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- 2024-03-10 发布
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山西省祁县中学 2018-2019 学年高二上学期期末模拟二考试
数学（理)试题
评卷人 得分
一、单选题
1．直线 的倾斜角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
由直线的方程可得斜率，由倾斜角和斜率的关系可得倾斜角．
【详解】
直线 x+y﹣3＝0 可化为 y x+3，
∴直线的斜率为 ，
设倾斜角为 α，则 tanα ，
又∵0≤α＜π，
∴α ，
故选：D．
【点睛】
本题考查直线的倾斜角，涉及倾斜角和斜率的关系，属于基础题．
2．命题“对任意 ，都有 ”的否定为（ ）
A．存在 ，都有 B．对任意 ，使得
C．存在 ，使得 D．不存在 ，使得
【答案】C
【解析】
【分析】
直接利用全称命题的否定是特称命题，写出命题的否定命题即可．
【详解】
因为全称命题的否定是特称命题，
所以命题“对任意 x∈R，都有 x2≥0”的否定为：存在 x0∈R，使得 x02＜0．
故选：C．
【点睛】
本题考查命题的否定，全称命题与特称命题的否定关系，基本知识的考查．
3．圆柱的底面半径为 1，母线长为 2，则它的侧面积为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据圆柱的侧面积公式，计算即可．
【详解】
圆柱的底面半径为 r＝1，母线长为 l＝2，
则它的侧面积为 S 侧＝2πrl＝2π×1×2＝4π．
故选：D．
【点睛】
本题考查了圆柱的侧面积公式应用问题，是基础题．
4．设 l，m，n 表示三条不同的直线， ， ， 表示三个不同的平面，给出下列四个命
题：
若 ， ， ，则 ；
若 ，n 是 l 在 内的射影， ，则 ；
若 ， ，则
其中真命题的个数为（ ）
A．2 B．1 C．0 D．3
【答案】A
【解析】
【分析】
①由二面角定义可知正确；②由三垂线定理可证；③可举反例说明错误．
【详解】
①由二面角定义可知若 m⊥l，则 α⊥β 正确；
②由三垂线定理知正确；
③正方体从同一个顶点出发的三个平面两两垂直，可知命题错误.
故选：A．
【点睛】
本题考查空间的线面位置关系，考查空间想象能力和逻辑推理能力．
5．直线 ： 与直线 ： 垂直，则直线 在 x 轴上的截距
是（ ）
A． B．2 C． D．4
【答案】C
【解析】
【分析】
利用直线 l1：（a+3）x+y﹣4＝0 与直线 l2：x+（a﹣1）y+4＝0 垂直，求出 a，再求出直
线 l1 在 x 轴上的截距．
【详解】
∵直线 l1：（a+3）x+y+4＝0 与直线 l2：x+（a﹣1）y+4＝0 垂直，
∴（a+3）+a﹣1＝0，
∴a＝﹣1，
∴直线 l1：2x+y+4＝0，
∴直线 l1 在 x 轴上的截距是-2，
故选：C．
【点睛】
本题考查直线垂直条件的运用，考查直线在 x 轴上的截距的定义和求法，属于基础
题．
6．已知平面 及平面 同一侧外的不共线三点 A，B，C，则“A，B，C 三点到平面 的距
离都相等”是“平面 平面 ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．充要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分又不必要件
【答案】B
【解析】
【分析】
根据充分必要条件的定义判断即可．
【详解】
已知平面 α 外不共线的三点 A、B、C 到 α 的距离都相等，
且三点在 α 的同侧，则直线 AB 平行于 α，直线 BC 平行于 α，即平面 ABC 平行于 α，
反之根据面面平行的定义可知成立，
故选：B．
【点睛】
本题考查了充分必要条件，考查线面，面面关系，是一道基础题．
7．在空间四边形 OABC 中， ， ， ，点 M 在线段 OA 上，且 ，
N 为 BC 的中点，则 等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
由题意结合图形，直接利用 ，求出 ，然后即可解答．
【详解】
