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- 2024-03-07 发布
2019学年度第二学期期末质量调研
高二数学理科试题（市区）
注意事项
1．本试卷共4页，包括填空题（第1题～第14题）、解答题（第15题～第20题）两部分。本试卷满分160分，考试时间120分钟。
2．答题前，请务必将自己的姓名、考试号用毫米黑色签字笔填写在答题卡指定位置。
3．答题时，必须用毫米黑色签字笔填写在试卷卡的指定位置，在其它位置作答一律无效。
4．如有作图需要，可用2B铅笔作答，并加黑加粗，描写清楚。
5. 请保持答题卡卡面清洁，不要折叠、破损。一律不准使用胶带纸、修正液及可擦洗的圆珠笔。
参考公式：（1）若，则；
（2） 球的体积为，其中为球的半径.
一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1. 若复数满足，其中是虚数单位，则的实部为 ▲ ．
2. 用反证法证明“若，则”时，应假设 ▲ ．
3. 已知是虚数单位，则复数的模为 ▲ ．
4. 用数学归纳法证明，则当时左端应在
的基础上加上的项为 ▲ ．
5. 若则的值为 ▲ ．
6. 在的展开式中，常数项的值为 ▲ ．
7. 已知向量，若则实数的值为
▲ ．
8. 从2，4，8中任取2个数字，从1，3，5中任取2个数字，一共可以组成
▲ 个没有重复数字的四位数.（用数字作答）
9. 某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为，各成员的支付方式相互独
立，设为该群体的10位成员中使用移动支付的人数，此时若
- 11 -
则 ▲ ．
5. 已知则
▲ ．
6. 袋中有2个白球，1个红球，这些球除颜色外完全相同.现从袋中往外取球，
每次任取1个记下颜色后放回，直到红球出现2次时停止，设停止时共取了
次球，则 ▲ ．
7. 在平面几何中有如下结论：若正方形的内切圆面积为外接圆面积
为则，推广到立体几何中可以得到类似结论：
若正方体的内切球体积为外接球体积为，
则 ▲ ．
13. 如图，在正三棱柱中，分别是
的中点.设是线段上的（包括两个端点）动点，当直线与
所成角的余弦值为，则线段的长为 ▲ ．
14. 在一个如图所示的6个区域栽种观赏植物，要求同一块区域中种同一种植物，
相邻的两块区域中种不同的植物.现有4种不同的植物可供选择，则不同的栽
种方案的总数为 ▲ ．
二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.
15. (本小题满分14分）
（1） 已知矩阵的一个特征值为，其对应的特征向量，
求矩阵及它的另一个特征值.
（2） 在极坐标系中，设P为曲线C：上任意一点，求点P到直线
l：的最小距离.
- 11 -
16.（本小题满分14分）
有3名男生，4名女生，在下列不同要求下，求不同的排列方法总数（用数字作答）．
（1）全体排成一行，其中男生甲不在最左边；
（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起；
（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻.
17.（本小题满分14分）
已知正项数列中，且
（1）分别计算出的值，然后猜想数列的通项公式；
（2）用数学归纳法证明你的猜想.
18.（本小题满分16分）
如图，在直三棱柱中，分别是棱的中点，点在线段上（包括两个端点）运动．
（1）当为线段的中点时，
①求证：；
②求平面与平面所成锐二面角的余弦值；
（2）求直线与平面所成的角的正弦值的取值范围.
19.（本小题满分16分）
为了让观赏游玩更便捷舒适，常州恐龙园推出了代步工具租用服务.已知有脚踏自行车与电动自行车两种车型，采用分段计费的方式租用.型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），型车每分钟收费元（不足分钟的部分按分钟计算），现有甲乙丙丁四人，分别相互独立地到租车点租车骑行（各租一车一次），设甲乙丙丁不超过分钟还车的概率分别为，并且四个人每人租车都不会超过分钟，甲乙丙均租用型车，丁租用型车．
- 11 -
（1）求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率；
（2）求甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率；
（3）设甲乙丙丁四人所付费用之和为随机变量，求的概率分布和数学期望．
20.（本小题满分16分）
已知
（1）求及的值；
（2）求证：（），并求的值.
（3）求的值.
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高二市区期末数学参考答案及评分标准（理科）
一﹑填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1﹑ 3； 2﹑； 3﹑； 4﹑； 5﹑6； 6﹑； 7﹑；
8﹑216； 9﹑0.7； 10﹑8； 11﹑； 12﹑； 13﹑；14﹑588.
