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- 2024-03-07 发布
高三文科数学期中考试模拟试题
一、选择题
1.已知复数在复平面内对应的点分别为和，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
由题意得，复数在复平面内对应的点分别为和
故答案选
2.对于任意实数a，b，若a＞b，则下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. a2＞b2 C. a3＞b3 D.
【答案】C
【解析】
根据题意，依次分析选项：对于A，当，时，，故A错误；对于B，当，时，，故B错误；对于C，由不等式的性质可得C正确；对于D，当，时，，故D错误；故选C.
3.等差数列满足，，则（ ）
A. 36 B. 39 C. 44 D. 51
【答案】D
【解析】
【分析】
由等差数列的性质可得的值，再由 可得的值，计算可得答案.
【详解】设等差数列的公差为，
等差数列满足，
则，则，
则，
即.
故选：.
【点睛】本题考查的是等差数列的通项公式及等差数列的性质，是基础题.
4.若为不等式组表示的平面区域，则当从－2连续变化到1时，动直线扫过中的那部分区域的面积为（ ）
A. 1 B. 15 C. 0.75 D. 1.75
【答案】D
【解析】
【分析】
先由不等式组画出其表示的平面区域，再确定动直线的变化范围，最后由三角形的面积公式解之即可.
【详解】
如图，不等式组 表示的平面区域是，
动直线 (即)在轴上的截距从-2变化到1，
知是斜边为3的等腰直角三角形，是直角边为1的等腰直角三角形，所以区域的面积为：
.
故选:.
【点睛】本题考查的是线性规划应用，利用数形结合是解决线性规划问题的基本方法，是基础题.
5.设命题，；命题，中至少有一个不小于2，则下列命题为真命题的是（ ）
A.
B.
C.
D.
【答案】B
【解析】
试题分析：因为,在单调递增,所以假，若都小于，则，又根据基本不等式可得,矛盾，真, 根据真值表知为真,故选B.
考点：1、函数的单调性；2、基本不等式的应用及反证法.
6.如图，在中，，，若，则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据向量的基本定理结合向量加法的三角形分别进行分解即可.
【详解】 ,,
, ,,
，
，
,
,,则,故选：.
【点睛】本题考查是向量的线性运算，向量加法的三角形法则，是基础题.
7.已知函数满足，且，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
构造函数,利用导数研究函数的单调性，即可得到结论.
【详解】设,则函数的导数,，，即函数为减函数,,，则不等式等价为
，
则不等式的解集为,即的解为，，由得或，解得或,
故不等式的解集为.故选:.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数单调性，根据函数的单调性解不等式，考查学生分析问题解决问题的能力,是难题.
8.已知是内部一点，，且，则的面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由可知点O是的重心，，，所以，=，选A.
【点睛】在中，给出，即已知是的重心（三角形的重心是三角形三条中线的交点），重心分中线为比2:1，重心与三个项点连线三等分三角形面积．
9.若数列满足，且，则数列的前项中，能被整除的项数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析：由得数列是以为首项，为公差的等差数列，即，得，要使能被整除，只需满足被整除，在前项中有共项，或能被整除，在前项中有
共项，故总共项，故选B.
考点：数列递推式.
10.在△ABC中，D为边BC上一点，DC =2BD，AD=，ADC=45°，若AC=AB，则BD等于（ ）
A. 4 B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】在中，，
在中，,
∵，，∴，整理得，
解得或（舍去）．故选C.
考点：余弦定理．
11.已知函数关于直线对称 , 且,则的最小值为( )
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
故选D.
12.已知是定义域为的单调函数，且对任意实数，都有， 则的值为（ ）
A. B. C. 1 D. 0
【答案】A
【解析】
【详解】因为函数是上的单调函数，且对任意实数，都有，
所以恒成立，且，
即，解得，
所以，所以，故选A.
点睛：本题主要考查了函数解析式的求法和函数值的求解问题，着重考查学生的运算、求解能力，试题比较基础，属于基础题.
二、填空题
13.集合，则中元素的个数为______
【答案】4
【解析】
【分析】
解一元二次不等式，求出集合,用列举法表示即可.
【详解】，
,
集合中的元素的个数为4个.
故答案为：4.
【点睛】本题考查的是一元二次不等式的解法，同时用列举法表示集合，是基础题.
14.菱形的边长为，,为的中点，若为菱形内任意一点（含边界），则的最大值为____________．
【答案】9
【解析】
【详解】由数量积的几何意义知，当在上的投影最大时，最大.
从图可以看出，当N点在点C处，在上投影最大，
所以的最大值为：.
15.已知，，且，则的最小值为______
【答案】8
【解析】
【分析】
化简方程为，然后变换表达式利用基本不等式求出表达式的最小值即可.
【详解】由得，即，
，当且仅当时取等号.
故答案为：8.
【点睛】本题考查的是基本不等式的应用，考查学生的观察问题、分析问题的能力，是中档题.
16.函数是奇函数，且图象经过点，则函数的值域为______
【答案】
【解析】
【分析】
由题意首先求得函数的解析式，然后结合函数的解析式求解函数的值域即可.
【详解】函数是奇函数，则:①,
结合函数所过的点可得:②,①②联立可得:， 则函数的解析式为:，结合指数函数的性质可得:，，.
故答案为：.
【点睛】本题考查函数解析式的求法（待定系数法）及函数定义域值域的求法，要求学生仔细审题，考查学生的计算能力，是难题.
三、解答题
17.已知函数.
