数学经典易错题会诊与高考试题预测6 24页

经典易错题会诊与 2012 届高考试题 预测(六) 考点 6 平面向量 经典易错题会诊 命题角度 1 向量及其运算 命题角度 2 平面向量与三角、数列 命题角度 3 平面向量与平面解析几何 命题角度 4 解斜三角形 探究开放题预测 预测角度 1 向量与轨迹、直线、圆锥曲线等知识点结合 预测角度 2 平面向量为背景的综合题 命题角度 1 向量及其运算 1 (典型例题)如图 6-1，在 Rt△ABC 中，已知 BC=a，若长为 2a 的线段 PQ 以点 A 为中点， 问 与 的夹角θ取何值时 ． 的值最大?并求出这个最大值． [ 考 场 错 解 ] 此后有的学生接着对上式进行变形，更多的不知怎样继续． [专家把脉] 此题是湖北省 20 典型例题)已知，|a|= ，|b|=3，a 与 b 的夹角为 45°， 当向量 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角时，求实数 A 的范围． [考场错解] 由已知 a·b=|a||b|·cos45°=3，∵a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，∴(a+λ b)·(λa+b)>0 即 λ |a|2+ λ |b|2+( λ 2+1)a · b=0 ， ∴ 2 λ +9 λ + 3( λ 2+1)>0 ， 解 得 λ > ∴实数λ的范围是 [专家把脉] 解题时忽视了 a+λb 与 aλ+b 的夹角为 0 的情况，也就是(a+λb)·(λa+b)>0 既包括了 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，也包括了 a+λb 与λa+b 的夹角为 0，而 a+λb 与λ a+b 的夹角为 0 不合题意． [对症下药] 由已知 a·b=|a|·|b|，|b|×cos45°=3． 又 a+λb 与λa+b 的夹角为锐角，∴(a+λb)·(λa+ b)>0，且 a+λb≠μ(λa+b)(其中μ k,μ>0)由(a+λb)· (λa+b)>0，得|a|2+λ|b|2+(λ2+1)a·b>0 即 3λ2+11λ +3>0，解得λ PQ BC BP CQ ,||)()(,, 2 BQQPCBQPCBBQBQBQCBBQBQCQBPBQCBCQQPBQBP •+•+•+=+•+=•∴+=+= 2 6 8511 6 8511 −−<+− λ或         −−∞−∪        +∞+− 6 8511,,6 8511 > ．由 a+λb≠μ (λa+b)，得μλ≠1,μ≠λ，即λ≠1，综上所述 实数λ的取值范围是(-∞， ,1)∪(1，+∞)． 3．(典型例题)已知 O 为△ABC 所在平面内一点且满足 ，则△AOB 与△AOC 的面积之比为 ( ) A．1 B. D．2 [考场错解] ∴O 在 BC 边上，且 ,又△AOB 与△ AOC 高相等，∴△AOB 与△AOC 的面积之比为 2，∴选 D． [专家把脉] 缺乏联想能力，将常用结论记错是本题错误的原因，实际上只有 O 为△ABC 的重心的情况下，才有 ，而本题无此已知条件． [对症下药] (1)如图 6-3，在 AB 上取一点 D，使 又由已知 ∴O 为 CD 的中点，不妨设 S△AOC=S，则 S△AOD=S(∵两者等底同高) ∴ △AOB 的面积与△AOC 的面积之比为 3：2，选 B． (2)不妨设 A(0，0)，B(1，0)，C(0，1)，O(x,y)，则由专家会诊向量的基本概念是向量 的基础，学习时应注意对向量的夹角、模等概念的理解，不要把向量与实数胡乱类比；向量 的运算包括两种形式：(1)向量式；(2)坐标式；在学习时不要过分偏重坐标式，有些题目用 向量式来进行计算是比较方便的，那么对向量的加、减法法则、定比分点的向量式等内容就 应重点学习，在应用时不要出错，解题时应善于将向量用一组基底来表示，要会应用向量共 线的充要条件来解题. 考场思维调练 1 △ABC 内接于以 O 为圆心，1 为半径的圆，且 (1)求 1． 答案：由已知得 2 ，所以 6 8511 6 8511 −−<+− λ或 6 8511 6 8511 +−∪−− 032 =++ OCOBOA 3 2.2 3 C OCOBOOCOBOA 2−=∴=++ ||2|| OCOB = OOCOBOA =++ OBOAOBOAODABDDBAD 3 2 3 1 21 2 21 1,2|,|2|| +=+++==∴= 得的比分 λ ,,3 2 3 1 OCODOBOAOC −=−= ,2 3|),|2||(,2 1 SSBDADSS AOBBOD =∆==∆  .432 OOCOBOA =++ || AB OCOBOA 43 −=+ (2)求△ABC 的面积． 答案：设∠AOB=θ，∠AOC= ，∠BOC= ，由 · = ，得 cosθ= ，sinθ= ，S△ AOB= | |·| |sinθ= ×1×1 × 同理可求得 cos =- ，sin = ， S△AOC= ．cosγ=- ，sinr= ，S△BOC= × 由于θ为锐角， , 为钝角，所以 不可能在△AOB 内部，故△AOB、△AOC、△BOC 互 不重叠∴S△ABC=S△AOB+ S△AOC+S△BOC= ． 