二﹑解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明﹑证明过程或演算步骤.
15.（1）解：由得：， …3分
矩阵的特征多项式为 …5分 ，
令，得，解得或
所以矩阵的另一个特征值为 …7分
（2）解：以极点为原点，极轴为轴建立平面直角坐标系．
因为，所以，
将其化为普通方程，得 ……… 9分
将曲线C：化为普通方程，得． ……… 11分
所以圆心到直线的距离 ……… 13分
所以到直线的最小距离为 ……… 14分
16.解：（1）先排最左边，除去甲外有种，余下的6个位置全排有种，则符合条件的排法共有种. ……3分
（2）将女生看成一个整体，进行全排列，再与其他元素进行全排列，共有576种； ……8分
（3）先排好女生，然后将男生插入其中的五个空位，共有种；……13分
答：（1）全体排在一行，其中男生甲不在最左边的方法总数为4320种；
（2）全体排成一行，其中4名女生必须排在一起的方法总数为576种；
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（3）全体排成一行，3名男生两两不相邻的方法总数为1440种；……14分
17.解：（1） 令得化简得，
解得或. …… 1分
令得化简得，
解得或 …… 2分
令得化简得，
解得或 …… 3分
猜想（*） …… 5分
（1） ①当时，，（*）式成立； …… 6分
②假设时（*）式成立，即，那么当时，
……9分
化简得所以当时，
（*）式也成立.……13分
综上：由①②得当时， ……14分
18. 解：以为正交基底建立如图所示的空间直角坐标系，则，.因为分别是棱的中点，所以
（1）当为线段的中点时，则
①因为所以即……3分
②因为设平面的一个法向量为由
- 11 -
可得，取，则所以……5分
又因为是平面的一个法向量，设平面与平面所成的二面角的平面角为，则.因为为锐角，所以所以平面与平面所成锐二面角的余弦值为……8分
（1） 因为在线段上，所以设（），解得，所以. ……9分
因为设平面的一个法向量为由可得，取则所以
……11分
设直线与平面所成的角为则
……12分
因为所以设则
所以，设
则，设可求得的取值范围为，进一步可求得的取值范围为所以直线与平面所成的角的正弦值的取值范围为……16分
19.解：（1）记“甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元”为事件
- 11 -
，即4人均不超过30分钟，则.
答：求甲乙丙丁四人所付的费用之和为25元的概率是···················3分
（2）由题意，甲乙丙丁在分钟以上且不超过分钟还车的概率分别为，
设“甲乙丙三人所付费用之和等于丁所付费用”为事件，
则
答：甲乙丙三人所付的费用之和等于丁所付的费用的概率是．···················8分
（3）①若“4人均不超过30分钟”此时随机变量的值为25，即为事件，由（1）所以.
②记“4人中仅有一人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的这一人是甲乙丙中的一个”和“超过30分钟的这一人是丁”，分别将上述两种情况记为
事件和.
i.事件对应的的值为30，此时；
ii.事件对应的的值为35，此时.
③记“4人中仅有两人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的两人是甲乙丙中的两个”和“超过30分钟的两人是甲乙丙中的一个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.
i.事件对应的的值为35，此时；
i.事件对应的的值为40，此时
④记“4人中仅有三人超过30分钟”为事件，事件又分成两种情况“超过30分钟的三人是甲乙丙”和“超过30分钟的三人是甲乙丙中的两个和丁”，分别将上述两种情况记为事件和.
i.事件对应的的值为40，此时；
i.事件对应的的值为45，此时.
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⑤记“4人均超过30分钟”为事件，则随机变量的值为50，
此时；
综上：随机变量的所有取值为25，30，35，40，45，50，且
；； ···············10分
； ···············11分
； ···············12分
；； ···············14分
所以甲乙丙丁四人所付费用之和的分别为
25
30
35
40
45
50
所以.
答：甲乙丙丁四人所付费用之和的数学期望为 ···············16分
（注：不作答扣1分，不多扣！）
20.解：（1）当时，（*）
在（*）中，令得 ···········1分
在（*）中，令得，所以······3分
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（2）证明：
因为
， ······6分
（注：证明共3分，其他证法酌情给分！）
由二项式定理可得 ······7分
所以
因为，
所以
······9分
（3）法一：由（2）知
·····12分
因为，
所以
+
·····15分
则，所以 ·····16分
法二：将两边求导，
- 11 -
得·····10分
令得；①·····11分
令得.②·····12分
①②得解得
，·····15分
所以·····16分
- 11 -