利用基本不等式等号成立的条件求得的值，由此求得双曲线的离心率.‎ ‎【详解】圆的圆心为.由于直线直线，平分圆的周长，所以直线过圆心，即.‎ ‎，当且仅当时等号成立.故双曲线中，也即双曲线为等轴双曲线，故离心率为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本小题主要考查直线和圆的位置关系，考查基本不等式等号成立的条件，考查等轴双曲线的离心率，属于中档题.‎ ‎15.已知动点在椭圆上，若，点满足，且，则的最小值是 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由题，结合向量的性质，得到||2＝||2﹣||2＝||2﹣1，||越小，||越小，由数形结合可知，当P点为椭圆的右顶点时，可取得最小值．‎ ‎【详解】解：∵0，∴，‎ ‎∴||2＝||2﹣||2＝||2﹣1，‎ ‎∴点M的轨迹为以为以点A为圆心，1为半径的圆，‎ ‎∵||2＝||2﹣1，||越小，||越小，‎ 结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，‎ ‎||取最小值a﹣c＝5﹣3＝2，‎ ‎∴||最小值是．‎ 故选B．‎ ‎【点睛】本题主要考查椭圆上的线段长的最小值的求法，考查平面向量的数量积的性质和运用，解题时要认真审题，要熟练掌握椭圆的性质，是中档题．‎ ‎16.下列命题正确的有________（填序号）‎ ‎①已知或，，则p是q的充分不必要条件；‎ ‎②“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件；‎ ‎③中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，则“”是“为等腰三角形”的必要不充分条件；‎ ‎④若命题“函数的值域为”为真命题，则实数a的取值范围是.‎ ‎【答案】②‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据充分、必要条件的知识判断①②③的正确性；根据对数型函数值域为列不等式，解不等式求得的取值范围，由此判断④的正确性.‎ ‎【详解】对于①，：时，，即不能推出.所以不是的充分条件，故①错误.‎ 对于②，，，所以当周期为时，所以“函数的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故②正确.‎ 对于③，当时，由正弦定理得，即，所以或,也即三角形是等腰（）或直角三角形.当为等腰三角形时，可能.所以“”是“为等腰三角形”的非充分非必要条件.故③错误.‎ 对于④，由于为真命题，故函数的值域为，即，解得或，故④错误.‎ 故答案为：②‎ ‎【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查对数型函数值域问题，考查了三角函数周期，考查三角恒等变换，考查正弦定理等知识，属于中档题.‎ 三、解答题 ‎17.已知：关于的不等式对一切恒成立；：函数在上是减函数.若“或”为真,“且”为假,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出为真时的范围，然后结合“或”为真,“且”为假，确定一真一假，从而可得结果.‎ ‎【详解】解：设 因为关于的不等式对一切恒成立，‎ 所以函数的图像开口向上且与轴没有交点，‎ 故，‎ 所以，所以命题为真时.‎ 函数是减函数，‎ 则有，即.所以命题为真时 .‎ 又由于或为真，且为假，可知和为一真一假.‎ ‎①若真假，则此不等式组无解.‎ ‎②若假真，则，所以.‎ 综上可知，所求实数的取值范围为.‎ ‎【点睛】本题主要考查利用复合命题的真假来求解参数的范围.侧重考查逻辑推理和数学运算的核心素养.‎ ‎18.已知直三棱柱中，，，，G是和的交点，若.‎ ‎（1）求CA的长；‎ ‎（2）求二面角的平面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1)3 (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）以为空间坐标原点建立空间直角坐标系，利用列方程，解方程求得的长.‎ ‎（2）通过计算平面和平面的法向量，求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）分别以直线、、为轴建立空间直角坐标系，设，则，，，，，，，∴，，由于 ‎∴，∴，即CA的长为.‎ ‎（2）设平面的法向量为，,，令，则.‎ 设平面的法向量为，,‎ ‎，令，则.‎ 由图可知，二面角的大小为锐角，所以.‎ ‎【点睛】本小题主要考查空间向量法求线段长，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎19.已知，设是单调递减的等比数列的前n项和，且，，成等差数列.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）记数列的前n项和为，求证：对于任意正整数n，.‎ ‎【答案】(1) (2)证明见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用等差中项的性质列方程，化简求得的值，由此求得数列的通项公式.