2 已知向量 a=(1，1)，b：(1，0)，c 满足 a·c=0，且|a|=|c|，b·c>0． (1)求向量 c； 答案：设 =(m，n)，由 a·c=0，得 m+n=0 再由，|a|=|c|，得 m2+n2=2，联立 ， 解得 m=1，n= -1 或 m=-l，n=1，又∵b，c=(1，0)·(m，n)=m>0． ∴m=1，n=-1，c=(1，-1)． (2)若映射 f:(x，y)+(x’，y’)=xo+yc，将(x，y)看作点的坐标，问是否存在直线 l，使 得 l 上任一点在映射 f 的作用下的点仍在直线 l 上，若存在，求出直线 l 的方程，若不存在， 请说明理由． 答案： xa+yc=y(1，1)+y(1，-1)=(x+y，x-y)，则 f:(x，y)→(x+y，x-y)．假设存在直线 l 满足题意．当 l 的斜率不存在时，没有符合条件的直线 l;当 l 的斜率存在时，设 l： y=kx+m，在 l 上任取一点 p(x0,y0)，则 p 在映射 f 作用下的点 Q(x0+y0，x0-y0)，Q 也应在 l 上，即 x0-y0=k(x0+y0)+m 又(x0，y0)在 l 上∴y0=kx0+m，整理得(1-2k-k2)x0-(k+2)m=0，此式 对于任意 x0 恒成立．∴1-2k-k2=0，(-k+2)m=0． 解得 k=-1± ，m=0，综上所述，存在直线 l：y=(-1± )x 符合题意． 3已知 A、B、C 三点共线，O 是该直线外一点，设 =a， 且存在实数 m，使 ma-3b+c 成立．求点 A 分 所成的比和 m 的值． 62 1 14 121 ||2|| )(||.4 1,1||||||,||16||912||4,||16)32( 22 22 222222 = +×−= +•−= −=∴=•∴====+•+=+ OAOAOBOB OAOBABOBOAOCOBOAOCOBOBOAOAOCOBOA 即 ϕ γ OA OB 4 1 4 1 4 15 2 1 OA OB 2 1 8 15 4 15 = ϕ 16 11 ϕ 1516 3 1532 3 8 7 8 1 2 1 .16 15 8 15 = ϕ γ OC 1532 9    =+ =+ 2 0 22 nm nm 2 2 OA ,, cOCbOB == O 答案：解：设点 A 分 所成比为λ，则 =λ ，所以 - =λ( - )．即 a-b=λ (c-d)，则(1+λ)a-b-λc=0 (1)由已知条件得 c=3b-ma 代人(1)得(1+λ)a-b-3λb+mλa=0， 即(1+λ+mλ)a-(1+3λ)b=0 ∵ 不共线，a、b 不共线 ∴1+λ+mλ=0，1+3λ=0，解得λ=- ，m=2． ∴A 分 所成的比为- ，m=2． 1.（典型例题）设函数 f(x)=a·b,其中 a=(2cosx,1),b=(cosx, )求 x;(2)若 函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)(|m|< )平移后得到函数 y=f(x)的图像，求实数 m、n 之值. [考场错解]（1）依题意，f(x)=2cos2x+ 由 (2)函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)平移后得到 y=2sin2(x+m)-n 的图像，即 y=f(x)的 图像，由（1）得 f(x)=2sin2(x+ [ 专 家 把 脉 ] “ 化 一 ” 时 出 错 ， 第（2）问在利 用平移公式的时有错误. [ 对 症 下 药 ] （ 1 ） 依 题 设 ， f(x)= (2)函数 y=2sin2x 的图像按向量 c=(m,n)平移后得到函数 y=2sin2(x-m)+n 的图像，即函数 y=f(x)的图像，由（1）得 f(x)=2sin2( 2.( 典 型 例 题 ) 已 知 i,j 分 别 为 x 轴 ， y 轴 正 方 向 上 的 单 位 向 量 ， BC BA AC OA OB OC OA OBOA 3 1 BC 3 1 ]3,3[,3 ππ−∈x且 2 π ).32sin(212sin3 π++= xx ;3,332,323,33,2 3)32sin(,31)32sin(21 ππππππππππ −=−=+∴≤+≤−∴≤≤−−=+−=++ xxxxxx 即得  .1,12,2||,1)6 −==∴<+ nmm πππ  ,1)32sin(21)62sin(212sin32cos2cos2sin3cos2 2 ++++=++==+ ππ xxxxxxx 不是 ,2 3)62sin(,31)62sin(21),62sin(212sin3cos2 2 −=+−=++++=+ πππ xxxxx 得由 ;4.362,6 5 622,33 ππππππππ −=−=+∴≤+≤−∴≤≤− xxxx 即 .1)12 ++ π x .1,12,2|| =−=∴< nmm ππ  *).,2(2,5, 1121 NnnAAAAjOAjOA mnnn ∈≥=== +− （1）求 [考场错解]（1）由已知有 [专家把脉]向量是一个既有方向又有大小的量，而错解中只研究大小而不管方向，把向量与 实数混为一谈，出现了很多知识性的错误. [对症下药] （1） 3.（典型例题)在直角坐标平面中，已知点 P1(1，2)，P2(2，22)，P3(3，23)…,Pn(n，2n)， 其中 n 是正整数，对平面上任一点 Ao，记 A1 为 Ao 关于点 P1 的对称点，A2 为 A1，关于点 P2 的对称点，…，An 为 An-1 关于点 Pn 的对称点． (1)求向量 的坐标； (2)当点 Ao 在曲线 C 上移动时.