因为空间四边形 OABC 如图， ， ， ，
点 M 在线段 OA 上，且 OM＝2MA，N 为 BC 的中点，
所以 ．
所以 ．
故选：B．
【点睛】
本题考查空间向量的基本运算，考查计算能力．
8．圆 上到直线 的距离等于 1 的点有（ ）
A．1 个 B．3 个 C．2 个 D．4 个
【答案】B
【解析】
【分析】
由圆的方程找出圆心 A 的坐标和半径 r＝3，然后由点到直线的距离公式求出圆心 A 到
已知直线的距离为 2，由 AE﹣AD＝DE，即 3﹣2＝1 求出 DE 的长，得到圆 A 上的点到
已知直线距离等于 1 的点有三个，如图，点 D，P 及 Q 满足题意．
【详解】
由圆的方程，得到圆心 A 坐标为（3，3），半径 AE＝3，
则圆心（3，3）到直线 3x+4y﹣11＝0 的距离为 d 2，即 AD＝2，
∴ED＝1，即圆周上 E 到已知直线的距离为 1，同时存在 P 和 Q 也满足题意，
∴圆上的点到直线 3x+4y﹣11＝0 的距离为 1 的点有 3 个．
故选：B．
【点睛】
本题考查了直线与圆的位置关系，以及点到直线的距离公式，考查了数形结合的数学思
想，是一道中档题．
9．已知椭圆 和点 、 ，若椭圆的某弦的中点在线段 AB 上，且此弦
所在直线的斜率为 k，则 k 的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
由题意设出椭圆 的某弦的两个端点分别为 P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为 M
（x0，y0），把 P、Q 的坐标代入椭圆方程，作差得到 PQ 的斜率与 AB 中点坐标的关系
得答案．
【详解】
设椭圆 的某弦的两个端点分别为 P（x1，y1），Q（x2，y2），中点为 M（x0，
y0），
则 ， ，
两式作差可得： ，
即 ，
由题意可知， y0≤1，
∴k （ y0≤1），则 k∈[﹣4，﹣2]．
故选：B．
【点睛】
本题考查椭圆的简单性质，训练了“中点弦”问题的求解方法，属于中档题．
10．已知椭圆 内有一点 ， ， 是其左、右焦点，M 为椭圆上的动点，
则 的最小值为（ ）
A．4 B． C． D．6
【答案】C
【解析】
【分析】
借助于椭圆的定义把| |+| |转化为 2a﹣（| |﹣| |），结合三角形中的两边之差
小于第三边得答案．
【详解】
| |+| |＝2a﹣（| |﹣| |）≥2a﹣| |＝8 2 6 ，
当且仅当 M，F2，B 共线时取得最小值 6 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查了与椭圆有关的最值的求法，考查了椭圆的定义的应用，考查了数学转化思想
方法，是中档题．
11．已知点 是抛物线 ： 的焦点，点 为抛物线 的对称轴与其准线的交点，过
作抛物线 的切线，切点为 ，若点 恰好在以 ， 为焦点的双曲线上，则双曲线的
离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
根据抛物线的性质，设出直线方程，代入抛物线方程，求得 k 的值，设出双曲线方程，
求得 2a＝丨 AF2 丨﹣丨 AF1 丨＝（ 1）p，利用双曲线的离心率公式求得 e．
【详解】
直线 F2A 的直线方程为：y＝kx ，F1（0， ），F2（0， ），
代入抛物线 C：x2＝2py 方程，整理得：x2﹣2pkx+p2＝0，
∴△＝4k2p2﹣4p2＝0，解得：k＝±1，
∴A（p， ），设双曲线方程为： 1，
丨 AF1 丨＝p，丨 AF2 丨 p，
2a＝丨 AF2 丨﹣丨 AF1 丨＝（ 1）p，
2c＝p，
∴离心率 e 1，
故选：D．
【点睛】
本题考查抛物线及双曲线的方程及简单性质，考查转化思想，考查计算能力，属于中档
题．
12．在底面是边长为 6 的正方形的四棱锥 P--ABCD 中，点 P 在底面的射影 H 为正方形
ABCD 的中心，异面直线 PB 与 AD 所成角的正切值为 ，则四棱锥 P--ABCD 的内切球与
外接球的半径之比为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
确定异面直线 PB 与 AD 所成角为∠PBC，取 BC 中点 E，则tan∠PBC ，求出 PE
