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- 2024-03-08 发布
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10.1 直线的倾斜角与斜率、直线的方程
核心考点·精准研析
考点一 直线的倾斜角与斜率
1.直线x+y+1=0的倾斜角是 ( )
A. B. C. D.
2.(2020·石家庄模拟)直线x+(a2+1)y+1=0的倾斜角的取值范围是 ( )
A. B.
C.∪ D.∪
3.如图所示,直线l1,l2,l3的斜率分别为k1,k2,k3,则 ( )
A.k1k3>0,所以k2>k3>k1,故选C.
4.因为kAC==1,kAB==a-3.
由于A,B,C三点共线,所以a-3=1,即a=4.
答案:4
1.倾斜角α与斜率k的关系:
(1)当α∈时,k∈[0,+∞),且倾斜角越大,斜率越大.
(2)当α=时,斜率k不存在.
(3)当α∈时,k∈(-∞,0),且倾斜角越大,斜率越大.
2.斜率的两种求法:
(1)定义法:若已知直线的倾斜角α或α的某种三角函数值,一般根据k=tan α求斜率.
(2)公式法:若已知直线上两点A(x1,y1),B(x2,y2),一般根据斜率公式k=(x1≠x2)求斜率.
【秒杀绝招】
第2题可以用检验答案的方法求解,假设倾斜角α=,则斜率k=-=1不成立,故A、C、D都不对,所以选B.
考点二 求直线的方程
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【典例】1.求过点A(1,3),倾斜角是直线y=-x的倾斜角的的直线方程.
2.经过圆C:(x+5)2+(y-2)2=1的圆心,且在x轴上截距等于在y轴上截距的2倍的直线方程.
3.求过A(2,1),B(m,3)两点的直线l的方程.
【解题导思】
序号
联想解题
1
看到点与斜率想到直线方程的点斜式
2
看到截距想到直线方程的截距式
3
看到字母想到对斜率是否存在的讨论
【解析】1.因为y=-x的斜率为k=-,其倾斜角为120°,所以所求直线的倾斜角为60°,其斜率为,
所以直线方程为y-3=(x-1),
即直线方程为x-y+3-=0.
2.因为圆C的圆心为(-5,2),
当直线不过原点时,设所求直线方程为+=1,将(-5,2)代入所设方程,解得a=-,
所以直线方程为x+2y+1=0;
当直线过原点时,设直线方程为y=kx,
则-5k=2,解得k=-,
所以直线方程为y=-x,即2x+5y=0.
故所求直线方程为2x+5y=0或x+2y+1=0.
3.①当m=2时,直线l的方程为x=2;
②当m≠2时,直线l的方程为=,
即2x-(m-2)y+m-6=0.
因为m=2时,代入方程2x-(m-2)y+m-6=0,即为x=2,
所以直线l的方程为2x-(m-2)y+m-6=0.
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1.在求直线方程时,应选择适当的形式,并注意各种形式的适用条件.
2.对于点斜式、截距式方程使用时要注意分类讨论思想的运用:若采用点斜式,应先考虑斜率不存在的情况;若采用截距式,应判断截距是否为零.
3.截距是数,不是距离.它是直线与坐标轴交点的坐标,在x轴上的截距是直线与x轴交点的横坐标,在y轴上的截距是直线与y轴交点的纵坐标.截距可正、可负、可为0,因此在解与截距有关的问题时,一定要注意“截距为0”的情况,以防漏解.
(2020·邯郸模拟)经过点(2,1),且倾斜角比直线y=-x-1的倾斜角小的直线方程是 ( )
A.x=2 B.y=1 C.x=1 D.y=2
【解析】选A.因为直线y=-x-1的斜率为-1,则倾斜角为.由已知,所求直线的倾斜角为-=,斜率不存在,所以过点(2,1)的直线方程为x=2.
考点三 直线方程的综合应用
命
题
精
解
读
1.考什么:(1)与直线方程有关的最值问题.(2)数形结合思想.(3)基本不等式.(4)函数的单调性.
2.怎么考:以选择题或填空题形式出现
3.新趋势:数学建模核心素养的应用
学
霸
好
方
法
1.求解与直线方程有关的最值问题
基本不等式或函数法求最值.
2.含有参数的直线方程可看作直线系方程,分离参数法求出定点.
3.交汇问题: (1)三角形和四边形的面积.(2)基本不等式.(3)函数的单调性.
与不等式相结合的最值问题
【典例】当k>0时,两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形面积的最大值为________.
【解析】直线2x+ky-2=0与x轴交于点(1,0).由解得y=,
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所以两直线kx-y=0,2x+ky-2=0与x轴围成的三角形的面积为×1×=,
又k+≥2=2,
当且仅当k=时取等号,
故三角形面积的最大值为.
答案:
如何用直线方程求出三角形的边长?
提示:根据直线方程求出交点坐标进而求得三角形的边长.
与函数结合的最值问题
【典例】已知直线x+2y=2分别与x轴、y轴相交于A,B两点,若动点P(a,b)在线段AB上,则ab的最大值为________.
【解析】由题得A(2,0),B(0,1),由动点P(a,b)在线段AB上,可知0≤b≤1,且a+2b=2,从而a=2-2b,故ab=(2-2b)b=-2b2+2b=-2+.由于0≤b≤1,故当b=时,ab取得最大值.
答案:
如何找到a,b的关系进行消元?
提示:P(a,b)在直线x+2y=2上,将a,b代入直线方程,得到a与b的关系.
由直线方程求参数的范围
【典例】已知直线l1:ax-2y=2a-4,l2:2x+a2y=2a2+4,当00,b>0),则+=1.又因为+≥2⇒ab≥4,当且仅当==,即a=4,b=2时,△AOB面积S=ab有最小值为4.此时,直线l的方程是+=1,
即x+2y-4=0.
(2)由题意知直线l的斜率存在,设为k(k<0),则直线l的方程为y-1=k(x-2),即y=kx+(1-2k),
则A,B(0,1-2k).
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所以|PA|·|PB|
=·
=·2=2
=2≥2=4.
当且仅当=k2,即k=-1时,等号成立,
所以|PA|·|PB|的最小值为4,此时直线l的方程为x+y-3=0.
已知直线l过点M(1,1),且与x轴,y轴的正半轴分别相交于A,B两点,O为坐标原点.求:
(1)当|OA|+|OB|取得最小值时,直线l的方程.
(2)当|MA|2+|MB|2取得最小值时,直线l的方程.
【解析】(1)设直线l的方程为+=1,则+=1,
所以|OA|+|OB|=a+b=(a+b)=2++≥2+2=4,当且仅当“a=b=2”时取等号,此时直线l的方程为x+y-2=0.
(2)设直线l的斜率为k,则k<0,
直线l的方程为y-1=k(x-1),则A,
B(0,1-k),所以|MA|2+|MB|2=+12+12+(1-1+k)2=2+k2+≥2+2=4.
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当且仅当k2=,即k=-1时取等号,此时直线l的方程为y-1=-(x-1),即x+y-2=0.
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