点 A2 的轨迹是函数 y=f(x)的图像，其中 f(x)是以 3 为周期 的周期函数，且当 x∈(0，3)时 f(x)=lgx．求以曲线 C 为图像的函数在(1，4)上的解析式； (3)对任意偶数 n，用 n 表示向量 的坐标． [考场错解] 第(2)问，由(1)知 =(2，4)，依题意，将曲线 C 按向量(2，4)平移得到 y=f(x)的图像． ∴y=g(x)=f(x-2)+4． [专家把脉] 平移公式用错，应该为 y=g(x)=f(x+2)-4． [对症下药] (1)设点 Ao(x，y)，Ao 关于点 P1 的对称点 A1 的坐标为 A1(2-x，4-y)，A1 关 于点 P2 的对称点 A2 的坐标为 A2（2+x，4+y），所以， =｛2，4｝． (2)∵ =｛2，4｝，∴f(x)的图像由曲线 C 向右平移 2 个单位，再向上平移 4 个单位 得到． 因此，曲线 C 是函数 y=g(x)的图像，其中 g(x)是以 3 为周期的周期函数，且当 x∈ .)2(;87 的坐标和求 nn OBOAAA ||2 1||,2 1 1111 −+−+ == nnnnnnnn AAAAAAAA 得 ).222( 22222)1(23|||||||| ).0,29(,29 29 2 141||||||||)2( ;16 1,16 1||,)2 1()2 1(|| 1211 44 4 41211 8787 3 21 1 1 +=∴ +=•−+=+++= −−= −+++=+++= ==∴==∴ − −− − −− −− + nOB nnBBBBOBOB OAOA AAAAOAOA AAAAAAAA n nnn n n n n n nnnn nn nn   得 得 ,)2 1(4 1 2 1,2 1,2 21 6 657687111 AAAAAAAAAAAAAAA nnnnnnn  ===∴=∴= −++−1nA .16 14)2 1(,4 6 871221 jjAAjOAOAAA =•=∴=−=又 ).12,12(,)12()12()22()1(33).29,0( .)29( 2 124, 2 1, 2 1 2 1)1()2( 11 4 4 412114132111 ++∴+++=+•−++=++=−∴ −=++++=+++=∴=∴== − − − −−−+−−+ nnOBjninjinjjBBOBOBOA jjjjjAAAAOAOAjAAjAAAA nnnn n n n nnnnnnnnnnn 的坐标是同理的坐标为 知由   2AAo no AA 2AAo 2AAo 2AAo (-2，1)时，g(x)=1g(x+2)-4，于是，当 x∈(1，4)时，g(x)=1g(x-1)-4． 专家会诊 向量与三角函数、数列综合的题目，实际上是以向量为载体考查三角函数、数列的知识， 解题的关键是利用向量的数量积等知识将问题转化为三角函数、数列的问题，转化时不要把 向量与实数搞混淆，一般来说向量与三角函数结合的题目难度不大，向量与数列结合的题目， 综合性强、能力要求较高． 考场思维调练 1 已知平面向量 a=( ，-1)，b= ，c=a+(sin2a-2cosa)b，d=( )a+(cosa)b， a∈(o， )，若 c⊥d，求 cosa． 答案：解析：由已知得 a·b=0，|a|2=a2=4，|b|2=b2=1，因为 c⊥d，∴c·d=0，即[a+(sin2 λ-cosα)·b]． [( sin22α)a+(cosα)b]=0，得 sin22α+sin2α，cosα-2cos2α=0， 即(sin2α+2cosα)(sin2α-cosα)=0， ∵α∈(0， )，∴sin2α+cosα>0，∴sin2α=cosα，由于 cosα>0，得 sina= ，则 cos α= ． 2 设向量 a=(cos23°，cos67°)．b=(cos68°，cos22°)，c =a+tb(t∈R)，求|c|的最 小值． 答案：解：|a|= =1， |b|= =1 a·b=cos23°cos68°+cos67°cos22°=cos23°cos68°+sin23°sin68°=cos(23°-68 °)= ． ∴|c|2=(a+tb)2=|a|2+t2|b|2+2ta·b=t2+1+ t≥ . ∴|c|的最小值为 ，此时 t=- 3 已知向量 a=(2，2)，向量 b 与 a 的夹角为 ，且 a·b=-2． (1)求向量 b; { } { } { } .3 )12(4,3 )12(2,22)2,12,12,1(2)(2,22 )3( 13 1432112222 2422       −=       −=+++=+++== +++= − −−− − nn n nnnOkkk nnOnO nnPPPPPPAAkPPAA AAAAAAAA   得由于 3 )2 3,2 1( a2sin4 1 2 2 π 4 1 2 π 2 1 2 3 167cos23cos 22 =+  122cos68cos 22 =+  2 2 2 2 1 2 2 2 2 4 3 答案：设 b=(x，y)，∵a·b=-2，∴2x+2y=-2，即 x+y=-1，(1)，又∵a 与 b 的夹角为 π，∴|b|= =1，∴x2+y2=1 (2)，联立(1)、(2)得 x=-1，y=0 或 x=0，y=-1， ∴b=(-1，0)或 b=(0，-1)． (2)若 t=(1，0)且 b⊥t，c=(cosA，2cos2 )，其中 A、C 是△ABC 的内角，若三角形的 三个内角依次成等差列，试求，|b+c|的取值范围． 