＝5，HP＝4，可得四棱锥 P﹣ABCD 的表面积、体积，进而求出内切球的半径，利用勾
股定理求出外接球的半径，即可求出四棱锥 P﹣ABCD 的内切球与外接球的半径之
比．
【详解】
由题意，四棱锥 P﹣ABCD 为正四棱锥，PA＝PB＝PC＝PD，
∵AD∥BC，
∴异面直线 PB 与 AD 所成角为∠PBC，
取 BC 中点 E，则 tan∠PBC ，
∴PE＝5，HP＝4，
从而四棱锥 P﹣ABCD 的表面积为 S 96，V 48，
∴内切球的半径为 r ．
设四棱锥 P﹣ABCD 外接球的球心为 O，外接球的半径为 R，则 OP＝OA，
∴（4﹣R）2+（3 ）2＝R2，
∴R ，
∴ ．
故选 D．
【点睛】
本题考查四棱锥 P﹣ABCD 的内切球与外接球的半径之比，考查四棱锥 P﹣ABCD 的表
面积、体积，考查学生的计算能力，属于中档题．
第 II 卷（非选择题)
请点击修改第 II 卷的文字说明
评卷人 得分
二、填空题
13．若向量 1， ， 且 ，则 ______．
【答案】 或
【解析】
【分析】
设 （2λ，λ，﹣2λ），则| | 1，由此能求出结果．
【详解】
∵向量 （2，1，﹣2）， ∥ 且| |＝1，
∴设 （2λ，λ，﹣2λ），
则| | 1，
解得 ，
∴ （ ）或 （ ， ， ）．
故答案为：（ ）或（ ， ， ）．
【点睛】
本题考查向量的求法，考查向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数
与方程思想，是基础题．
14．如图，三棱锥 中， ，点
分别是 的中点，则异面直线 所成的角的余弦值是________．
A BCD− 3, 2AB AC BD CD AD BC= = = = = = ,M N
,AD BC ,AN CM
【答案】
【解析】如下图，连结 ，取 中点 ，连结 ， ，则可知 即为
异面直
线 ， 所成角（或其补角）易得 ，
， ，
∴ ，即异面直线 ， 所成角的余弦值为 .
考点：异面直线的夹角.
视频
15．方程 表示的曲线方程是________________．
【答案】
【解析】
【分析】
利用表达式的定义域，转化求解即可．
【详解】
（x2+y2﹣2） 0 有意义，必须 x﹣3≥0，并且 x2+y2﹣2＝0 或 x﹣3＝0，可得 x＝
3．
故答案为：x＝3．
7
8
DN DN P PM PC
【点睛】
本题考查曲线与方程的应用，是基本知识的考查．
16．已知直线 与抛物线 交于 A,B 两点，且 ,设线段 AB 的中点为 M，当直
线 运动时，则点 M 的轨迹方程为_________.
【答案】
【解析】
设点 则有
将两式相减得：
将两式相加得：
解出：
又因为 ，所以
所以 ，即点 M 的轨迹方程为
故答案为：
评卷人 得分
三、解答题
17．已知 ，设命题 ：指数函数 ≠ 在 上单调递增.命题 ：函数
的定义域为 ．若“ ”为假，“ ”为真，求 的取值范围．
【答案】 或
【解析】
试题分析：化简命题 可得 ，化简命题 可得 ，由 为真命题， 为假
命题，可得 一真一假，分两种情况讨论，对于 真 假以及 假 真分别列不等式组，
分别解不等式组，然后求并集即可求得实数 的取值范围.
试题解析：由命题 p，得 a＞1，对于命题 q，即使得 x∈R，ax2－ax＋1＞0 恒成立
若 a＞0，△＝a2－4a＜0，即 0＜a＜4
若 a＝0，1＞0 恒成立，满足题意，所以 0≤a＜4
由题意知 p 与 q 一真一假，
当 p 真 q 假时 ， 所以 a≥4．
当 p 假 q 真时，， 即 0≤a≤1．
综上可知，a 的取值范围为[0，1]∪[4，＋∞)．
18．已知直线 过坐标原点 ，圆 的方程为 ．
（1）当直线 的斜率为 时，求 与圆 相交所得的弦长；
（2）设直线 与圆 交于两点 ，且 为 的中点，求直线 的方程．
【答案】(1) ;(2) 直线 l 的方程为 y=x 或 y=﹣x.
【解析】试题分析：(1) 由已知，直线 的方程为 ，圆 圆心为 ，半径
为 ，求出圆心到直线 的距离，根据勾股定理可求 与圆 相交所得的弦长；（2）
设直线 与圆 交于两点 ，且 为 的中点，设 ，则 ，
将 点的坐标代入椭圆方程求出 的坐标，即可求直线 的方程.
