2021版高考数学一轮复习核心素养测评七十八参数方程理北师大版 3页

核心素养测评七十八 参数方程 ‎1.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数),以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=m.‎ ‎(1)求曲线C1的普通方程和曲线C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)若曲线C1与曲线C2有公共点,求实数m的取值范围.‎ ‎【解析】(1)由曲线C1的参数方程为 ‎(α为参数),‎ 可得其直角坐标方程为y=x2(-2≤x≤2),‎ 由曲线C2的极坐标方程为ρsin=m,可得其直角坐标方程为x-y+m=0.‎ ‎(2)联立曲线C1与曲线C2的方程,可得x2-x-m=0,‎ 所以m=x2-x=-,‎ 因为-2≤x≤2,曲线C1与曲线C2有公共点,‎ 所以-≤m≤6.‎ ‎2.(10分)在平面直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(θ为参数,θ∈[0,2π)),曲线C2的参数方程为(t为参数).‎ ‎(1)求曲线C1,C2的普通方程.‎ ‎(2)求曲线C1上一点P到曲线C2的距离的最大值.‎ - 3 -‎ ‎【解析】(1)由题意知,曲线C1的普通方程为x2+=1,‎ 曲线C2的普通方程为x+y+2=0.‎ ‎(2)设点P的坐标为(cos α,3sin α),则点P到直线C2的距离d=‎ ‎=,‎ 所以当sin=1,即α=时,dmax=2,‎ 即点P到曲线C2的距离的最大值为2.‎ ‎3.(10分)已知曲线C的极坐标方程是ρ=4cos θ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为x轴的正半轴,建立平面直角坐标系,直线l的参数方程是(t为参数). ‎ ‎(1)将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程.‎ ‎(2)若直线l与曲线C相交于A,B两点,且|AB|=,求直线l的倾斜角α的值.‎ ‎【解析】(1)由ρ=4cos θ得ρ2=4ρcos θ.‎ 因为x2+y2=ρ2,x=ρcos θ,y=ρsin θ,‎ 所以曲线C的直角坐标方程为x2+y2-4x=0,‎ 即(x-2)2+y2=4.‎ ‎(2)将 代入曲线C的方程得(tcos α-1)2+(tsin α)2=4,化简得t2-2tcos α-3=0.‎ 设A,B两点对应的参数分别为t1,t2,‎ 则 所以|AB|=|t1-t2|=‎ - 3 -‎ ‎==,‎ 所以4cos2α=2,cos α=±,α=或.‎ ‎4.(10分)在直角坐标系xOy中,曲线C1的参数方程为(α为参数).以坐标原点为极点,以x轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线C2的极坐标方程为ρsin=2. ‎ ‎(1)写出C1的普通方程和C2的直角坐标方程.‎ ‎(2)设点P在C1上,点Q在C2上,求|PQ|的最小值及此时P的直角坐标.‎ ‎【解析】(1)C1的普通方程为+y2=1,‎ C2的直角坐标方程为x+y-4=0.‎ ‎(2)由题意,可设点P的直角坐标为(cos α,sin α).‎ 因为C2是直线,所以|PQ|的最小值即为P到C2的距离d(α)的最小值,‎ d(α)==.‎ 当且仅当α=2kπ+(k∈Z)时,d(α)取得最小值,最小值为,此时P的直角坐标为.‎ - 3 -‎