答案：由题意得 B= ，A+C= ，b⊥t，t=(1，0)，∴b=(0，-1)，b+C=(cosA，cosC)， |b+C|2=cos2A+cos2c=1+ (cos2A+cos2C)1+ cos2A+cos2( π -A))=1+ cos(2A+ ) ， ∵ 0 ∠ A< ， ∴ ∠ 2A+ ， ∴ -1 ≤ cos(2A+ )< ，∴|b+c|2∈[ ]，∴|b+c|∈[ ] 命题角度 3 平面向量与平面解析几何 1．(典型例题)已知椭圆的中心在原点，离心率为 ，一个焦点 F(-m，0)(m 是大于 0 的 常数．) (1)求椭圆的方程； (2)设 Q 是椭圆上的一点，且过点 F、 Q 的直线 l 与 y 轴交于点 M，若 ，求 直线 l 的斜率． [考场错解] 第(2)问：设 Q(xo，yo)，直线 J 的方程为 y=k(x+m)，则点 M(0，km)，由已 知得 F、Q、M 三点共线，且 ，∴ 由于 F(-m，0)， M(0，km)，由定 比分点坐标公式，得 xQ= [专家把脉] 缺乏分类讨论的思想，没有考虑图形的多样性，将 进行转 化时出现错误，依题意 应转化为 再分类求解 k． [对症下药] (1)设所求椭圆方程为 1 (a>b>O)． 由已知得 c=m， 故所求的椭圆方程是 4 3 π 4 3cos|| • • a ba 2 c 3 π 3 2π 2 1 2 1 3 2 2 1 3 π 3 2π 3 π ππ 3 5 3 < 3 π 2 1 4 5,2 1 2 5,2 2 2 1 ||2|| QFMQ = ||2|| QFMQ = ||2|| QFMQ = 62,1279 1,1 34 ,3 1,3 2 2 2 2 2 2 ±==+∴=+=− kk m y m xQkmym Q 解得上在椭圆又 ||2|| QFMQ = ||2|| QFMQ = QFMQ 2±= =+ 2 2 2 2 b y a x .3,2,2 1 mbmaa c ==∴= .1 34 2 2 2 2 =+ m y m x (2)设 Q(xQ，yQ)，直线 l 的方程为 y=k(x+m)，则点 M(0，km)，∵M、Q、F 三点共线， ，∴ ． 当 时，由于 F(-m，0)，M(0，km)，由定比分点坐标公式，得 又 Q 在椭圆 同理当 故直线 l 的斜率是 0， 2．(典型例题)如图 6—4，梯形 ABCD 的底边 AB 在 y 轴上，原点 O 为 AB 的中点，|AB|= AC⊥BD，M 为 CD 的中点． (1)求点 M 的轨迹方程； (2)过 M 作 AB 的垂线，垂足为 N，若存在常数λo，使 ，且 P 点到 A、B 的距离 和为定值，求点 P 的轨迹 C 的方程． [考场错解] 第(2)问：设 P(x，y)，M(xo，yo)，则 N(0，yo) ∴x-xo=-λox,y-yo=λo(yo-y)，∴λo=-1． [专家把脉] 对 分析不够，匆忙设坐标进行坐标运算，实际上 M、N、P 三点共 线，它们的纵坐标是相等的，导致后面求出λo=-1 是错误的． [ 对 症 下 药 ] (1) 解 法 1 ： 设 M(x ， y) ， 则 C(x ， -1+ 即(x，y-1)·(x，y+1)=0，得 x2+y2=1，又 x≠0， ∴M 的轨迹方程是:x2+y2=1(x≠0) 解法 2：设 AC 与 BD 交于 E，连结 EM、EO，∵AC+BD，∴∠CED=∠AEB=90°，又 M、O 分 别为 CD， AB 的中点，∴ ，又 E 为分别以 AB、CD 为直径的圆的切 点，∴O、C、M 三点共线，∴ |OM|=|OE|+|AB|=1，∴M 在以原点为圆心 1 为半径的圆上，轨 迹方程为 x2+y2=1(x≠0)． (2)设 P(x，y)，则由已知可设 M(xo，y)，N(0，y)，又由 MP=λ oPN 得(x-xo，0)=λ o(-x，0)，∴xo=(1+λo)x，又 M 在 x2+y2=1(x≠0)上，∴P 的轨迹方程为(1+λo)2x2+ y2=1(x ≠0)，又 P 到 A、B 的距离之和为定值，∴P 的轨迹为经 A，BP 为焦点的椭圆，∴ λo)2=9，∴P 轨迹 E 的方程为 9x2+y2=1(x≠O)． 3．(典型例题)如图 6—5，ABCD 是边长为 2 的正方形纸片，以某动直线 l 为折痕将正方 形在其下方的部分向上翻折，使得每次翻折后点。都落在 AD 上，记为 B'；折痕 l 与 AB 交 ||2|| QFMQ = QFMQ 2= QFMQ 2= ,3 1,3 2 kmymx QQ =−= ;62,1279 1,1 34 2 2 2 2 2 ±==+∴=+ kk m y m x 解得有上 .0,1 3 1,2 2 22 ==+−= k m mkQFMQ 解得有时 .62± .3 242||,3 24 −=CD PNMP oλ= PNMPyyxPNyyxxMP oooo λ=−−=−−=∴ 又),,(),,( PNMP oλ= ,0),3 221,(),3 22 =•⊥+−+ BDACBDACyxDy 得由 ||2 1|||,|2 1|| ABEOCDOM == += + − 1(,9 8 )1( 11 2 得 Oλ 于点 E，使 M 满足关系式 (1)建立适当坐标系，求点 M 的轨迹方程； (2)若曲线 C 是由点 M 的轨迹及其关于边 AB 对称的 曲线组成的，F 是 AB 边上的一点， 过点 F 的直线交曲线于 P、Q 两点，且 ，求实数λ的取值范围． [考场错解] 第(1)问：以 