‎ ‎（2）利用错位相减求和法求得，由此证得不等式成立.‎ ‎【详解】（1）设数列的公比q，由，‎ 得，‎ 即，∴.是单调递减数列，∴，‎ ‎∴‎ ‎（2）由（1）知， ‎ 所以，，①‎ ‎，②‎ ‎②-①得：，，‎ ‎【点睛】本小题主要考查等差中项的性质，考查等比数列通项公式基本量的计算，考查错位相减求和法，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎20.双曲线的一条渐近线方程是，坐标原点到直线AB的距离为，其中，.‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）若是双曲线虚轴在y轴正半轴上的端点，过点B作直线交双曲线于点M，N，求时，直线MN的方程.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据双曲线的渐近线方程求得；求得直线的方程，利用原点到直线的距离列方程，由此求得的值，进而求得双曲线方程.‎ ‎（2）设出直线的方程，联立直线的方程和双曲线方程，写出韦达定理，根据得到，利用平面向量数量积的坐标运算化简，由此求得直线的斜率，进而求得直线的方程.‎ ‎【详解】（1）设直线，由题意，‎ ‎，∴，∴双曲线方程为.‎ ‎（2）由（1）得，，设，，设直线，‎ ‎∴‎ ‎∴，整理得①， ‎ ‎∴，，‎ ‎，.‎ ‎∵，，，‎ ‎∴，即，‎ 解得，∴代入①有解，∴.‎ ‎【点睛】本小题主要考查根据双曲线渐近线方程求双曲线方程，考查点到直线距离公式，考查直线和双曲线相交、韦达定理的运用，考查平面向量垂直的坐标表示，考查运算求解能力，属于中档题.‎ ‎21.如图，一个正和一个平行四边形ABDE在同一个平面内，其中，，AB，DE的中点分别为F，G.现沿直线AB将翻折成，使二面角为，设CE中点为H.‎ ‎（1）（i）求证：平面平面AGH；‎ ‎（ii）求异面直线AB与CE所成角的正切值；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】(1) （i）证明见解析；（ii） (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）（i）通过证明四边形为平行四边形证得；通过三角形中位线证得，由此证得平面平面AGH.‎ ‎（ii）根据和判断是两个异面直线与所成角.用勾股定理求得，利用余弦定理求得，由此求得异面直线与所成角正切值.‎ ‎（2）根据二面角的定义，判断出即为二面角的平面角，利用余弦定理求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）（i）证明：连FD.因为ABDE为平行四边形，F、G分别为AB、DE中点，‎ 所以FDGA为平行四边形，所以.- ‎ 又H、G分别为CE、DE的中点，所以. ‎ FD、平面AGH，AG、平面AGH，所以平面AGH，平面AGH，而FD、平面CDF，所以平面平面AGH. ‎ ‎（ii）因为，所以或其补角即为异面直线AB与CE所成的角. ‎ 因为ABC为正三角形，，F为AB中点，所以，,从而平面CFD，而，所以平面CFD，因为平面CFD，所以.- ‎ 由条件易得，，又为二面角平面角，所以，所以，所以. ‎ ‎（2）由（1）的（ii）知平面CFD，即，，所以即为二面角的平面角. ‎ ‎.‎ ‎【点睛】本小题主要考查面面平行的证明，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查二面角余弦值的计算，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.‎ ‎22.已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（）,且点F（，0）为其右焦点.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)是否存在直线与椭圆C交于B,D两点,满足,且原点到直线l的距离为？若存在,求出直线的方程；若不存在,请说明理由.‎ ‎【答案】(1)；(2)不存在符合条件的直线.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)求出左焦点的坐标,求出到左焦点距离,再求出到右焦点的距离,最后利用椭圆的定义求出椭圆方程；‎ ‎(2)假设存在这样的直线,设出直线的方程, 原点到直线l的距离为,可得到等式,该直线方程与椭圆方程联立,根据根的判别式,可以计算出直线l的斜率的取值范围,把向量式子 用数量积的坐标表示公式化简,结合根与系数关系可求出该直线的斜率,检验该值在不在斜率的取值范围中,最后再考虑直线不存在斜率的情况,这样就可以得出正确结论.‎ ‎【详解】(1)设椭圆C的方程为，则左焦点为，‎ 在直角三角形中，可求，∴，‎ 故椭圆C的方程为．‎ ‎(2)假设存在符合题意的直线l，其方程为，由原点到l的距离为得：‎ ‎．‎ 联立方程，得．‎ 则，，．‎ 设，，‎ 则，‎ 解得． ‎ 当斜率不存在时l的方程为，易求得.‎ 综上，不存在符合条件的直线.‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的定义,考查了直线与椭圆的位置关系,考查了平面向量数量积的运算坐标表示,考查了数学运算能力.‎ ‎ ‎