（1）若的定义域为，求的单调递增区间；
（2）若的内角，，的对边分别为，，，且，.在上的最大值为，求长.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
(1)首先，结合二倍角公式和辅助角公式化简给定的函数，得到,
然后，根据三角函数的单调性进行确定单调递增区间;
(2)由(1)知,且，可得，即可求的值，进而利用余弦定理可求的值.
【详解】（1），由，，
得，而，则的单调递增区间为.
（2）由（1）知，时，
，，
即时取最大值，则，中由余弦定理得
将， ，代入，解得.
【点睛】本题考查的是三角函数的化简及应用，二倍角公式以及辅助角公式的应用，三角函数在给定区间上的单调性，三角函数的最值，及余弦定理的应用，考查计算能力，是中档题.
18.已知数列的前项和为，有，
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前项和.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】
(1) 运用，计算通项即可.
(2)采用裂项相消法求和，即可.
【详解】解：（1）时，,,
得，即，
将代入，得，，
得到数列是首项，公比为3的等比数列，
所以.
（2），
∴
【点睛】本题考查的是数列通项，及数列求和的裂项求和等基础知识，考查学生的运算能力，是中档题.
19.已知函数.
(1)若,求证：在上是增函数；
(2)求在上的最小值．
【答案】（1）证明见解析；（2）.
【解析】
【分析】
(1) 求出，证明时，即可得到在上是增函数；(2)分三种情况讨论的取值范围，分别利用导数研究函数的单调性，利用单调性可求在上的最小值．
【详解】（1）当时，,
当时，,
所以在上是增函数.
（2）,
当
若则当时，
所以在上是增函数，
又故函数在上的最小值为1,
若，则当
所以在上是减函数，又
所以函数在上的最小值为,
若，则：
当时，，此时是减函数,
当时，，此时增函数,
又,
所以函数在上的最小值为,
综上可知，当函数在上的最小值为1,
当，函数在上的最小值为,
当，函数在上的最小值为.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性与最值、分类讨论思想的应用. 属于难题.分类讨论思想解决高中数学问题的一种重要思想方法，是中学数学四种重要的数学思想之一，尤其在解决含参数问题发挥着奇特功效，大大提高了解题能力与速度.运用这种方法的关键是将题设条件研究透，这样才能快速找准突破点. 充分利用分类讨论思想方法能够使问题条理清晰，进而顺利解答，希望同学们能够熟练掌握并应用与解题当中.
20.在平面直角坐标系xOy中，已知向量，设，向量
．
（1）若，求向量与的夹角；
（2）若 对任意实数都成立，求实数的取值范围．
【答案】（1）向量与的夹角为；（2）．
【解析】
试题分析：
(1)由题意结合平面向量的坐标表示，结合平面向量的数量积运算法则可得. 则向量与的夹角为.
(2)原问题等价于任意实数都成立.分离参数可得任意实数都成立.结合三角函数的性质求解关于实数的不等式可得.
试题解析：
（1）由题意， ， ，
所以 ， ，
设向量与的夹角为,
所以.
因为，即，所以.
又因为，所以,即向量与的夹角为.
（2）因为对任意实数都成立，而,
所以，即任意实数都成立. .
因为，所以任意实数都成立.
所以任意实数都成立.
因为，所以任意实数都成立.
所以，即，
又因为，所以
21.设数列的前项和为，已知，.
（1）求证：数列为等比数列；
（2）若数列满足：，.
①求数列的通项公式；
②求
【答案】（1）证明见解析
（2）①,②
【解析】
【分析】
(1)应用等比数列的定义证明;
(2)先证明数列是等差数列,再利用等差数列的通项公式求出的通项公式，进而求出的通项公式，最后利用错位相减法求和.
【详解】（1）解：由，得，
两式相减，得，即.
因为，由，得，所以，
所以对任意都成立，
所以数列为等比数列，首项为1，公比为2.
（2）①由（1）知，，由，得，即，
即，因为，所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，所以，所以.
②设，则，
所以，
两式相减，得:
，
所以.
【点睛】本题考查等差数列与等比数列的概念、通项公式，求和公式以及错位相减法求和的综合应用,考查考生分析问题、解决问题的能力.是难题.
22.已知函数，（为自然对数的底数）.
（1）求曲线在处的切线的方程；
（2）若对于任意实数，恒成立，试确定的取值范围；
（3）当时，函数在上是否存在极值？若存在，请求出极值；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）
（2）
（3）不存在,理由见解析
【解析】
【分析】
(1) 求得的导数，可得切线的斜率和切点，由点斜式方程可得切线的方程;
(2) 讨论和，由参数分离和构造函数,求出导数，单调区间，可得最值，进而
得到所求的范围;
(3)依题意,，求出导数，可令， 求得导数和单调区间、可得最值，进而得到M(x)的单调性，即可判断存在性.
【详解】（1），.
在处的切线斜率为，
∴切线的方程为，即.
（2）∵对于任意实数，恒成立，
∴若，则为任意实数时，恒成立；
若，恒成立，即，在上恒成立，
设，则，
当时，，则在上单调递增；
当时，，则在上单调递减；
所以当时，取得最大值，，
所以的取值范围为.
综上，对于任意实数，恒成立实数的取值范围为.
（3）依题意，，所以，
设，则，当，
故在上单调增函数，因此在上的最小值为，
即，又，所以在上，
，即在上不存在极值.
【点睛】本题主要考查的是利用导数研究曲线上某点切线方程，利用导数研究函数的单调性;函数的最值及其几何意义;利用导数研究函数的极值，是难题.