AB 的中点为坐标原点，以 AB 所在的直线为 y 轴建立直角坐标 系，则 A(0，1)，B(0，—1)，设 E(0，t)，B'(xo，1)，则由 y=-t，∴ M 的轨迹方程为 x=x0，y=-t [专家把脉] 对轨迹方程的理解不深刻，x=xo，y=-t 不是轨迹方程，究其原因还是题目 的已知条件挖掘不够，本题中| |=| |是一个很重要的已知条件． [对症下药] (1)解法 1 以 AB 所在的直线为 y 轴，AB 的中点为坐标原点，建立如图 6-6 所示的直角坐标系，别 A(0，1)，B(0，-1)，设 E(0，t)，则由已知有 0≤t≤1，由 及 B'在 AD 上，可解得 B'(2 ，1)由 + '得(x，y-t)=(0，-1-t)+(2 ， 1-t)，即 x=2 y=-t，消去 t 得 x2=-4y(0≤x≤2)． 解法 2 以 EB、EB'分邻边作平行四边形．由于 知四边形 EBMB′，为菱形，且 ，∴动点 M 到定直线 AD 的距离等于 M 到定点 B 的距离，∴M 的轨迹是以 B 为焦点， 以 AD 为准线的抛物线的一部分轨迹方程为 x2=-4y(0≤x≤2)． (2)由(1)结合已知条件知 C 的方程是 x2=-4y (-2≤x≤2)，由 知 F(0， )，设过 F 的直线的斜率为 k，则方程为 y= ，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，由 得 x1=-λ x2，联立直线方程和 C 得方程是 x2 +4kx-2=0，由-2≤x≤2 知上述方程在[-2，2]内有两个 解，由；次函数的图像知 ，由 x=-λx2 可得 由韦达 定理得 8k2= . 4．(典型例题 1)已知椭圆的中心为坐标原点 O，焦点在 x 轴上，斜率为 1 且过椭圆右焦点 9 BEEM ′+ 4= BF BA FQPF λ= 0xxBEEBEM =′+= 得 EB BE ′ |||| BEEB ′= t BEEBEM ′+= t 2 |||| BEEB ′= ADBM ⊥′ 4= BF BA 2 1 2 1−KX FQPF λ= 4 1 4 1 ≤≤− k 21 12)21(2)1( 1 xxxx λλ −=+ − 22 1,2 12)1( ≤≤≤− λλ λ 解得 的直线交椭圆于 A、B 两点， 与 a=(3，-1)共线 (1)求椭圆的离心率； (2)设 M 为椭圆上任意一点，且 ，证明λ2+μ2 为定值． [考场错解] (1)设椭圆方程为 ，F(c，0)联立 y=x-c 与 得 (a2+b2)x2- 2a2cx+a2c2+a2b2=0 ， 令 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 x1+x2= 由 (x1+x2，y1+y2)， a=(3，-1)， 与 a 共线， 得 x1+x2=3，y 1+y2=-1，又 y1+y2=x1+x2-2c，∴c=2，得 a 2=3b2，又 a2-b2 =c2=4，∴b2=2， a2=6，∴．e= [专家把脉] 与(3，-1)共线，不是相等，错解中，认为 (3，-1)，这是错 误的，共线是比例相等． [ 对 症 下 药 ] (1)( 前 同 错 解 ) ， 与 a 共 线 ， 得 3(y1+y2)+(x1+x2)=0 ， ∴ 3(x1+x2-2c)+(x1+x2)=O ∴x1+x2= c，代入 (2)证明：由(1)知 a2=3b2，所以椭圆 可化为 x2+32=3b2 设 (x，y)，由已知得 (x，y)=λ(x1，y1)+μ(x2，y2)， ∴M(x，y)在椭圆上， ∴(λx1+μx2)23(λy1+μy2)2=3b2． 即λ2( ) +2λμ(x1x2+2y1y2)= 3b2．① 由(1)知 x2+x2= ∴ OBOA+ ),( ROBOAOM ∈+= µλµλ )0(12 2 2 2 >>=+ ba b y a x 12 2 2 2 = b y a x 22 2222 21,22 232 ba bacaxx ba ca + −= + OBCA + OBOA+ .3 6 6 2 == a c OBOA+ OBOA+ OBOA+ 2 3 .3 6232,2 3 22 22 ==∴= + ebac ba ca 12 2 2 2 =+ b y a x OM    += +=∴ 21 21 yyY xxX µλ µλ 2 132 1 yx + )2 232 2(23 yx +µ 2 2 12,2 2 32,2 3 cbcac == 2 8 3 22 2222 21 c ba bacaxx = + −= ∴x1x2+3y1y2=x1+x2+3(x1-c)(x2-c) =4x1x2-3(x1+x2)c+3c2 = =0． 又 又，代入①得 λ2+μ2=1． 故λ2+μ2 为定值，定值为 1． 专家会诊 平面向量与平面解析几何结合是高考中的热点题型，解此类题目关键是将向量关系式进 行转化，这种转化一般有两种途径：一是利用向量及向量的几何意义，将向量关系式转化为 几何性质，用这种转化应提防忽视一些已知条件；二是将向量式转化为坐标满足的关系式， 再利用平面解析几何的知识进行运算，这种转化是主要转化方法，应予以重视． 考场思维调练 1 已知△ABC 中，A(0，1)，B(2，4)，C(6，1)，P 为平面上任一点，点 M、N 满足 ，给出下列相关命题：① ∥ ； (2)直线 MN 的方程是 3x+10y-28=0；(3)直线 MN 必过△ABC 外心；(4)起点为 A 的向量λ ( +AC)(λ∈R+)所在射线必过 N，上面四个选项中正确的是________.