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- 2024-03-07 发布
吉安市高二下学期期末教学质量检测
数学（理科）试卷
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1.已知复数满足（为虚数单位），其中是的共轭复数，，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
2.正弦函数是奇函数，是正弦函数，因此是奇函数，以上推理（ ）
A．结论正确 B．大前提不正确 C．小前提不正确 D．大前提、小前提、结论都不正确
3.如图所示，在边长为的正方形中任取一点，则点恰好取自阴影部分的概率为（ ）
A． B． C． D．
4.设随机变量服从正态分布，若，则（ ）
A． B． C． D．与的值有关
5.若对任意实数，有，则（ ）
A． B． C． D．
6.年平昌冬奥会期间，名运动员从左到右排成一排合影留念，最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法种数为（ ）
A． B． C． D．
7.已知是离散型随机变量，，，，则（ ）
A． B． C． D．
8.欧拉公式（为虚数单位）是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，它在复变函数论里非常重要，被誉为“数学中的天桥”.根据欧拉公式可知，表示的复数位于复平面中的（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
9.曲线作线性变换后得到的回归方程为，则函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C． D．
10.在一个袋子中装有个除颜色外其他均相同的小球，其中有红球个、白球个、黄球个，从袋中随机摸出一个球，记下颜色后放回，连续摸次，则记下的颜色中有红有黄但没有白的概率为（ ）
A． B． C． D．
11.如图，将一个各面都涂了油漆的正方体，切割为个同样大小的小正方体，经过搅拌后，从中随机取出一个小正方体，记它的油漆面数为，则的均值（ ）
A． B． C． D．
12.甲罐中有个红球，个白球和个黑球，乙罐中有个红球，个白球和个黑球，先从甲罐中随机取出一个球放入乙罐，分别以，，表示由甲罐取出的球是红球、白球和黑球的事件，再从乙罐中随机取出一个球，以表示由乙罐取出的球是红球的事件，下列结论中不正确的是（ ）
A．事件与事件不相互独立 B．、、是两两互斥的事件
C． D．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13.在极坐标系中，点到圆的圆心的距离为 ．
14.甲、乙、丙射击命中目标的概率分别为、、，现在三人同时射击目标，且相互不影响，则目标被击中的概率为 ．
15.若的展开式中各项系数的和为，则该展开式中的常数项为 ．
16.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,额上纹起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：，，，，……，则按照以上规律，若具有“穿墙术”，则 ．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）
17.（1）已知复数满足，的虚部为，求复数；
（2）求曲线、直线及两坐标轴围成的图形绕轴旋转一周所得几何体的体积.
18.为了巩固全国文明城市创建成果，今年吉安市开展了拆除违章搭建铁皮棚专项整治行为.为了了解市民对此项工作的“支持”与“反对”态度，随机从存在违章搭建的户主中抽取了男性、女性共名进行调查，调查结果如下：
支持
反对
合计
男性
女性
合计
（1）根据以上数据，判断是否有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与“性别”有关；
（2）现从参与调查的女户主中按此项工作的“支持”与“反对”态度用分层抽样的方法抽取人，从抽取的人中再随机地抽取人赠送小礼品，记这人中持“支持”态度的有人，求的分布列与数学期望.
参考公式：，其中.
参考数据：
19.证明下列不等式.
（1）当时，求证：；
（2）设，，若，求证：.
20.已知函数.
（1）求不等式的解集；
（2）若对于一切，均有成立，求实数的取值范围.
21.某中学开设了足球、篮球、乒乓球、排球四门体育课程供学生选学，每个学生必须且只能选学其中门课程.假设每个学生选学每门课程的概率均为，对于该校的甲、乙、丙名学生，回答下面的问题.
（1）求这名学生选学课程互不相同的概率；
（2）设名学生中选学乒乓球的人数为，求的分布列及数学期望.
请考生在22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22.选修4-4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，直线的参数方程为：（为参数），以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为
，直线与曲线交于，两点.
（1）求直线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若点的极坐标为，求的面积.
23.选修4-5：不等式选讲
已知函数.
（1）当时，求不等式的解集；
（2）若的解集包含，求的范围.
吉安市高二下学期期末教学质量检测
数学试卷（理科）参考答案
一、选择题
1-5: ACCAB 6-10: CABDC 11、12：CD
二、填空题
13. 14. 15. 16.
三、解答题
17.（1）设，由已知条件得，，
∵的虚部为，∴，∴或，即或.
（2）.
18.解：（1），
∴没有的把握认为对此项工作的“支持”与“反对”态度与性别有关.
（2）依题意可知，抽取的名女户主中，持“支持”态度的有人，持反对态度的有人，的所有可能取值为，，，
，，，
∴的分布列为：
∴.
19.证明：（1）要证；即证，
只要证，只要证，
只要证，由于，只要证，
最后一个不等式显然成立，所以；
（2）因为，，，所以，
，
当且仅当，即时，等号成立，所以.
20.解：（1）∵，∴，∴，∴的解集为，
（2）∵，
∴当时，恒成立，∴，
∴对一切均有成立，
又，
当且仅当时，等号成立.
∴实数的取值范围为.
21.解：（1）名学生选学的课程互不相同的概率
.
（2）的所有可能取值为，，，，
，，
，，
∴的分布列为：
.
22.解：（1）因为直线的参数方程为，得，
故直线的普通方程为，
又曲线的极坐标方程为，即，
因为，，∴，即，
故曲线的直角坐标方程为.
（2）因为点的极坐标为，∴点的直角坐标为，∴点到直线的距离.
将，代入中得，，，
，
∴的面积.
23.解：（1）当时，可化为：，
①当时，不等式为：，解得：，故，
②当时，不等式为：，解得：，故，
③当时，不等式为：，解得：，故.
综上，原不等式的解集为：.
（2）∵的解集包含，∴在内恒成立，
∴在内恒成立，
∴在内恒成立，
∴，解得，即的取值范围为.