试题解析：（1）由已知，直线 l 的方程为 y= x，圆 C 圆心为（0，3），半径为 ，
所以，圆心到直线 l 的距离为 = ．…
所以，所求弦长为 2 =2 ．
（2） 设 A（x1，y1），因为 A 为 OB 的中点，则 B（2x1，2y1）．
又 A，B 在圆 C 上，
所以 x12+y12﹣6y1+4=0，4x12+4y12﹣12y1+4=0．
解得 y1=1，x1=±1，
即 A（1，1）或 A（﹣1，1）
所以，直线 l 的方程为 y=x 或 y=﹣x．
19．边长为 2 的正三角形 ABC 中，点 D，E，G 分别是边 AB，AC，BC 的中点，连接
DE，连接 AG 交 DE 于点 现将 沿 DE 折叠至 的位置，使得平面 平面
BCED，连接 A1G，EG．
l O C 2 2 6 4 0x y y+ − + =
l 2 l C
l C ,A B A OB l
2 2
l 2y x= C ( )0,3
5 l l C
l C ,A B A OB A ( )1 1,x y ( )1 12 ,2B x y
,A B A l
证明：DE∥平面 A1BC
求点 B 到平面 A1EG 的距离．
【答案】（1）见解析；（2）
【解析】
【分析】
（1）推导出 DE∥BC，由此能证明 DE∥平面 A1BC．
（2）以 F 为原点，FG 为 x 轴，FE 为 y 轴，FA1 为 z 轴，建立空间直角坐标系，利用向
量法能求出点 B 到平面 A1EG 的距离．
【详解】
边长为 2 的正三角形 ABC 中，点 D，E，G 分别是边 AB，AC，BC 的中点，
连接 DE，连接 AG 交 DE 于点 F．
，
平面 ， 平面 ，
平面 ．
将 沿 DE 折叠至 的位置，使得平面 平面 BCED，连接 ，EG．
以 F 为 原 点 ， FG 为 x 轴 ， FE 为 y 轴 ， 为 z 轴 ， 建 立 空 间 直 角 坐 标 系 ，
1， ， 0， ， ， 0， ，
， ， ，
设平面 的法向量 y， ，
则 ，取 ，得 ，
点 B 到平面 的距离 ．
【点睛】
本题考查线面平行的证明，考查利用空间向量解决点到平面的距离的求法，考查空间中
线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
20． 是抛物线为 上的一点，以 S 为圆心，r 为半径 做圆，
分别交 x 轴于 A，B 两点，连结并延长 SA、SB，分别交抛物线于 C、D 两点．
求抛物线的方程．
求证：直线 CD 的斜率为定值．
【答案】（1） ；（2）
【解析】
【分析】
（1）将点（1，1）代入 y2＝2px（p＞0），解得 p，即可得出．
（2）设直线 SA 的方程为：y﹣1＝k（x﹣1），C（x1，y1）．与抛物线方程联立，利用根
与系数的关系可得 C 坐标． 由题意有 SA＝SB，可得直线 SB 的斜率为﹣k，同理可得
D 坐标，再利用向量计算公式即可得出．
【详解】
将点 代入 ，得 ，解得 ．
∴抛物线方程为： ．
证明：设直线 SA 的方程为： ，
联立 ，联立得： ，
， ，
，
由题意有 ， 直线 SB 的斜率为 ，
设直线 SB 的方程为： ，
联立 ，联立得： ，
， ，
，
．
【点睛】
本题考查了抛物线的标准方程及其性质、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公
式、等腰三角形的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
21 ． 如 图 ， 四 棱 锥 中 ， 底 面 ABCD 为 梯 形 ， 底 面 ABCD ， ，
， ， ．
1 求证：平面 平面 PBC；
2 设 H 为 CD 上一点，满足 ，若直线 PC 与平面 PBD 所成的角的正切值为 ，求
二面角 的余弦值．
【答案】（1）证明见解析；（2）
【解析】
试题分析：（I）由直角三角形可得 ，由线面垂直的性质可得 ，从而可得
平面 进而可得结论；（II）以 点为坐标原点， 分别 轴建立空间
直角坐标系，分别求出平面 与平面 的一个法向量，根据空间向量夹角余弦公式，
可得结果.
试题解析：（I）由 ，可得 ，
又
从而 ， 底面 ，
， 平面 所以平面 平面 .
（II）由（I）可知 为 与底面 所成角.
所以 ，所以
又 及 ，可得 ,
以 点为坐标原点， 分别 轴建立空间直角坐标系，
则 .
设平面 的法向量 .
则由 得 取
同理平面 的法向量为
所以
又二面角 为锐角.所以二面角 余弦值为 .