(将正确的选项 序号全填上) 答案：解析：(2)(4)由已知 M 为 AB 的中点，所以 M(1， )，N 为△ABC 的重心，∴N( ， 2)．MN 在 AB 的中线上∴ ；MN 的方程为 3x+10y-28=0；MN 过△ABC 的重心，又△ABC 不是等腰三角形∴MN 不可能过△ABC 的外心； λ( )(λ∈R+)所在射线为 BC 的中线所在的射线， ∴必过 N 上(2)、(4)正确． 2 已知 A 为 x 轴上一点，B 为直线 x=1 上的点，且满足： . (1)若证 A 的横坐标为 x，B 的纵坐标为 y，试求点 P(x，y)的轨迹 C 的方程； 答案：解：由题意，A(x,0)，B(1，y)，则 =(x，0)， =(1，y)代入 =0 中，得： (2)设 D(0，-1)，上述轨迹上是否存在 M、N 两点，满足| |=| |且直线 MN 不平行于 y 轴，若存在，求出 MN 所在直线在 y 轴上截距的取值范围，若不存在，说明理． 答案：假设存在 M(x1，y1)，N(x 2，y2)，由题设 MN 不与 x 轴垂直，不妨设 MN 的方程为 232 2 92 2 3 ccc +− 232 232 2,232 132 1 byxbyx =+=+ )(3 1),(2 1 PCPOBPAPNPBPAPM ++=+= MN BC ACAB + 2 5 3 8 BCMN ACAB + )3()3( OBOAOBOA −⊥+ OA OB )3()3( OBOAOBOA −•+ MD ND y=kx+m ，联 立 , 得 (1-3k2)x2-6kmx-3m2-3=0 ，显 然 1-3k2 ≠ 0 ，∴ △ =12(m2+1-3k2)>0 ，又 x1+x2= ， x1x2 = ． 设 MN 的 中 点 P(x0 ， y0) ， 则 有 x0= ,y0= ，∴线段 MN 的垂直平分线方程为 y- ．由题意 D(0， -1)在该直线上，代入得 4m=3k 2-1，∴m、k 满足 消去 k2，得 m>4 或- −+ 134 031 2 22 km km 4 1 4 1 2 3 3 2 2 2 ≤≤ dd且 d PF || 2 2 c a a c 2 ,2 2= 2 3 2 2 3 3 2 2 3 2 1 3 4 2 2x 2 1 3 4 OFOPOFPF 与求向量 3 1=• PF OF OP PF OF 3 1 3 2 11 112 |||| ).3 7,3 2()3 7,3 2(,3 7,12 2 2 = • •∴ −==∴±==+ OFOP OFOP OPOPyyx 或得 OFOP与 11 112 GF OF PFMP 3= GF FO 又∴ 又| |=2，∴| |2+| |2=| |2， ∴△PGF 为 Rt△，∴∴S= 命题角度 4 解斜三角形 1．(典型例题)在△ABC 中，sinA+cosA= AB=3，求 tanA 的值和△ABC 的面积． [考场错解] ∵sinA+cosA= ∴两边平方得 2sinAcosA= 又 0°<2A<360 °∴2A= 210°或 2A=330°得 A=105°或 A=165°，当 A=105°时， tanA=tan(45°+60°)= sinA=sin(45°+60°)= 当 A=165°时，tanA=tan(45°+ 120 °)=-2+ ，sinA=sin(45°+120°)= ，△ABC 的面积为 [专家把脉] 没有注意到平方是非恒等变形的过程，产生了增根，若 A=165°，sinA=此时 sinA+cosA= ，显然与 sinA+cosA= 的已 知条件矛盾． [对症下药] 解法 1．∵sinA+cosA= <180 ° ， ∴ A-45 ° =60 ° ， 得 A=105 °． ∴tanA=tan(45°+60°)=-2- ，sinA=sin(45°+60°)= , S△ABC= 解法 2 ∵sinA+cosA= 又 0°0,cosA<0, ∵(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA= ∴sinA-csoA= ,解得 sinA= ,cosA= sinA= .       = = ∴    =+ == 2 23|| 2 2|| 22|||| ||3|||| PG PF PFPG PFPMPG GF PF GF PG 2 2 2,2 2 =AC 2 2 2 1sin,2 1 −=∴− A 32 31 31 −−= − + 4 62 + 3 4 26 − ).26(4 3sin2 1 −•• AABAC 2 2cossin,4 26cos4 26 −=++−=+ AAA 此时 2 2 2 2 AAA <=−=−∴  0,2 1)45cos(2 2)45cos(2 又得 3 4 62 + )26(4 3sin2 1 +=•• AABAC 2 1cossin2,2 2 =∴ AA 2 3 2 6 4 62 + 4 62 − )26(4 3sin2 1,32cos sin +=••=∆−−= AABACABCSA A 2.(典型例题)设 P 是正方形 ABCD 内部的一点，点 P 到顶点 A、B、C 的距离分别为 1、2、3， 则正方形的边长是 . [考场错解] 设边长为 x∠ABP=α则∠CBP=90°-α，在△ ABP 中∠ ABP= ∵ cos ∠ CBP=sin α , ∴ =1, 解得 x2=5+2 或 5-2 . ∴正方形的边长为 . [专家把脉]没有考虑 x 的范围，由于三角形的两边之差应小于第三边，两边之和应大于第三 边，∴1c, ∴角 C 不是最大解，∴150°≤C<180°不可能. [ 对 症 下 药 ] 依 题 意 c=1,a=2, 由 正 弦 定 理 知 ∴,C 的取值范围是 0°∠∴>≤=∴= 又因为 2cos2 ACB =+ 22 ba + .||2cos2cos7 zBAiC 的模−− 2 c 2 BA − 2 7 2 1 2 7 2 1 2 1 =4+ (-8cosAcosB+6sinAsinB)， 又∵4sinAsinB=3cosAcosB ∴|z|2=4，得，|z|=2. 2 在△ABC 中，sinA+cosA= ,AB=10,AC=20 (1)求△ABC 的面积； 答案：由 sinA+cosA= 得 2sinAcosA=- ， ∴sinA>0，cosA<0，∴(sinA-cosA)2=1-2sinAcosA = 得 sinA-cosA= ，∴sinA= ，comA=- ． ∴S△ABC= AB·AC·sinA= ·10·20· =80； (2)求△cos2A 的值. 答案： cos2A=2cos2A-1=- 3 △ABC 中，AB=2，BC=1，∠ABC=120°，平面 ABC 处一点满足 PA=PB=PC=2，则三棱锥 P-ABC 的体积是 . 答案：解：过 P 作 PO⊥平面 ABC， 由 PA=PB=PC=2, ∴0 为△ABC 的外心，在△ABC 中，由余弦定理， |AC|2=|AB|2+|BC|2-2|AB|·|BC|·cos120°=7， ∴|AC|= 又由正弦定理 得 R= . 在 Rt△POA 中，PA=2，OA=R= ， ∴PO= 又 S△ABC= ∴三棱锥 P-ABC 的体积为 ． 探究开放题预测 预测角度 1 向得与轨迹、直线、贺铃由线篈疾识点结合 1．已知过点 D（-2，0）的地线 l 与椭圆 交于不同两点 A、B 点 M 是弦 AB 的中点 2 1 5 1 5 1 25 24 25 49 5 7 5 4 5 3 2 1 2 1 5 4 25 7 7 RABC AC 2sin || =∠ 3 21 3 21 3 15)( 22 =− RPA ,2 3 2 3122 1 =••• 6 5 12 2 2 =+ yx 且 ，求点 P 的轨迹方程 [解题思路]由已知 ， 又 M 为 AB 的中点∴M 的轨迹是常见的中点问题，求出 M 的 轨迹后，可用相关点求 P 的轨迹，本题还可以直接将 转化为坐标运算. [解答]（方法一）设 M（x0,y0）,A(x1,y1),B(x2,y2), ∵A、B 在 (方法二)当直线 l 平行 x 轴时，P(0，0)；当直线 J 不与 x 轴平行时，设 l：x=my-2，并设 A(x1，y1)，B(x2，y2)， P(x，y)， 根据△=(-4m)2-8(m2+2)>0． 即 m2>2，由 及(1)可得 y=y1+y2= x=x1+x2=(my1-2)+(my2-2)=- `∴P 的坐标为 ，消去 m 得 x2+2y2+4x=0(-2=++ ==∴ =+=∴ −><+∴ =+ =++∴ +=== + +−=− − xxyx yyxx OMOBOAOP xyx yxyxM yxx x y MDkABky x ABk yy xx xx yy 代入上式得 又 得 内部在又 又即 )1(0242)22( 2222 2 =+−+    =+ −= myym x myx 由 OBOAOP += 22 4 +m m 22 8 +m       ++ − 22 4, 22 8 m m m 2．一条斜率为 1 的直线与离心率为万的双曲线 1(a>0b>>0)，交于 P．Q 两点，直 线 l 与 y 轴交于点 K，且 ，求直线与双曲线的方程 [解题思路] 将向量关系式转化为坐标关系式，建立方程组求解． [解答] ∵ 的离心率为 ， ∴b2=2a2，即双曲线的方程为 ， 设 l 的方程为了 y=x+m，P(x1，y1)，Q(x2，y2)， 由 =-3 得，x1x2+yly2=-3， 由 得 x1=-3x2， 联立 得 x2-2mx-m2-2a2=0 ∴x1+x2=2m，x1x2=-m2-2a2， y1y2=(x1+m)(x2+m)=2m2-2a2， 结合 x1=-3x2，得 x2=-m，x1=3m， ∴xlx2=-3m2=-m2-2a2 得 m2=a2 解得 yly2=0，x1x2=-3a2=-3， ∴a2=1，m2=1，m=±1． ∴直线 l 的方程是 y=x±l，双曲线的方程是 =1． 预测角度 2 平面向量为背景的综台题 1．设过点 M(a,b)能作抛物线 y=x2 的两条切线 MA、MB，切点为 A、B (1)求 ； (2)若 =0，求 M 的轨迹方程； (3)若 LAMB 为锐角，求点 M 所在的区域． [解题思路] 设切点坐标，利用导数求出切线的斜率，将 转化为坐标运算，结合 韦达定理求解． =− 2 2 2 2 b y a x KQPQOQOP ==• 12 2 2 2 =− b y a x 3 12 2 2 2 =− b y a x OQOP • KQPQ 4=      =− += 122 2 2 2 a y a x mxy 2 22 yx MBMA• MBMA• MBMA• [解答] (1)设抛物线上一点 P(t，t 2)，∵y=x2，∴y′= 2x，切点为 P 的切线方程是： y-t2=2t(x-t)，它经过点 M (a，b)，∴b-t2=2t(a-t)，即 t2-2at+b=0，设其两根为 t1、t2， 则 t1+t2=2a，t1t2=b． 