【方法点晴】本题主要考查利用空间垂直关系以及空间向量求二面角，属于难题.空间
向量解答立体几何问题的一般步骤是：（1）观察图形，建立恰当的空间直角坐标系；
（2）写出相应点的坐标，求出相应直线的方向向量；（3）设出相应平面的法向量，利
用两直线垂直数量积为零列出方程组求出法向量；（4）将空间位置关系转化为向量关
系；（5）根据定理结论求出相应的角和距离.
22．已知圆 ： （其中 为圆心）上的每一点横坐标不变，纵坐标变为
原来的一半，得到曲线 .
（1）求曲线 的方程；
（2）若点 为曲线 上一点，过点 作曲线 的切线交圆 于不同的两点 （其
中 在 的右侧），已知点 .求四边形 面积的最大值.
【答案】（1） （2）
【解析】试题分析：（1）曲线 上任意一点 ，则 为 上
的 点 ， 从 而 可 得 曲 线 的 方 程 为 ， 化 简 可 得 标 准 方 程 ； （ 2 ），设
，由 ，根据判别
式 为 零 可 得 ， 根 据 韦 达 定 理 、 弦 长 公 式 以 及 三 角 形 面 积 公 式 可 得
， 同 理 可 得 ， 则
，利用基本不等式可得四边形
面积的最大值.
试题解析：（1）设曲线 上任意一点 ，则 为 上的点，
， 曲线 。
（2）易知直线 的斜率 存在，设 ，
，
O 2 2 4x y+ = O
C
C
P C P C O ,A B
A B ( ) ( )1 23,0 , 3,0F F− 1 2ABF F
2
2 14
x y+ = 4
C ( ),x y ( ),2x y 2 2: 4O x y+ =
C 2 24 4x y+ =
:AB y kx m= + ( ) ( )2 2 22
2{ 4 1 8 4 1 0
14
y kx m
k x kmx mx y
= +
⇒ + + + − =
+ =
2 24 1m k= +
2
3
1ABO
mS k∆ = + 2 1 1 2 2
33
2 1AF O BF O
mS S y y k
+ = + = +
( )
1 2 1 2 2 2
2 3 8 3= 1 3ABF F ABO BF O AF O
m mS S S S k m∆= + + =+ +
1 2ABF F
C ( ),x y ( ),2x y 2 2: 4O x y+ =
2
2 2 24 4 14
xx y y∴ + = ⇔ + = ∴
2
2: 14
xC y+ =
AB k :AB y kx m= +
( ) ( ) ( )2
2 2 2 22
2{ 1 4 1 8 4 1 0414
y kx m x kx m k x kmx mx y
= +
⇒ + + = ⇒ + + + − =
+ =
，即 ，
因为 ,设点 到直线 的距离为 ，
则 ， ，
，
由 ，
，
，
，
而 ， ，易知 ， ，
，
，
。
( ) ( )( )2 2 2 2 2= 8 16 4 1 1 0, 4 1 0km k m k m∆ − + − = ∴ − + = 2 24 1m k= +
1 2 1 2ABF F ABO BF O AF OS S S S∆= + + O : 0AB kx y m− + = d
2 1
md
k
=
+
2
2 2
22 2 4 1
mAB OA d k
∴ = − = − +
2
3
1ABO
mS k∆∴ = +
( ) ( )22 2 2 2
2 2{ 4 1 2 4 04
y kx m x kx m k x kmx mx y
= + ⇒ + + = ⇒ + + + − =+ =
1 2 2
2
1 2 2
2
1{
4
1
kmx x k
mx x k
+ = − +∴
−= +
( )1 2 1 2 1 2 2 2
2 2+ 2 21 1
km my y kx m kx m k x x m k mk k
∴ = + + + = + + = − + = + +
( )
2 1 1 2 1 2 1 2 2
31 1 3 33 32 2 2 2 1AF O BF O
mS S y y y y y y k
∴ + = × + × = + = + = +
( )
1 2 1 2 2 2 2
3 3 2 3= 1 1 1ABF F ABO BF O AF O
m m mS S S S k k k∆∴ = + + + =+ + +
2 24 1m k= +
2
2 1= 4
mk
− 2 0k ≥ 2 1, 1m m∴ ≥ ∴ ≥
1 2 2 2
2 3 8 3 8 3 8 3 431 3 2 314
ABF F
m mS m m m m
∴ = = = ≤ =− + ++
23= = 3 3m m mm
⇔ ⇔ = ⇔ = ±
( )
1 2 max
4ABF FS∴ =