设 A(t1，t )，B(t2,t )，则 =(t1-a,t -b)， = (t2-a,t -b)， ∴ =(t1-a)(t2-a)+(t -b)·(t -b) 利用 t1+t2=2a，t1t2=b，消去 t1，t2 得 =(b-a2)(4b+1)． (2)设 M(x，y)，则由 =0, =(b- a2)(4b+1)得 (y-x2)(4y+1)=0，又 M 在抛物线外部， ∴y0，结合(1)中结果有(y-x2)(4y+1)>0，而 y − − =+ a a a a a xx 得由已知及 48 22 yx + APAFPQQFAQEFAE ,0,|,|2|| =•== ∥ (1)求户的轨迹方程； 答案：∵| |=2| |，∴| |=4，，∴又 ∴ Q 为 AF 的中点， ∥ ，∴A、P、 E 三点共线 · =0，得 ，又 Q 为 AF 的中点，∴P 为 AF 的垂直平分线与 AE 的交 点,∴| |=| |,∴| |+| |=| |=4，∴P 的轨迹是以 E(-1，0)，F(1，0) 为焦 点，长轴长为 4 的椭圆，方程为 =1． (2)设 M、N 是户的轨迹上两点，若 +2 =3 ，求 MN 的方程 答案：由已知可得 ，∴正在 MN 上，且 E，分 的比为 2，由焦半径公式 有 =2，得 x1 -2x2=4，又由 =-3， ∴x1= ，此时 y1=± ，∴MN 的斜率为± ，∴MN 的方程为 y=± (x+1). 11 若 F1、F2 为双曲线 (a>0，b>0)的左、右焦点，O 为坐标原点，户为双曲线 的左支上的点，点 M 在右准线上，且满足 . (1)求此双曲线的离心率 e； 答案：由 得四边形 F1OMP 为平行四边形， ∴ ∴λ= 为菱形，∴| | =C， 由双 曲线的定义有 +2a，∴ =2a+c 又 =c， ∴ =e，解得 e=2， EP AE EF AE QFAQ = AP EP AQ AF AFPQ ⊥ PF PA PE PF AE 34 22 yx + OM ON OE ONOMOE 3 2 3 1 += MN 2 1 exa exa + + 21 23 2 3 1 xxONOMOE +∴+= 2 1 4 5 2 5 2 5 12 2 2 2 =− b y a x )0( |||1| 1,1 >        +== λλ OM OM OF OFOPPMQF PMOF =1 ) |||| (,1 1 1 OM OM OF OFOPOMOFOP +=+= λ又 OMPFOMOF 11 |,||| ∴= PF1 |||| 12 PFPF = || 2PF || PM C ca +2 (2)若此双曲线过 N(2, )，求双曲线的方程； 答案：可设双曲线方程为 =1，又过 N(2， )， ∴a2=3,∴双曲线的方程为 =1． (3)在(2)的条件下，B1、B2 分别是双曲线的虚轴端点(B1 在 y 轴正半轴上)，点 A、B 在 双曲线上，且 ∥ 时，直线 AB 的方程． 答案：由已知 B2 在 AB 上，∴可设 AB 的方程为 y=kx-3，又 ，∴B1B 的方程为 y=- x+3 解得 B ( )，又 B 在 =1 上， ∴9·( )2-3·( )2-27=0， 解得 k=± ±1，∴AB 的方程为 y=(± ±1)x-3． 12 已知等轴双曲线 C：x2-y2=a2(a>0)上一定点 P(x0，y0)及曲线 C 上两动点 A、B 满足( - )·( - )=0(其中 O 为原点)． (1)求证：( )·( )=0； 答案：设 A(x1，y1)、B(x2，y2)， ∵A、B、P 在双曲线上， ∴(x1-x0)(x1+x0)=(y1-y0)·(y1+y0) (1)，(x2-x0)·(x2+x0)=(y2-y0)(y2+y0) (2)，(1)× (2) 得 (x1-x0)(x2-x0)(x1+x0)(x2+x0)=(y ， -y0)(y2-y0)(y1+y0)(y2+y0) ， (3) ， 又 ( - )·( - )=0，∴(x1-x0)(x2-x0)= -(y1-y0)(y2-y0) (4)，将(4)代人(3)中得(x1+x0) (x2+x0)+(y1+y0)(y2+y0)=0． ∴( + )·( + )=0； (2)求|AB|的最小值． 答案：由(1)得 =0，取 AP、BP 的中点 M、N，连接 OM、ON，∵ =0， ∴ ，∴O、M、P、N 四点共圆，且|AB|=2|MN|，利用圆的知识有 MN 为直径，∴|MN|≥ 2 2 2 2 2 3a y a x − 3 93 22 yx − AB2 BBABBB 12,2 ⊥求 BBAB 12 ⊥ K 1 1 3, 1 6 2 2 2 ++ k k k k 93 22 yx − 1 6 2 +k k 1 33 2 2 + − k k 2 2 OA OP OB OP OPOA+ OPOB + OA OP OB OP OA OP OB OP 2 1 )(2 1)( OPOBOPOA +•+ )()(,),(2 1),(2 1 OPOAOPOAONOMOPOBONOPOAOM −•−⊥+=+= 又 PBPA ⊥ |OP|．∴|AB|≥2|OP|=2 13 已知 ． (1)求| - |； 答案：由已知可得| |= | |= 且 CD⊥AD， cos∠BAC ，根据余弦定理得： . (2)设∠BAC=θ，且 cos(θ+x)= ，-π